第三章水動力學基礎第三章水動力學基礎

本章主要介紹與液體運動有關的基本概念及液體運動所遵循的普遍規律并建立相應的方程式。主要內容：描述液體運動的兩種方法歐拉法的若干基本概念恒定一元流的連續性方程式實際液體恒定總流的能量方程式能量方程式的應用舉例實際液體恒定總流的動量方程式恒定總流動量方程式的應用舉例第三章水動力學基礎一、液體最基本特征：液體具有流動性，其靜止是相對的，運動才是絕對的。二、水動力學研究內容：1.水動力學研究內容：研究液體的運動規律及其在工程上的應用。2.液體的運動規律：液體在運動狀態下，作用于液體上的力和運動要素之間的關系，以及液體運動特性與能量轉換規律等。3.運動要素：表征液體運動狀態的物理量，如速度、加速度、動水壓強、密度、切應力等，這些量統稱為運動要素。第三章水動力學基礎4.液體運動規律的研究內容：

確定各運動要素隨時間和空間的變化規律及其相互間的關系。——首要研究速度，其次壓強。三、水動力學研究方法：建立運動模型，結合液體三大力學模型（連續性假設、不可壓縮液體、理想液體），根據物理學和理論力學的質量守恒定律、動能原理和動量定理等，建立液體三大基本方程。

連續性方程能量方程（伯諾里方程）動量方程第三章水動力學基礎3.1描述液體運動的兩種方法①流體運動一般在固體壁面所限制的空間內進行②流場：流體流動占據的空間稱為流場③水動力學重要任務：研究流場中的運動④研究液體流動的兩種方法：

拉格朗日(J.L.Lagrange)法

歐拉(L.Euler)法3.1.1拉格朗日法一、定義：把流場中的液體看做是由無數連續質點所組成的質點系，追蹤研究每一質點的運動軌跡并加以數學描述，從而求得整個液體運動規律的方法。引用固體力學中研究質點和質點系的運動方法。第三章水動力學基礎二、表達式：設某一質點在某一時刻t0的初始坐標(a,b,c)作為該質點的標志，則在任一時刻，此質點的跡線方程可表示為：

x＝x(a,b,c,t)y＝y(a,b,c,t)z＝z(a,b,c,t)

其中，a,b,c,t統稱為拉格朗日變量，不同初始值(a,b,c)表示流場中不同液體質點的初始位置。三、基本特征：以個別液體運動質點為對象.研究給定質點在整個運動過程中的軌跡.各個質點運動狀態總和構成整個液體運動.

點—線—面運動軌跡運動要素第三章水動力學基礎四、局限性：液體質點運動軌跡非常復雜，實用上不需要知道某一質點的運動軌跡，因此水力學上不常采用此方法。3.1.2歐拉法一、定義：直接從流場中每一固定空間點的流速分布入手，建立速度、加速度等運動要素的數學表達式，來獲得整個流場的運動特性。第三章水動力學基礎歐拉法——以考察不同液體質點通過固定的空間點的運動情況作為基礎，綜合所有空間點上的運動情況，構成整個液體的運動。

速度分量

x，y，z，t稱為歐拉變數。

x，y，z是液體質點在t時刻的運動坐標ux＝ux(x,y,z,t)uy＝uy(x,y,z,t)uz＝uz(x,y,z,t)p＝p(x,y,z,t)ρ＝ρ(x,y,z,t)第三章水動力學基礎

對同一質點來說，坐標x，y，z不是獨立的，而是時間t的函數，因此，加速度的三個坐標分量需要通過相對應的三個速度分量復合求導得到：第三章水動力學基礎三、含義：1.等號右邊第一項表示通過某固定點的液體質點，其速度隨時間變化而形成的加速度，稱為當地加速度.2.等號右邊括號內項表示同一時刻因地點變化而形成的加速度，稱為遷移加速度。∴液體運動質點加速度＝當地加速度＋遷移加速度第三章水動力學基礎第三章水動力學基礎3.2歐拉法的基本概念3.2.1恒定流與非恒定流液體運動可分為兩類：恒定流非恒定流恒定流：流場中所有空間點上一切運動要素不隨時間改變，這種流動稱為恒定流。非恒定流：流場中空間點上運動要素隨時間改變，這種流動稱為非恒定流。恒定流：ux＝ux(x,y,z)uy＝uy(x,y,z)uz＝uz(x,y,z)

