2020年山東省青島市中考數學試卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）（2020?青島）-4的絕對值是（）

1

A.4B.-4C.-D.-

4

2.（3分）（2020?青島）下列四個圖形中，中心對稱圖形是（）

3.（3分）（2020?青島）2020年6月23日，中國第55顆北斗導航衛星成功發射，順利完成

全球組網.其中支持北斗三號新信號的22納米工藝射頻基帶一體化導航定位芯片，已實

現規模化應用.22納米=0.000000022米，將0.000000022用科學記數法表示為（）

A.2.2X108B.2.2X10-8c.0.22X10-7D.22X10-9

4.（3分）（2020?青島）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

5.（3分）（2020?青島）如圖，將aABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉

90。，得到△A'B'C,則點A的對應點A'的坐標是（）

A.（0,4）B.（2,-2）C.（3,-2）D.（-1,4）

6.（3分）（2020?青島）如圖，8。是。。的直徑，點A,C在。。上，AB=AD,AC交BD

于點G.若NCOD=126°,則NAG8的度數為（）

7.（3分）（2020?青島）如圖，將矩形ABC。折疊，使點C和點4重合，折痕為EF,EF

與4C交于點O.若4E=5,BF=3,則AO的長為（）

8.（3分）（2020?青島）已知在同一直角坐標系中，二次函數y=/+以和反比例函數產：

的圖象如圖所示，則一次函數的圖象可能是（）

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）（2020?青島）計算：—xV3=.

10.（3分）（2020?青島）某公司要招聘一名職員，根據實際需要，從學歷、經驗和工作態

度三個方面對甲、乙兩名應聘者進行了測試，測試成績如下表所示.如果將學歷、經驗

和工作態度三項得分按2：1：3的比例確定兩人的最終得分，并以此為依據確定錄用者,

那么將被錄用（填甲或乙）.

應聘者甲乙

項目

學歷98

經驗76

工作態度57

11.（3分）（2020?青島）如圖，點A是反比例函數），=（（x>0）圖象上的一點，AB垂直于

x軸，垂足為8,△OAB的面積為6.若點P（a,7）也在此函數的圖象上，則.

12.（3分）（2020?青島）拋物線y=27+2（&-1）x-晨上為常數）與x軸交點的個數是.

13.（3分）（2020?青島）如圖，在正方形A5CD中，對角線4c與BO交于點。，點E在

CD的延長線上，連接AE,點尸是AE的中點，連接。尸交A力于點G.若DE=2,OF

=3,則點A到DF的距離為.

14.（3分）（2020?青島）如圖，在△ABC中，。為8c邊上的一點，以。為圓心的半圓分

別與4B,AC相切于點M,N.已知NBAC=120°,AB+AC=\6,而的長為it,則圖中

陰影部分的面積為

三、作圖題（滿分4分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）（2020?青島）已知：△ABC.

求作：0。，使它經過點B和點C,并且圓心。在/A的平分線上.

B

四、解答題（共9小題，共74分）

16.（8分）（2020?青島）（1）計算：（工+工）+（---）；

abba

（2x-3>-5,

（2）解不等式組：i

/+2<x.

17.（6分）（2020?青島）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場

券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：A，B是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤

都被分成面積相等的幾個扇形.同時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另

一個轉盤轉出了藍色，那么可以配成紫色.若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀

看.這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

18.（6分）（2020?青島）如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭8,D,某海

島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22°方向.一艘漁船從D

出發，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向.求此時觀測塔

A與漁船C之間的距離（結果精確到01海里）.

21R717

（參考數據:sin22°?g,cos22°*tan22°*可，sin67°*cos67°?言,tan67°

12、

海岸

BD

19.（6分）（2020?青島）某校為調查學生對海洋科普知識的了解情況，從全校學生中隨機

抽取〃名學生進行測試，測試成績進行整理后分成五組，并繪制成如圖的頻數直方圖和

扇形統計圖.

