2023-2024學年江西省宜春市靖安中學數學高一上期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數，若恰有2個零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知，若實數滿足，且，實數滿足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B.C. D.3．函數的單調遞減區間是（）A. B.C. D.4．已知函數，則的值為A. B.C. D.5．已知函數.若，，，則的大小關系為（）A. B.C. D.6．在正方體中，為棱的中點，則A. B.C. D.7．已知函數，下面關于說法正確的個數是（）①的圖象關于原點對稱②的圖象關于y軸對稱③的值域為④在定義域上單調遞減A.1 B.2C.3 D.48．下列全稱量詞命題與存在量詞命題中：①設A、B為兩個集合，若，則對任意，都有；②設A、B為兩個集合，若，則存在，使得；③是無理數，是有理數；④是無理數，是無理數.其中真命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.49．已知是上的偶函數，在上單調遞增，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.10．函數的零點所在的區間是（）A.（0，1） B.(1，2)C.(2，3) D.（3，4）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．漏斗作為中國傳統器具而存在于日常生活之中，某漏斗有蓋的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，則該漏斗的容積為不考慮漏斗的厚度______，若該漏斗存在外接球，則______.12．已知函數有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________13．正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為1，E，F，G，H分別是PA，AC，BC，PB的中點，四邊形EFGH的面積為S，則S的取值范圍是__14．如圖，扇形的周長是6，該扇形的圓心角是1弧度，則該扇形的面積為______.15．已知fx是定義域為R的奇函數，且當x>0時，fx=ln16．對于定義在區間上的兩個函數和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區間上是否“友好”；（2）現在有兩個函數與，給定區間①若與在區間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數與與在區間上是否“友好”三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.18．已知函數的部分圖像如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）若函數在上取得最小值時對應的角度為，求半徑為2，圓心角為的扇形的面積.19．已知（1）求函數的單調區間；（2）求證：時，成立.20．已知，（1）當且x是第四象限角時，求的值；（2）若關于x的方程有實數根，求a的最小值21．已知函數，其中，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經過點（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】當時，在上單調遞增，，當時，令得或（1）若，即時，在上無零點，此時，∴在[1,+∞)上有兩個零點，符合題意；（2）若，即時，在(?∞,1)上有1個零點，∴在上只有1個零點，①若，則，∴，解得，②若，則，∴在上無零點，不符合題意；③若，則，∴在上無零點，不符合題意；綜上a的取值范圍是．選B點睛：解答本題的關鍵是對實數a進行分類討論，根據a的不同取值先判斷函數在(?∞,1)上的零點個數，在此基礎上再判斷函數在上的零點個數，看是否滿足有兩個零點即可2、B【解析】∵在上是增函數，且，中一項為負，兩項為正數；或者三項均為負數；即：；或由于實數x0是函數的一個零點，當時，當時，故選B3、D【解析】解不等式，即可得出函數的單調遞減區間.【詳解】解不等式，得，因此，函數的單調遞減區間為.故選：D.【點睛】本題考查余弦型函數單調區間的求解，考查計算能力，屬于基礎題.4、C【解析】由，故選C5、C【解析】由函數的奇偶性結合單調性即可比較大小.【詳解】根據題意，f（x）＝x2﹣2|x|+2019＝f（﹣x），則函數f（x）為偶函數，則a＝f（﹣log25）＝f（log25），當x≥0，f（x）＝x2﹣2x+2019＝（x﹣1）2+2018，在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數；又由1＜20.8＜2＜log25，則.則有b＜a＜c；故選C【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判斷以及性質的應用，屬于基礎題.6、C【解析】畫出圖形，結合圖形根據空間中的垂直的判定對給出的四個選項分別進行分析、判斷后可得正確的結論【詳解】畫出正方體，如圖所示對于選項A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不成立，所以A不正確對于選項B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B不正確對于選項C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確對于選項D，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D不正確故選C【名師點睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關鍵是畫出圖形，然后結合圖形并利用排除法求解，考查數形結合和判斷能力，屬于基礎題7、B【解析】根據函數的奇偶性定義判斷為奇函數可得對稱性，化簡解析式，根據指數函數的性質可得單調性和值域.