即恒定流中，當地加速度為零，但遷移加速度可以不為零。第三章水動力學基礎3.2.2一元流、二元流、三元流一元流：運動要素是一個坐標的函數，稱為一元流二元流：運動要素是兩個坐標的函數，稱為二元流三元流：運動要素是三個坐標的函數，稱為三元流——液體一般在三元空間中流動，屬于三元流動。簡化問題，在一元空間流動——一元流動——一元分析法（流束理論）第三章水動力學基礎3.2.3流線與跡線一、流線1.定義：流線是同一時刻由液流中許多質點組成的線，線上任一點的流速方向與該線在該點相切。流線上任一點的切線方向就代表該點的流速方向，則整個液流的瞬時流線圖就形象地描繪出該瞬時整個液流的運動趨勢。第三章水動力學基礎3.2.3流線與跡線一、流線流線微分方程式：第三章水動力學基礎2.流線特性：(1)流線不能相交或轉折，否則在交點或轉折處必然存在兩個切線方向，即同一質點同時具有兩個運動方向，這顯然是不可能的，因此流線只能是互不相交的光滑曲線(2)流線只能是一條光滑曲線。(液體為連續介質）(3)流線分布的疏密程度反映了該時刻流場中各點的速度大小。流線越密，流速越大；流線越疏，流速越小二、跡線流線：同時刻連續液體質點的流動方向線。跡線：同一質點在連續時間內的流動軌跡線。第三章水動力學基礎流管、元流、總流和過流斷面流管——由流線構成的一個封閉的管狀曲面dA元流——充滿以流管為邊界的一束液流總流——在一定邊界內具有一定大小尺寸的實際流動的水流，它是由無數多個元流組成過流斷面——與元流或總流的流線正交的橫斷面

過水斷面的形狀可以是平面也可以是曲面。！3.2.4一元流動模型第三章水動力學基礎五、流量流量是單位時間內通過某一過水斷面的液體體積，用Q表示．流量是衡量過水斷面過水能力大小的一個物理量。元流流量：dQ＝udA

總流流量等于所有元流流量之和。六、斷面平均流速v第三章水動力學基礎3.2.5均勻流與非均勻流

均勻流：各流線為平行直線。過水斷面是平面，位于同一流線上的各質點的流速的大小和方向均相等，遷移加速度為零。非均勻流：各流線不是平行直線。漸變流急變流第三章水動力學基礎3.2.5均勻流與非均勻流漸變流：各流線接近于平行直線的流動。近似認為符合均勻流壓強分布特性。急變流：非均勻流中除漸變流以外的流動。不符合均勻流壓強分布特性。上述流速沿程變化情況的分類，不是針對流動的全體，而是指總流中的某一段。一般來說，流動的均勻與不均勻、漸變與急變是交替的出現于總流中。第三章水動力學基礎3.3恒定總流連續性方程一、定義：恒定總流連續性方程：反映斷面平均流速和過水斷面面積之間的關系式。它是質量守恒定律在水力學中的具體表現。二、推導：1.基本條件：從總流中任取一段，如圖，其進口過水斷面1-1面積為A1，出口過水斷面2-2面積為A2；再從中任取一束元流，其進出口面積為dA1及dA2，流速u1及u2。第三章水動力學基礎2.三個前提條件：(1)在恒定流條件下，元流的形狀及位置不隨時間改變；(2)不可能有液體經元流側面流進或流出；(3)液流為連續介質，元流內部不存在空隙。3.恒定元流連續性方程：根據質量守恒定律，單位時間內流進dA1的質量等于流出dA2的質量：