測試成績扇形統計圖

（50~60表示大于等于50分

同時小于60分，依此類推）

（1）補全頻數直方圖;

（2）在扇形統計圖中，“70?80”這組的百分比機=；

（3）已知“80?90”這組的數據如下：81,83,84,85,85,86,86,86,87,88,88,

89.抽取的〃名學生測試成績的中位數是分；

（4）若成績達到80分以上（含80分）為優秀，請你估計全校1200名學生對海洋科普

知識了解情況為優秀的學生人數.

20.（8分）（2020?青島）為讓更多的學生學會游泳，少年宮新建一個游泳池，其容積為480,/,

該游泳池有甲、乙兩個進水口，注水時每個進水口各自的注水速度保持不變.同時打開

甲、乙兩個進水口注水，游泳池的蓄水量y（帆3）與注水時間t“）之間滿足一次函數

關系，其圖象如圖所示.

（1）根據圖象求游泳池的蓄水量y與注水時間/（〃）之間的函數關系式，并寫出

同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度；

（2）現將游泳池的水全部排空，對池內消毒后再重新注水.已知單獨打開甲進水口注滿

4

游泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的§倍.求單獨打開甲進水口注

滿游泳池需多少小時？

21.（8分）（2020?青島）如圖，在回ABC。中，對角線AC與BC相交于點。，點E,F分

別在8。和力B的延長線上，且DE=BF,連接4E,CF.

（1）求證：/XADE空ACBF；

（2）連接AF,CE.當8。平分NABC時、四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理

22.（10分）（2020?青島）某公司生產A型活動板房成本是每個425元.圖①表示A型活

動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AO=4〃3寬拋物線

的最高點E到BC的距離為4/?.

（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用y^kx^+m（kWO）表示.求該拋物線

的函數表達式；

（2）現將A型活動板房改造為B型活動板房.如圖②，在拋物線與4。之間的區域內

加裝一扇長方形窗戶尸GMN,點G,M在上，點N,尸在拋物線上，窗戶的成本為

50元打？.已知GM=2m,求每個8型活動板房的成本是多少？（每個2型活動板房的

成本=每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）

（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的B型活動板房，每月能售出100個，

而單價每降低10元，每月能多售出20個.公司每月最多能生產160個8型活動板房.不

考慮其他因素，公司將銷售單價〃（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w

（元）最大？最大利潤是多少？

23.（10分）（2020?青島）實際問題：

某商場為鼓勵消費，設計了抽獎活動，方案如下：根據不同的消費金額，每次抽獎時可

以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數），一次任意

抽取2張、3張、4張、…等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優惠金額.某顧客獲

得了一次抽取5張獎券的機會，小明想知道該顧客共有多少種不同的優惠金額？

問題建模：

從1,2,3,???,n（n為整數，且〃23）這〃個整數中任取a（l<a<n）個整數，這a

個整數之和共有多少種不同的結果？

模型探究：

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決

問題的方法.

探究一：

（1）從1,2,3這3個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結果？

表①

所取的2個整數1,21,32,3

2個整數之和345

如表①，所取的2個整數之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續整數，其中最小

是3,最大是5,所以共有3種不同的結果.

（2）從1,2,3,4這4個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結

果？

表②

所取的2個整數I,21,31,42,32,43,4

2個整數之和345567

如表②，所取的2個整數之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續整數，其

中最小是3,最大是7,所以共有5種不同的結果.

（3）從1,2,3,4,5這5個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有種不

同的結果.

（4）從1,2,3,…，〃（"為整數，且〃23）這〃個整數中任取2個整數，這2個整數

之和共有種不同的結果.

探究二：

（1）從1,2,3,4這4個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有種不同的

結果.

（2）從1,2,3,…，n（〃為整數，且心4）這"個整數中任取3個整數，這3個整數

之和共有種不同的結果.

探究三：

從1,2,3,…，〃（〃為整數，且"25）這〃個整數中任取4個整數，這4個整數之和

共有種不同的結果.

歸納結論：

從1,2,3,…，〃（〃為整數，且"23）這"個整數中任取a（1<a<n）個整數，這a

個整數之和共有種不同的結果.

問題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數），一次任意抽

取5張獎券，共有種不同的優惠金額.