【詳解】因為的定義域為，，即函數為奇函數，所以函數的圖象關于原點對稱，即①正確，②不正確；因為，由于單調遞減，所以單調遞增，故④錯誤；因為，所以，，即函數的值域為，故③正確，即正確的個數為2個，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：理解函數的奇偶性和常見函數單調性簡單的判斷方式.8、B【解析】對于命題①②，利用全稱量詞命題與存在量詞命題的定義結合集合包含與不包含的意義直接判斷；對于命題③④，舉特例說明判斷作答.【詳解】對于①，因集合A、B滿足，則由集合包含關系的定義知，對任意，都有，①是真命題；對于②，因集合A、B滿足，則由集合不包含關系的定義知，存在，使得，②是真命題；對于③，顯然是無理數，也是無理數，則③是假命題；對于④，顯然是無理數，卻是有理數，則④是假命題.所以①②是真命題.故選：B9、B【解析】根據函數的奇偶性和函數的單調性判斷函數值的大小即可.【詳解】因為是上的偶函數，在上單調遞增，所以在上單調遞減，.又因為，因為，在上單調遞減,所以，即.故選：B.10、B【解析】先求得函數的單調性，利用函數零點存在性定理，即可得解.【詳解】解：因為函數均為上的單調遞減函數，所以函數在上單調遞減，因為，，所以函數的零點所在的區間是.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.0.5【解析】先將三視圖還原幾何體，然后利用長方體和錐體的體積公式求解容積即可；設該漏斗外接球的半徑為，設球心為，利用，列式求解的值即可.【詳解】由題中的三視圖可得，原幾何體如圖所示，其中，，正四棱錐的高為，，，所以該漏斗的容積為；正視圖為該幾何體的軸截面，設該漏斗外接球的半徑為，設球心為，則，因為，又，所以，整理可得，解得，所以該漏斗存在外接球，則故答案為：①；②.12、【解析】根據函數零點可轉化為有2個不等的根，利用對數函數的性質可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設，因為函數有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：13、（，+∞）【解析】由正三棱錐可得四邊形EFGH為矩形，并可得其邊長與三棱錐棱長關系，從而可得面積S的范圍.【詳解】∵棱錐P﹣ABC為底面邊長為1的正三棱錐∴AB⊥PC又∵E，F，G，H，分別是PA，AC，BC，PD的中點，∴EH//FG//AB且EH＝FGAB，EF//HG//PC且EF＝HGPC則四邊形EFGH為一個矩形又∵PC，∴EF，∴S=EFEH，∴四邊形EFGH的面積S的取值范圍是（，+∞），故答案為:（，+∞）三、14、2【解析】由扇形周長求得半徑同，弧長，再由面積公式得結論【詳解】設半徑為，則，，所以弧長為，面積為故答案為：215、1【解析】首先根據x>0時fx的解析式求出f1【詳解】因為當x>0時，fx=ln又因為fx是定義域為R的奇函數，所以f故答案為：1.16、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，即，即，只需求出函數在區間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區間上是“友好”的.（2）①與在區間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側，又復合函數的單調性可得在區間上為減函數，從而，，所以，解得，所以當時，與與在區間上是“友好”的；當時，與與在區間上是“不友好”的.【點睛】本題考查函數的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉化與化歸的思想、數學運算求解能力，是一道有一定難度的題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據三角函數的基本關系式，化簡得，即可求解；（2）由（1）知，根據三角函數誘導公式，化簡得到原式，結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】（1）根據三角函數的基本關系式，可得，解得.（2）由（1）知，又由.因為，且，所以，可得，所以18、（1）.（2）.【解析】（1）由圖象觀察，最值求出，周期求出，特殊點求出，所以；（2）由題意得，所以扇形面積試題解析：(1)∵，∴根據函數圖象，得.又周期滿足，∴.解得.當時，.∴.∴.故.(2)∵函數的周期為，∴在上的最小值為-2.由題意，角滿足，即.解得.∴半徑為2，圓心角為的扇形面積為.19、(1)增區間為，減區間為；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意可得函數的解析式為：，結合復合函數的單調性可得函數的增區間為，減區間為；(2)由題意可得原式，結合均值不等式的結論和三角函數的性質可得：，而均值不等式的結論是不能在同一個自變量處取得的，故等號不成立，即題中的結論成立.試題解析：(1)解:由已知,所以,令得，由復合函數的單調性得的增區間為，減區間為；（2）證明:時，，，,當時取等號，,

設，由得，且,從而,由于上述各不等式不能同時取等號，所以原不等式成立.20、（1）（2）1【解析】（1）根據立方差公式可知，要計算及的值就可以求解問題；（2）將方程轉化為，再分類討論即可求解.【小問1詳解】，即，則，即，所以因為x是第四像限角，所以，所以，所以【小問2詳解】由，可得，則方程可化為，①當時，，顯然方程無解；②當時，方程等價于又（當且僅當時取“=”），所以要使得關于x的方程有實數根，則．故a的最小值是121、（1）條件選擇見解析，；（2）單調遞增區間為，.【解析】（1）利用三角恒等變換化簡得出.選擇①②：由可求得的值，