ρ1u1dA1＝ρ2u2dA2＝常數對于不可壓縮液體，ρ1＝ρ2＝常數，則有：

u1dA1＝u2dA2＝dQ＝常數

恒定元流連續性方程第三章水動力學基礎4.恒定總流連續性方程：因總流是無數元流的集合體，因此,對上式在總流過水斷面上積分：引入斷面平均流速，可得：

Q＝υ1A1＝υ2A2＝常數

恒定總流連續性方程★

它在形式上與恒定元流連續性方程類似，應注意的是，以斷面平均流速v代替點流速u。意義：恒定總流連續性方程是一個不涉及任何作用力的運動學方程，所以，它無論對于理想液體還是實際液體都適用。第三章水動力學基礎三、連續性方程特例:

上述恒定總流的連續性方程是在流量沿程不變的條件下導得的。若沿程有流量流進或流出，則總流的連續性方程在形式上需作相應的修正。其總流的連續性方程可寫為：

Q1＝Q2＋Q32Q1Q2Q311233結論：所有流入液體的流量應等于所有流出液體的流量第三章水動力學基礎3.1-3.3小結拉格朗日法歐拉法恒定流（與非恒定流）去掉了時間變量一元流（二元流、三元流）去掉了y、z坐標流線（流管）：推出了元流的概念一元流模型流管元流總流過流斷面流量斷面平均流速恒定總流連續性方程第三章水動力學基礎3.4恒定元流能量方程3.4.1理想液體恒定元流能量方程一、原理：——能量守恒原理。取不可壓縮無粘性流體恒定流動這樣的力學模型。二、推導：第三章水動力學基礎功能原理：作用于該段元流的外力（除重力外）所作的功，等于流段機械能（動能和勢能）的增量。1.外力做功作用于元流側面上的動水壓強與液體運動的方向垂直，不作功。作用在過水斷面1-1上的動水壓力與液體運動方向相同，作正功；作用在過水斷面2-2上的動水壓力與液體運動方向相反，作負功.

故壓力做功為：－＝對于理想液體，μ=0，因此不存在切向力及其作功.2.機械能增量機械能的增量是這段元流移動后位置（1‘-2’）和移動前位置（1-2）所有機械能之差。第三章水動力學基礎（1）動能增量：－＝（2）勢能增量：－＝恒定流動：在dt時段前后所共有的1’-2兩斷面間的液體的質量及位置沒有改變，各點流速也不變，因此動能、位能也保持不變。所以，機械能增量等于液體所占據的新位置2-2’的機械能減去原有位置1-1’的機械能。第三章水動力學基礎（3）根據功能原理各項除以dt，并按斷面分別列入等式兩邊：——表示全部重量液體的能量平衡方程將上式除以γdQ，得出單位重量液體的能量方程，或簡稱為單位能量方程：第三章水動力學基礎（4）伯諾里方程及其意義：在方程的推導過程中，兩斷面是任意選取的。很容易把這個關系推廣到元流的任意斷面,即:

Z—斷面相對于選定基準面的高度，水力學中稱為位置水頭，表示單位重量液體的位置勢能，簡稱位能。

—斷面壓強作用使液體沿測壓管所能上升的高度，水力學中稱壓強水頭，表示壓力作功所能提供的單位能量，簡稱壓能。

—不計射流本身重量和空氣阻力時，以斷面流速u為初速的鉛直上升射流所能達到的高度，水力學中稱流速水頭，表示單位重量液體動能。第三章水動力學基礎

測壓管水頭—表示斷面測壓管水面相對于基準面的高度，表明單位勢能，以Hp表示：斷面總水頭—表明單位總能量，以H表示：意義：理想不可壓縮液體恒定元流中，各斷面總水頭相等，單位重量的總能量保持不變。第三章水動力學基礎流速水頭可用皮托管測定。皮托管前端管口正對河水來流方向，另一端垂直向上，測速管液面與河水水面的高差即是所測點的流速水頭。在有壓管中，采用測速管與測壓管結合測定。測速管液面與測壓管液面的高差即是所測點的流速水頭。第三章水動力學基礎