拓展延伸：

（1）從1,2,3,…，36這36個整數中任取多少個整數，使得取出的這些整數之和共

有204種不同的結果？（寫出解答過程）

（2）從3,4,5,…，n+3（n為整數，且〃，2）這（〃+1）個整數中任取a（1<a<n+\）

個整數，這。個整數之和共有種不同的結果.

24.（12分）（2020?青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和尸中，AB//CD,CD>

AB,點C在E8上，NABC=NEBF=9G°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長￡>C

交EF于點M.點尸從點A出發，沿AC方向勻速運動，速度為2c,"/s；同時，點。從點

M出發,沿MF方向勻速運動，速度為\cmls.過點P作GHA.AB于點H,交CD于點G.設

運動時間為f(s)(0</<5).

解答下列問題：

(1)當，為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？

(2)連接尸。，作QN_LAF于點M當四邊形PQNH為矩形時，求f的值；

(3)連接QC,QH,設四邊形QCG”的面積為S(5，)，求S與l的函數關系式；

(4)點P在運動過程中，是否存在某一時刻t,使點P在NAFE的平分線上？若存在，

求出1的值；若不存在，請說明理由.

2020年山東省青島市中考數學試卷

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）（2020?青島）-4的絕對值是（）

1

1--

A.4B.-4C.-D.4

4

【詳細解答】解：-4|=4,

???-4的絕對值是4.

故選:A.

2.（3分）（2020?青島）下列四個圖形中，中心對稱圖形是（）

【詳細解答】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意;

8、不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

。、是中心對稱圖形，符合題意.

故選：D.

3.（3分）（2020?青島）2020年6月23日，中國第55顆北斗導航衛星成功發射，順利完成

全球組網.其中支持北斗三號新信號的22納米工藝射頻基帶一體化導航定位芯片，已實

現規模化應用.22納米=0.000000022米，將0.000000022用科學記數法表示為（）

A.2.2X108B.2.2X10-8C.0.22X107D.22X109

【詳細解答】解：將0.000000022用科學記數法表示為2.2X108

故選:B.

4.（3分）（2020?青島）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

【詳細解答】解：從上面看是一個矩形，矩形的中間處有兩條縱向的實線，實線的兩旁

有兩條縱向的虛線.

故選：A.

5.（3分）（2020?青島）如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉

的坐標是（)

(3,-2)D.(-1,4)

△4'B'C即為所求,

則點A的對應點A'的坐標是（-1,4）.

故選：D.

6.（3分）（2020?青島）如圖，BO是的直徑，點A,C在。0上，AB=AD,AC交BD

于點G.若NCOO=126°,則/AGB的度數為（）

【詳細解答】解：是的直徑，

；.NBAD=90°,

'：AB=AD,

：.ZB^ZD=45°,

11

VZDAC=^ZCOD=ix126°=63°,

???NAG8=ND4C+N￡>=63°+45°=108°.

故選：B.

7.（3分）（2020?青島）如圖，將矩形A3CO折疊，使點C和點A重合，折痕為EEEF

與AC交于點O.若AE=5,BF=3,則AO的長為（）

【詳細解答】解：???矩形ABC。,

：.AD//BC9AD=BC,AB=CDf

：.ZEFC=/AEF,

：.AE=AF=3,

由折疊得，FC=AF,OA=OC,

；.BC=3+5=8,

在RtZXABF中，AB=V52-32=4,

在RIZX4BC中，AC=V42+82=475,

：.0A=0C=2瓜

故選：C.

8.（3分）（2020?青島）己知在同一直角坐標系中，二次函數y=a/+bx和反比例函數

的圖象如圖所示，則一次函數丫=宗-6的圖象可能是（）

【詳細解答】解：???二次函數開口向下，

：.a<Q；

???二次函數的對稱軸在y軸右側，左同右異，

符號與a相異，b>0；

???反比例函數圖象經過一三象限，，c,>0,

A-<0,-b<0,

a

一次函數尸金-b的圖象經過二三四象限.

故選：B.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）（2020?青島）計算：（S泛一電）xV3=4.

