_實驗二常微分方程的數值解土木系結23李會平【實驗目的】1、 掌握用matlab解數值微分方程2、 了解龍格-庫塔方法的基本原理3、 用這些手段解決一些實際的問題【實驗內容】4-5核廢料問題首先列出問題的運動學方程，由牛頓第二定律，md2s/dt2=G-F-f謝謝閱讀其中m=G/g,f=kv,由于我們熟悉的單位是公制的，所以在定義函數的時候進行了單位感謝閱讀轉換。以下是函數的定義：這其實是一個關于s的二階常微分方程，需要定義兩個變量x(1),x(2)將其化為一階微分謝謝閱讀方程組，此處x(1),x(2)實際上分別代表速度和深度，相應的微分方程如代碼中所示：謝謝閱讀dx=[(G-F-k*x(1))/m;x(1)]（如課堂提醒，中間應該是分號，這點容易出錯。）接寫來進行m文件的命令編寫，如下所示：_（1）執行pause之前的代碼，得到的結果如下圖所示：謝謝閱讀_該圖代表了假設水無限深的情況下，物體速度的變化情況，容易看出速度是有一個上限謝謝閱讀的，這也符合直觀的感受，因為速度不可能無限大，否則阻力無限大，物體將無法繼續運動。感謝閱讀（2）紅線為題給的速度閾值，可見初步判斷速度是有可能超過該閾值的，需要進一步謝謝閱讀判斷沉底的時候是否超過該速度，于是需要做出s和v的關系曲線，即x(2),x(1)的關系曲線，感謝閱讀如下所示：從圖像中看出，s趨于∞時候，v也趨于極限值，題給的smax=300*0.3048m,在編程的謝謝閱讀時候，如果要繪制該水平直線，需要將其轉化為數組才能進行繪圖，否則會出現錯誤。精品文檔放心下載（3）但是從這幅圖像中，由于s非常大，紅線觸底，無法直接看出s,v的相交情況，需要精品文檔放心下載進一步限定坐標軸范圍進行細化，如下所示：_從圖中明顯讀出，當s達到smax時候，其相應的v>vmax,所以從題給的情況看，工程師精品文檔放心下載們的說法是更有道理的。在這個例題中，加深了對微分方程數值解的理解，同時在用matlab繪圖時也有了更多精品文檔放心下載的心得。繪圖時候尤其要注意為數組和數組的對應！另外在通過查詢相關知識知道，如果要謝謝閱讀繪制直接過（a,b）和（c,d）兩點的直線，可以直接用plot([a,c],[b,d])命令快速實現，方便精品文檔放心下載了一些作圖過程。4-6小船渡河問題首先給出問題的理論解法：建立小船運行的數學模型，用極坐標，以B為原點進行計算。取定BA為極軸。小船位感謝閱讀置設為C，可以得到方程組：_{ =1 ?2=1/消去t=1?21積分得到：ρ111+ln()=ln()—ln(?)+k=12可以解得：=+?(?)接下來用程序進行數值解和理論解答的分析：（1）用matlab運算時，采用普通坐標更加方便，所以以A為原點建立直角坐標系，感謝閱讀容易得到=?{=√+(?)據此定義函數m文件如下所示：（2）相應的主程序為：_其中pause前的代碼表示進行v1=1，v2=2時候的數值運算求解繪圖。pause后的代謝謝閱讀碼表示分別繪制出v1=0,0.5,1,1.5,2時候的運動軌跡并實現題目（2）中要求的數值解與理謝謝閱讀論解的對比情況，運行的結果如下所示：①v1=1m/s,v2=2m/s時候的軌跡圖：_（2）然后是v1=0,0.5m/s,1m/s,1.5m/s,2m/s的理論曲線，并實現v1=1m/s時候的謝謝閱讀理論曲線和實際曲線的對比：_該圖中有兩點需要注意的地方：1）標注均在曲線的右方，而v1=0時候的曲線實際上和y軸重合，所以繪出的曲線沒有精品文檔放心下載顯現出來；2）注意到v1=1m/s時候的曲線，實際上此處還有一條藍色曲線，圖上可以看到藍色曲感謝閱讀線的痕跡，這是v1=1m/s時候的數值解曲線，可以看出二者的重合度是非常高的，幾乎完精品文檔放心下載全重合，這說明之前的數值解的結果是可信的。另外我們注意到1）當v1=2m/s的時候，船已經不可能正好到達河的正對岸了，從物理規律也可以直觀謝謝閱讀的理解，因為當v1≥v2時候，v2的任何一個分量都不可能大于v1，這樣一定會隨著水流感謝閱讀向下游走一定的距離，而不可能完全到達對岸；_2）當水流速度逐漸增大的時候，路徑越來越凸向右側，即要到達正對岸會更加‘費力氣’，精品文檔放心下載這也是符合生活規律的。【實驗總結】本次實驗總的來說思路較為清晰，通過實驗進一步加深了對matlab的了解，鞏固了課謝謝閱讀堂所學的常微分方程的一些知識。在matlab的實現過程中，有很多需要注意的細節，需要謝謝閱讀耐