上式表明，只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用該式計算出的要小，因此，實際流速為

式中ψ—流速修正系數，一般由實驗確定，ψ=0.97

理想液體元流伯努利方程的應用條件：①理想液體②恒定流動③質量力只有重力④沿流線（元流）和不可壓縮液體第三章水動力學基礎3.4.2實際液體恒定元流能量方程一、原理：實際液體都具有粘滯性，在流動過程中由于質點之間以及液流與邊壁之間摩擦阻力作功，消耗液流的一部分機械能，使之不可逆地轉變為熱能等能量形式而消耗掉，因而液流的機械能沿程減少二、公式：

—元流1-2兩斷面間單位能量的衰減（稱為元流的水頭損失）0012第三章水動力學基礎3.5恒定總流能量方程（伯諾里方程）3.5.1恒定總流能量方程一、原理:由前面已經得到了實際液體恒定元流能量方程式。進一步把它推廣到總流，以得到工程實際中，對平均流速和壓強計算極為重要的總流能量方程。二、推導：將式各項同乘以γdQ，并在兩過水斷面上積分，即得總流能量關系式：第三章水動力學基礎三、三類積分分析：1.

表示單位時間通過總流過水斷面的液體勢能的總和。若所取的過水斷面為均勻流或漸變流，則斷面上各點的等于常數。從而，兩斷面的勢能積分可寫為：

2.表示單位時間通過總流過水斷面的液體動能的總和.第三章水動力學基礎

一般情況下過水斷面上各點的流速u是不相等的，其變化規律也因具體情況不同而異，要直接積分該式也是困難的。但在一般工程問題中，往往只需計算總流的斷面平均流速v，因此，可用v計算的動能代替實際的動能，但兩者并不相等，為此引入修正系數α：因此：α稱為動能修正系數，其值取決于總流過水斷面的流速分布，流速分布越均勻，α值越接近于1。一般流動中α=1.05-1.10，在工程計算中常取α=1。第三章水動力學基礎3.

表示單位時間內克服1-2流段阻力作功所損失的能量。總流中各元流中能量損失也是沿斷面變化。為了方便計算，設hω為平均單位能量損失，則:四、總流總能量方程式：恒定流Q1＝Q2＝Q

單位時間內流入上游斷面的能量，等于同時間流出下游斷面的能量，加上流段損失的能量第三章水動力學基礎五、伯諾里方程

實用上極其重要的實際液體恒定總流能量方程式，或稱伯諾里方程：對式（3-23）各項除以γQ：＝＋形式上類似于實際液體恒定元流能量方程，但是以斷面平均流速v代替點流速u（相應地考慮動能修正系數α），以平均水頭損失hω代替元流的水頭損失hω’

。其各項的物理意義和幾何意義與元流能量方程相類似。

實際液體恒定總流的能量方程式表明：水流總是從水頭大處流向水頭小處；或水流總是從單位機械能大處流向單位機械能小處。

第三章水動力學基礎應用能量方程式的條件：（1）恒定流；（2）質量力只有重力；

(3)不可壓縮流體；（4）在所選取的兩個過水斷面上，水流應符合漸變流的條件，但所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；（5）在所取的兩個過水斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。若有分支，則應對第一支水流建立能量方程式，例如圖示有支流的情況下,能量方程為：（6）流程中途沒有能量H輸入或輸出。若有，則能量方程式應為：Q1Q2Q3112233第三章水動力學基礎

例1.如圖所示，一等直徑的輸水管，管徑為d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心點的高度為H=2m，若不水流運動的水頭損失，求管道中的輸水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：對1-1、2-2斷面列能量方程式：其中：所以有：可解得：則：答：該輸水管中的輸水流量為0.049m3/s。第三章水動力學基礎文丘里流量計（文丘里量水槽）1122收縮段喉管擴散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管軸線為高程基準面，暫不計水頭損失，對1-1、2-2斷面列能量方程式：整理得：由連續性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：則當水管直徑及喉管直徑確定后，K為一定值，可以預先算出來。若考慮水頭損失，實際流量會減小，則μ稱為文丘里管的流量系數，一般約為0.95~0.98第三章水動力學基礎3.5.3總流能量方程的應用要點一、基準面是計算位置水頭的依據，原則上可以任選，但必須是水平面，且對于兩個確定的過水斷面，必須選取同一基準面。通常使z≥0；二、兩計算斷面必須是均勻流或漸變流斷面，并使其中的未知數最少且包含有所要求的未知量；三、過水斷面上的計算點原則上可以任取，為方便起見，通常對于管流取在斷面形心（管軸）點，對于明渠流取在自由液面上。但是，若斷面取在管流出口處，必須取斷面中心點作計算點，因為它的高度代表整個斷面勢能的平均值。四、兩斷面的壓強可用相對壓強或絕對壓強，但必須采用相同的計算基準。一般用相對壓強。五、注意方程中各項單位的統一。第三章水動力學基礎【例題】有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。第三章水動力學基礎【例題】有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。

