中考數學幾何模型10：胡不歸最值模型名師點睛撥開云霧開門見山在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kP”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓．【故事介紹】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．【問題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數得到kPB的等線段．典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_______．變式練習>>>1．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．例題2.如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點D是弦AB上的一個動點，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．變式練習>>>2．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．例題3.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為．變式練習>>>3．如圖，△ABC在直角坐標系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應為（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）例題4.直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設點B的橫坐標為t（1）求點C的坐標及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點B的坐標；②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標是．變式練習>>>4．如圖1，在平面直角坐標系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標為，點B的坐標為；（2）直線l1的表達式為；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標；若不存在，說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標．例題5.已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？變式練習>>>5．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（2，0）、B（﹣8，0），交y軸于點C，過點A、B、C三點的⊙M與y軸的另一個交點為D．（1）求此拋物線的表達式及圓心M的坐標；（2）設P為弧BC上任意一點（不與點B，C重合），連接AP交y軸于點N，請問：AP?AN是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；（3）延長線段BD交拋物線于點E，設點F是線段BE上的任意一點（不含端點），連接AF．動點Q從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到點F，再沿線段FB以每秒個單位的速度運動到點B后停止，問當點F的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？達標檢測領悟提升強化落實1.如圖，在平面直角坐標系中，點，點P為x軸上的一個動點，當最小時，點P的坐標為___________.2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點M為對角線BD（不含點B）上的一動點，則的最小值為___________.3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；（2）點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，求點M的坐標；（3）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值．4.【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD距離為AB的長度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短？【特例分析】若n＝2，則時間t＝+，當a為定值時，問題轉化為：在BC上確定一點D，使得+的值最小．如圖②，過點C做射線CM，使得∠BCM＝30°．（1）過點D作DE⊥CM，垂足為E，試說明：DE＝；（2）請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′．【問題解決】（3）請你仿照“特例分析”中的相關步驟，解決圖①中的問題．（寫出具體方案，如相關圖形呈現、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）【綜合運用】（4）如圖③，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，E為OB中點，設F為線段BC上一點（不含端點），連接EF．一動點P從E出發，沿線段EF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿著線段FC以每秒個單位的速度運動到C后停止．若點P在整個運動過程中用時最少，請求出最少時間和此時點F的坐標．5.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數；（2）如圖2，若點D為△ABC內任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當x取最小值時，寫出x，y的關系，并說明理由．6.如圖，已知拋物線y＝（x+2）（x﹣4）（k為常數，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數表達式；（2）若在第一象限內的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？7.已如二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象和x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，（1）如圖1，P是直線BC上方拋物線上一動點（不與B、C重合）過P作PQ∥x軸交直線BC于Q，求線段PQ的最大值；（2）如圖2，點G為線段OC上一動點，求BG+CG的最小值及此時點G的坐標；（3）如圖3，在（2）的條件下，M為直線BG上一動點，N為x軸上一動點，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是