第二章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.2圓的一般方程學習任務1．理解圓的一般方程及其特點．(數學抽象)2．掌握圓的一般方程和標準方程的互化．(數學運算)3．會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．(邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01把圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．反之，這個方程表示的圖形是否都是圓呢？知識點圓的一般方程(1)圓的一般方程當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程_______________________叫做圓的一般方程，此時方程表示以

為圓心，

為半徑的圓．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點__________D2＋E2－4F>0

提醒(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．(2)圓的一般方程中有三個系數，這說明確定一個圓需要三個獨立條件．

1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是__________.(－∞，－1)

[由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因為方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，所以－2k－2>0，解得k<－1．](－∞，－1)2．已知圓C的一般方程為x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圓心C(5，0)，則圓C的半徑r＝____．4

[由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9．由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16．所以圓C的半徑r＝4．]4關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1圓的一般方程的辨析類型2求圓的一般方程類型3圓的軌跡問題

類型1圓的一般方程的辨析【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．(1)求實數m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標和半徑．

反思領悟

圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解．[跟進訓練]1．(源自人教B版教材)判斷下列方程是否是圓的方程，如果是，寫出圓的圓心坐標與半徑；如果不是，說明理由：(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；[解]

原方程可以化為x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，即(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以是圓心坐標為(－2，3)，半徑為5的圓的方程．

(3)x2＋y2－6x＋10＝0．[解]

因為原方程可以化為x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，又因為滿足上述方程的實數x，y不存在，所以原方程不是圓的方程．

[母題探究]若點M(0，b)在△ABC的外接圓外，求b的取值范圍．[解]

由M(0，b)在圓x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，解得b<0或b>8，所以b的取值范圍是(－∞，0)∪(8，＋∞)．反思領悟

待定系數法求圓的一般方程的步驟(1)根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(2)根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組．(3)解此方程組，求出D，E，F的值．(4)將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程．

反思領悟

求與圓有關的軌跡問題的方法(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．(3)代入法：若動點P(x，y)依賴圓上的某一個動點Q(x0，y0)而運動，找到兩點的關系，把x0，y0用x，y表示，再將點Q的坐標代入到已知圓的方程中得P點的軌跡方程．

學習效果·課堂評估夯基礎031．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為(

)A．(4，－6)，16

B．(2，－3)，4C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，161234√C

[圓的方程可化為(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圓心坐標為(－2，3)，半徑r＝4，故選C．]

1234√

1234x2＋y2－2x＝0

1234x2＋y2＝9回顧本節知識，自主完成以下問題：1．試寫出圓的一般方程．提示：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．