【詳細解答】解：原式=（2K-竽）xV3

=竽、百

=4,

故答案為：4.

10.（3分）（2020?青島）某公司要招聘一名職員，根據實際需要，從學歷、經驗和工作態

度三個方面對甲、乙兩名應聘者進行了測試，測試成績如下表所示.如果將學歷、經驗

和工作態度三項得分按2：1：3的比例確定兩人的最終得分，并以此為依據確定錄用者，

那么乙將被錄用（填甲或乙）.

應聘者甲乙

項目

學歷98

經驗76

工作態度57

______9x2+7x14-5x3_20__8x24-6+7x3_43

【詳細解答】解:

?x甲=2+1+3=T'%乙=-2+1+3-=~6'

??x甲，

，乙將被錄用，

故答案為：乙.

11.（3分）（2020?青島）如圖，點A是反比例函數（x>0）圖象上的一點，AB垂直于

12

x軸，垂足為B,△OAB的面積為6.若點P（a,7）也在此函數的圖象上，則“=7.

【詳細解答】解：垂直于x軸，垂足為8,

...△Q48的面積=

1

即/=6,

而k>of

:.k=n,

...反比例函數為尸爭

?.?點尸（a,7）也在此函數的圖象上，

：.7a=n,解得竽.

故答案為律.

12.（3分）（2020?青島）拋物線），=2?+2（Z-1）x-M改為常數）與x軸交點的個數是2

【詳細解答】解：???拋物線y=2?+2（k-1）x-k（%為常數），

.?.當y=0時，0=2?+2Ck-\）x-k,

.?.△=[2Ck-1）]2-4X2X（7）=4必+4>0,

/.0=2?+2x-k有兩個不相等的實數根,

拋物線y=2?+2Ck-1）x-k（Z為常數）與x軸有兩個交點，

故答案為：2.

13.（3分）（2020?青島）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC與8。交于點。，點E在

CD的延長線上，連接AE,點F是AE的中點，連接OF交AZ）于點G.若。E=2,OF

=3,則點A到DF的距離為卓.

【詳細解答】解：解法一：?.?在正方形ABC。中，對角線AC與80交于點O,

：.AO=DO,NADC=90°,

AZADE=90°,

:點尸是AE的中點，

：.DF=AF=EF=

??.。/垂直平分AO,

：.AG=DGf

：.FG=1z）E=l,

VOF=2,

：.OG=2,

'：AO=CO,

???CO=2OG=4,

：.AD=CD=4,

過A作/于從

：.ZH=ZADE=9O0,

?；AF=DF,

???ZADF=ZDAE,

：.XADHsXAED,

,AHAD

??=,

DEAE

.\AE=yjAD24-DE2=V42+22=2遙，

.AH4

=戲

：.AH=等，

即點A到。F的距離為學，

解法二：在正方形ABCQ中，對角線AC與8。交于點。,

：.AO^DO,ZADC=90a,

:.NADE=90°,

:點尸是4E的中點,

：.DF=AF=EF=^AE,

：.OF垂直平分AO,

：.AG=DG,

1

???FG=*E=1,

VOF=3,

???OG=2,

???AO=CO,

???CZ)=2OG=4,

：.AD=CD=49

:?DG=2,

：.DF=y/DG2+FG2=VTTT=V5,

過A作AH_L。/于H,

：.ZH=ZADE=9O0,

11

：.SMDF=*F?AH=扣。?FG,

??Ari——p-,

故答案_為：拳4V5

14.（3分）（2020?青島）如圖，在△ABC中，。為BC邊上的一點,以。為圓心的半圓分

別與AB,AC相切于點M,N.已知NBAC=120°,AB+AC=\6,麗的長為71,則圖中

陰影部分的面積為24-36-3n.

半圓分別與AB,AC相切于點M,N.