【解】當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程

當閥門關閉時，根據壓強計的讀數，應用流體靜力學基本第三章水動力學基礎

方程求出Ｈ值則代入到上式（m/s）所以管內流量

第三章水動力學基礎【例題】水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。第三章水動力學基礎【例題】水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。

【解】首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：

則

列1-1和2-2斷面的伯努利方程第三章水動力學基礎3、一矩形斷面平底水渠，寬度2.7米，河床在某斷面處抬高0.3米，抬高前的水深為1.8米，抬高后水面降低0.12米，若水頭損失為尾渠流速水頭的一半，則流量Q為多少？第三章水動力學基礎3.6恒定總流動量方程

動量方程：將運動液體與固體邊壁相互間的作用力直接同運動液體的動量聯系起來。它的特殊優點是不需要知道流動范圍內部的流動情況，而只需要知道其邊界上的流動狀況即可。3.6.1恒定總流動量方程推導一、原理：恒定總流的動量方程是根據理論力學中的質點系動量定理導得的。二、定義：在dt時間內，質點系的動量變化dK等于該質點系所受外力的合力F在這一時間內的沖量Fdt，即

dK=d(∑mu)=Fdt第三章水動力學基礎三、推導：1.恒定元流動量方程：

2.動量修正系數β：實際動量與按v計算的動量之比，即：β值與總流過水斷面的流速分

布有關。一般流動的β=1.02－1.05，在工程計算中常取β=1。第三章水動力學基礎3.恒定總流動量方程：作用于流段全部外力的向量和，等于單位時間內流出斷面的動量和流入斷面的動量的向量差。取β1＝β2＝1：4.分析：項內只包含重力和壓力：（1）流段所受重力，它的大小為流段的重量。用G=γV來計算，V為流段的體積。它的方向向下，并通過體積V的形心。（2）流段所受兩端壓力。（3）流段所受固體側面壓力R。（4）ρQv1-ρQv2為慣性力，它們都面向流段。第三章水動力學基礎3.6.2動量方程的應用要點1.應用動量方程前，一般應先用連續性方程和能量方程求出控制斷面的流速v和壓強p，因此，所選擇的兩個過水斷面，應符合漸變流條件。2.正確地選擇并繪出計算流段的隔離體。3.由于動量方程是個矢量方程，為避免方向錯誤，因此在實用上一般宜采用投影式進行計算。4.注意ρQv與P等參數單位的一致。5.根據動量方程求得的是固體邊壁對液流的作用力6.液流對固體邊壁作用力F與R是一對作用力與反作用力。7.方程不僅適用于理想液體，而且也適用于實際液體。第三章水動力學基礎動量方程式在工程中的應用彎管內水流對管壁的作用力水流對建筑物的作用力射流對平面壁的沖擊力第三章水動力學基礎彎管內水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列動量方程為：沿z方向列動量方程為：沿x方向列動量方程為：沿y方向列動量方程為：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy第三章水動力學基礎例題一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉角，直徑由dA＝200mm變為

dB＝150mm，在流量時，壓強，求流對AB

段彎管的作用力。不計彎管段的水頭損失。解：求解流體與邊界的作用力問題，一般需要聯合使用連續性方程，能量方程和動量方程。例題附圖第三章水動力學基礎第三章水動力學基礎水流對建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動量方程為：第三章水動力學基礎射流對平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動量方程為：整理得：第三章水動力學基礎例：設有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個與水流方向成α角的固定平面壁上，當水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區，若不計重量（流動在一個水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：第三章水動力學基礎對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據連續性方程有：FP00