課時分層作業(二)空間向量的數量積運算一、選擇題1．(多選)已知a、b是空間中的兩個向量，下列說法正確的是()A．空間中兩個向量的夾角是唯一確定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉B．空間中兩個向量的夾角〈a，b〉的取值范圍是[0，π]C．a⊥b?〈a，b〉＝πD．cos〈a，b〉＝－cos〈－a，－b〉2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，則AB1·BC1A．1B．2C．3D．43．如圖所示，在四面體A-BCD中，△ABC為等邊三角形，AB＝1，CD＝12，∠ACD＝60°，AB⊥CD，則BD＝(A．32B．72C．524．(多選)如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積為零的是()A．PC與AD B．DA與PBC．PD與AB D．PA與CD5．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中點，則異面直線A1M與B1C所成角的余弦值為()A．－105B．－15C．15二、填空題6．已知空間向量a，b，c，則下列結論中正確的是________(填序號)．①a·b＝a·c(a≠0)?b＝c；②a·b＝0?a＝0或b＝0；③(a·b)c＝(b·c)a；④a·(λb)＝λ(a·b)；⑤若a·b<0，則a，b的夾角為鈍角．7．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則|BD|＝________．8．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在的平面與正方形ABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC與BF所成的角為________．三、解答題9．如圖，在空間四邊形OABC中，2BD＝DC，點E為AD的中點，設OA＝a，OB＝b，OC＝c．(1)試用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠AOB＝∠BOC＝60°，求|OE|的值．10．如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知水庫底與水壩斜面所成的二面角為120°，測得從D，C到水庫底與水壩斜面的交線的距離分別為DA＝30m，CB＝40m，若AB＝203m，則甲、乙兩人相距()A．70m B．703mC．90m D．903m11．已知非零向量a，b，c，若p＝aa+bb+cc，那么A．[0，1] B．[1，2]C．[0，3] D．[1，3]12．如圖所示，已知正三棱錐A-BCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F，G分別是AB，AD，DC上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，則GF·AC＝__________，EF·BC＝________．13．點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則PA·PC1的取值范圍是14．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為2．(1)設側棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設AB1與BC1的夾角為π315．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(點P位于平面ABCD上方)，BC邊上是否存在點Q，使PQ⊥QD?課時分層作業(二)1．ABC[A、B、C顯然正確，對于選項D，〈a，b〉＝〈－a，－b〉，從而cos〈a，b〉＝cos〈－a，－b〉，D錯誤．故選ABC．]2．A3．D4．BCD[因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故PA·CD＝0；因為AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，則DA·PB＝0；同理可得PD·AB＝0；而PC與5．D6．④7．1028．60°9．解：(1)因為2BD＝DC，所以BD＝13BC＝13(OC-OB)＝13(c－b)，故OD＝OB+BD＝b＋13(因為E為AD的中點，所以OE＝12(OA+OD)＝12a＋(2)由(1)知，OE2＝12a+13b+16c2＝14a2＋19b2＋136c2＋2×12a·13b＋2×13b·16c＋2×12a·16c＝410．A11．C12．－23a216a21314．解：(1)證明：AB1＝AB+因為BB1⊥平面ABC，所以BB1·AB＝0，又△ABC為正三角形，所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－因為AB1·BC1＝(＝AB·B＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)結合(1)知AB1·BC1＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋又|AB1|＝AB+BB12所以cos〈AB1，BC所以|BB1|＝2，即側棱長為15．解：假設存在點Q(Q點在邊BC上)，使PQ⊥QD，即PQ⊥QD，連接AQ(圖略)．因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．又PQ＝PA+AQ，且PQ⊥所以PQ·QD＝0，即PA·又因為PA·QD＝0，所以AQ·所以AQ⊥QD，所以∠AQD＝90°，即點Q在以AD為直徑的圓上，圓的半徑為a2.又因為AB＝1當a2＝1，即a＝2時，該