OMVAB,ONLAC,

NBAC=120°,

NMON=60°,

NMOB+NNOC=120°,

而N的長為TT,

60nr

-TT,

180

r—3,

：.0M=0N=r=3,

連接

在RtZ\AON中，ZAON=30°,0N=3,

：.AN=A/3,

:.AM=AN=V3,

：.BM+CN^AB+AC-(AM+AN)=16-273,

?'?Si?]gj-SAO&W+SAOCN~(S扇形MOE+Sig?/vor)

11207TX32

=4X3X(BM+CN)-(--------)

2360

=1(16-2V3)-3n

=24-3V3-3n.

故答案為：24-3V3-3n.

三、作圖題(滿分4分)請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.(4分)(2020?青島)己知：△ABC.

求作：OO,使它經過點B和點C,并且圓心。在NA的平分線上.

四、解答題（共9小題，共74分）

16.（8分）（2020?青島）（1）計算：（—F—）4-（———）；

abba

（2x—3--5r

（2）解不等式組：i

（尹+2<x.

baa2b2

【詳細解答】解：（1）原式=（―+—）+（―-—）

abababab

a+b上勾2—\2

ab'ab

a+b_ab

右.(a+b)(a-b)

1

a-b'

（2）解不等式2x-32-5,得：xN-1,

1

解不等式§x+2<x,得：x>3,

則不等式組的解集為x>3.

17.（6分）（2020?青島）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場

券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：A,8是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤

都被分成面積相等的幾個扇形.同時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另

一個轉盤轉出了藍色，那么可以配成紫色.若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀

看.這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

標標

nnnn紅

籃籃籃籃籃藍紅

紅紅藍紅藍紅紅

共有6種可能出現的結果，其中配成紫色的有3種，配不成紫色的有3種,

,,P（小㈱，=6=2'

P（小品）=召=2，

因此游戲是公平.

18.（6分）（2020?青島）如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭8,D,某海

島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22。方向.一艘漁船從。

出發，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向.求此時觀測塔

A與漁船。之間的距離（結果精確到0.1海里）.

（參考數據：sin22°?g,cos22°1磊,tan22°?,，sin67°?cos67°七/，tan67°

【詳細解答】解：如圖，過點A作于點E,過點。作CRLAE于點F,

得矩形CDEF,

：.CF=DE,

AE=5,ZBAE=22°,

2

/.BE=AE-tan22°=5xj=2,

：.DE=BD-BE=6-2=4f

：.CF=4,

在RtZiAFC中，ZCAF=61°,

AC==4x=433

-'-Sin670if-（海里）?

答：觀測塔A與漁船C之間的距離約為4.33海里.

19.（6分）（2020?青島）某校為調查學生對海洋科普知識的了解情況，從全校學生中隨機

抽取n名學生進行測試，測試成績進行整理后分成五組，并繪制成如圖的頻數直方圖和

扇形統計圖.

測試成績頻數直方圖測試成績扇形統計圖

t人數（頻數）

20-------------------------------------

18-------------------------------------

16-------------------------------------

（50~60表示大于等于50分

同時小于60分，依此類推）

請根據圖中信息解答下列問題:

（1）補全頻數直方圖；

（2）在扇形統計圖中，“70?80”這組的百分比□=20%；

（3）已知“80?90”這組的數據如下：81,83,84,85,85,86,86,86,87,88,88,

89.抽取的〃名學生測試成績的中位數是84.5分;

（4）若成績達到80分以上（含80分）為優秀，請你估計全校1200名學生對海洋科普

知識了解情況為優秀的學生人數.

【詳細解答】解：（1）8?16%=50（人），50-4-8-10-12=16（人），補全頻數直方

圖如圖所示：

測試成績頻數直方圖

故答案為:20%；

84+85

（3）將50個數據從小到大排列后，處在第25、26位的兩個數的平均數為1―=84.5,

因此中位數是84.5,

故答案為：84.5；

（4）1200X孟=672（人），

答：全校1200名學生對海洋科普知識了解情況為優秀的學生有672人.

20.（8分）（2020?青島）為讓更多的學生學會游泳，少年宮新建一個游泳池，其容積為480川，

該游泳池有甲、乙兩個進水口，注水時每個進水口各自的注水速度保持不變.同時打開

甲、乙兩個進水口注水，游泳池的蓄水量y（,〃3）與注水時間『（的之間滿足一次函數

關系，其圖象如圖所示.

（1）根據圖象求游泳池的蓄水量y3）與注水時間，⑺之間的函數關系式，并寫出

同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度；

（2）現將游泳池的水全部排空，對池內消毒后再重新注水.已知單獨打開甲進水口注滿

4

游泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間的§倍.求單獨打開甲進水口注

滿游泳池需多少小時？

【詳細解答】解：（1）設y與/的函數解析式為y=h+〃，

（b=100

hk+b=380'

解得，e：z

即y與f的函數關系式是y=140r+100,

同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度是：（380-100）+2=140（加7/0；

（2）?.?單獨打開甲進水口注滿游泳池所用時間是單獨打開乙進水口注滿游泳池所用時間

4

的1倍.

3

???甲進水口進水的速度是乙進水口進水速度的二，

?同時打開甲、乙兩個進水口的注水速度是140,//〃，

3o

...甲進水口的進水速度為：140+(-+1)xj=60(m3/A),

4，

480-r60=8(/?),

即單獨打開甲進水口注滿游泳池需8/7.

21.(8分)(2020?青島)如圖，在團ABCD中，對角線AC與8。相交于點。，點E,尸分

別在8。和08的延長線上，且DE=BF,連接AE,CF.

(1)求證：△AOE絲△CBF；

(2)連接AF,CE.當8。平分/ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理

由.

【詳細解答】(1)證明：???四邊形48CD是平行四邊形,

：.AD=CB,ZADC=ZCBA,

：.NADE=ZCBF,

在△ADE和△C8F中，

AD=CB

Z.ADE=NCBF,

、DE=BF

：.4ADE冬ACBF(SAS)；

(2)當3。平分/ABC時，四邊形AFCE是菱形，

理由：平分NABC,

NABD=NCBD,

?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.OA=OC,0B=0D,AD//BC,

：.NADB=NCBD,

：.NABD=NADB,

：.AB=AD,

平行四邊形ABC。是菱形，

：.ACVBD,

J.ACLEF,

,:DE=BF,

：.OE=OF,

又；OA=OC,

四邊形AFCE是平行四邊形,

'：AC±EF,

四邊形AFCE是菱形.

22.（10分）（2020?青島）某公司生產A型活動板房成本是每個425元.圖①表示A型活

動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AZ）=4〃3寬A8=3,〃，拋物線

的最高點E到BC的距離為4w.

（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用y=kx2+m（&W0）表示.求該拋物線

的函數表達式；

（2）現將A型活動板房改造為B型活動板房.如圖②，在拋物線與AD之間的區域內

加裝一扇長方形窗戶尸GMN,點G,M在AO上，點N,尸在拋物線上，窗戶的成本為

50元/??.已知GM=2相，求每個B型活動板房的成本是多少？（每個8型活動板房的

成本=每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）

（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的B型活動板房，每月能售出100個，

而單價每降低10元，每月能多售出20個.公司每月最多能生產160個B型活動板房.不

考慮其他因素，公司將銷售單價“（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤卬

（元）最大？最大利潤是多少？

【詳細解答】解：(1),?,長方形的長AO=4m,寬AB=3m,拋物線的最高點6到BC的

距離為4m.

：.OH=AB=3,

：.EO=EH-O”=4-3=1,

：.E(0,1),D(2,0),

???該拋物線的函數表達式y=fc?+l,

把點。(2,0)代入，得仁",

???該拋物線的函數表達式為：y=—#+l；

(2)VGM=2,

???OM=OG=1,

Q

???當x=l時，y=%，

3

：.N(1,-),

4

3

:?MN=7,

.33

??S短影MNFG=MN。GM=4x2=21

每個B型活動板房的成本是：

425+^x50=500(元).

答：每個B型活動板房的成本是500元；

(3)根據題意，得

w=(n-500)[100+20(6^~n)]

=-2(n-600)2+20000,

???每月最多能生產160個8型活動板房，

,,.100+20（6^-n-）<160,

解得心620,

：-2<0,

.?.〃2620時,w隨鼠的增大而減小,

???當”=620時，w有最大值為19200元.

答：公司將銷售單價n（元）定為620元時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）

最大，最大利潤是19200兀.

23.（10分）（2020?青島）實際問題：

某商場為鼓勵消費，設計了抽獎活動，方案如下：根據不同的消費金額，每次抽獎時可

以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數），一次任意

抽取2張、3張、4張、…等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優惠金額.某顧客獲

得了一次抽取5張獎券的機會，小明想知道該顧客共有多少種不同的優惠金額？

問題建模：

從1,2,3,???,〃（〃為整數，且〃23）這〃個整數中任取a（個整數，這a

個整數之和共有多少種不同的結果？

模型探究：

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決

問題的方法.

探究一：

（1）從1,2,3這3個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結果？

表①

所取的2個整數1,21,32,3

2個整數之和345

如表①，所取的2個整數之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續整數，其中最小

是3,最大是5,所以共有3種不同的結果.

（2）從1,2,3,4這4個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結

果？

表②

所取的2個整數1,21,31,42,32,43,4

2個整數之和345567

如表②，所取的2個整數之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續整數，其

中最小是3,最大是7,所以共有5種不同的結果.

（3）從I,2,3,4,5這5個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有7種不同

的結果.

（4）從1,2,3,n（"為整數，且"23）這〃個整數中任取2個整數，這2個整數

之和共有2〃-3種不同的結果.

探究二：

（1）從1,2,3,4這4個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有4種不同的結

果.

（2）從1,2,3,…，〃（〃為整數，且〃》4）這〃個整數中任取3個整數，這3個整數

之和共有3”-8種不同的結果.

探究三：

從1,2,3,…，n（"為整數，且"N5）這，?個整數中任取4個整數，這4個整數之和

共有4"-15種不同的結果.

歸納結論：

從1,2,3,…，”（"為整數，且〃23）這〃個整數中任取a（l<a<n）個整數，這a

個整數之和共有a（，L〃）+l種不同的結果.

問題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數），一次任意抽

取5張獎券，共有476種不同的優惠金額.

拓展延伸：

（1）從1,2,3,…，36這36個整數中任取多少個整數，使得取出的這些整數之和共

有204種不同的結果？（寫出解答過程）

（2）從3,4,5,…，〃+3（〃為整數，且〃22）這（n+1）個整數中任取a（1）

個整數，這。個整數之和共有“（”-”+1）+1種不同的結果.

【詳細解答】解：探究一：

（3）從1,2,3,4,5這5個整數中任取2個整數，這2個整數之和最小值為1+2=3,

最大值為4+5=9,這2個整數之和共有9-3+1=7種不同情況；

故答案為：7；

(4)從1,2,3,n("為整數，且〃，3)這”個整數中任取2個整數，這2個整數

之和最小值為1+2=3,最大值為〃+〃-1=2〃-1,這2個整數之和共有2n-1-3+1=2n

-3種不同情況；

故答案為：2”-3；

探究二：

(1)從1,2,3,4這4個整數中任取3個整數，這3個整數之和的最小值為1+2+3=6,

最大值為2+3+4=9,這3個整數之和共有9-6+1=4種不同情況；

故答案為:4；

(2)從1,2,3,…，〃("為整數，且"24)這〃個整數中任取3個整數，這3個整數

之和的最小值為1+2+3=6,最大值為n+(n-1)+(n-2)=3〃-3,這3個整數之和

共有3〃-3-6+1=3〃-8種不同結果，

故答案為：3〃-8；

探究三：

從1,2,3,…，n(〃為整數，且">5)這"個整數中任取4個整數，這4個整數之和

的最小值為1+2+3+4=10,最大值為〃+(n-1)+(n-2)+(n-3)=4n-6,因此這4

個整數之和共有4〃-6-10+1=4〃-15種不同結果，

歸納總結：

從1,2,3,…，n(〃為整數，且"25)這〃個整數中任取。個整數，這。個整數之和

的最小值為1+2+…+〃=最大值為"+(〃-1)+("-2)+(〃-3)+…+(〃-a+\)

=;1a-%因此