第四節(jié)第七章置信區(qū)間的概念一、置信區(qū)間的概念二、數(shù)學期望的置信區(qū)間三、方差的置信區(qū)間1置信區(qū)間(詳細定義及計算)一、置信區(qū)間的概念這種形式的估計稱為區(qū)間估計.前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.范圍通常用區(qū)間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比

這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習慣上把置信水平記作

，這里是一個很小的正數(shù)，稱為顯著水平。2置信區(qū)間(詳細定義及計算)定義7.6若由總體X的樣本X1,X2,…Xn確定的則稱為隨機區(qū)間。兩個統(tǒng)計量隨機區(qū)間與常數(shù)區(qū)間不同，其長度與在數(shù)軸上的位置與樣本有關(guān)。當一旦獲得樣本值那么，都是常數(shù)。為常數(shù)區(qū)間。3置信區(qū)間(詳細定義及計算)定義7.7若滿足設(shè)是總體X的一個未知參數(shù)，的置信區(qū)間.（雙側(cè)置信區(qū)間）.的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平.為置信度，則稱區(qū)間是若存在隨機區(qū)間對于給定的4置信區(qū)間(詳細定義及計算)置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.根據(jù)一個實際樣本，，使一個盡可能小的區(qū)間由于正態(tài)隨機變量廣泛存在，指標服從正態(tài)分布，特別是很多產(chǎn)品的我們重點研究一個正態(tài)總體情形由給定的置信水平，我們求出即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通?？扇★@著水平等.數(shù)學期望和方差的區(qū)間估計。5置信區(qū)間(詳細定義及計算)設(shè)為總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差。對于任意給定的α，我們的任務是通過樣本尋找一它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學期望μ。個區(qū)間，6置信區(qū)間(詳細定義及計算)一、數(shù)學期望的置信區(qū)間設(shè)則隨機變量1、已知σ2時，μ的置信區(qū)間令7置信區(qū)間(詳細定義及計算)令這就是說隨機區(qū)間它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。8置信區(qū)間(詳細定義及計算)這就是說隨機區(qū)間置信區(qū)間也可簡記為它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。其置信度為1－α。置信下限置信上限9置信區(qū)間(詳細定義及計算)若取查表得若由一個樣本值算得樣本均值的觀察值則得到一個區(qū)間我們稱其為置信度為0.95的μ的置信區(qū)間。其含義是：若反復抽樣多次，每個樣本值（n=16)按公式即確定一個區(qū)間。10置信區(qū)間(詳細定義及計算)確定一個區(qū)間。在這么多的區(qū)間內(nèi)包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本題中屬于那些包含μ的區(qū)間的可信程度為0.95.或“該區(qū)間包含μ”這一事實的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。為0.95.11置信區(qū)間(詳細定義及計算)由中心極限定理知，當

n充分大時，無論X服從什么分布，都近似有μ的置信區(qū)間是總體的前提下提出的。均可看作EX的置信區(qū)間。12置信區(qū)間(詳細定義及計算)例1

設(shè)總體X~N(μ,0.09)，有一組樣本值：

12.6，13.4，12.8，13.2，求參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間.解μ的置信區(qū)間為

代入樣本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一個區(qū)間估計為注：該區(qū)間不一定包含μ.有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,13置信區(qū)間(詳細定義及計算)又如，上例中同樣給定可以取標準正態(tài)分布上α分位點－z0.04

和z0.01,則又有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為與上一個置信區(qū)間比較，同樣是其區(qū)間長度不一樣，上例比此例短。14置信區(qū)間(詳細定義及計算)置信區(qū)間短表示估計的精度高，第一個區(qū)間為優(yōu)（單峰對稱的）?？梢?，像N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對稱的情況。當n固定時以的區(qū)間長度為最短，我們一般選擇它。若以L為區(qū)間長度，則可見L隨

n

的增大而減少（α給定時），有時我們嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.對于1－α不同的值，可以得到不同的置信區(qū)間。15置信區(qū)間(詳細定義及計算)估計在區(qū)間內(nèi).這里有兩個要求:只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量)可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個一旦有了樣本，就把2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.1.要求很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率即要求估計盡量可靠.要盡可能大.可靠度與精度是一對矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的16置信區(qū)間(詳細定義及計算)例2已知某種油漆的干燥時間X（單位:小時）服從正態(tài)分布其中μ未知,現(xiàn)在抽取25個樣品做試驗，得數(shù)據(jù)后計算得取求μ的置信區(qū)間。解所求為17置信區(qū)間(詳細定義及計算)例3中隨機地抽查了9人，其高度分別為：已知幼兒身高現(xiàn)從5～6歲的幼兒115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;18置信區(qū)間(詳細定義及計算)2、未知σ2時，μ的置信區(qū)間當總體X的方差未知時，容易想到用樣本方差?2代替σ2。已知則對給定的α，令查t分布表，可得的值。則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為19置信區(qū)間(詳細定義及計算)例4

40名旅游者。解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)μ的置信區(qū)間。選取統(tǒng)計量為由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了調(diào)查某地旅游者的消費額為X，隨機訪問了得平均消費額為元，樣本方差設(shè)求該地旅游者的平均消費額μ的置信區(qū)間。若σ2＝25μ的置信區(qū)間為即20置信區(qū)間(詳細定義及計算)例5

用某儀器間接測量溫度，重復測量5次得求溫度真值的置信度為0.99的置信區(qū)間。解設(shè)μ為溫度的真值，X表示測量值，通常是一個正態(tài)隨機變量問題是在未知方差的條件下求μ的置信區(qū)間。由公式查表則所求μ的置信區(qū)間為21置信區(qū)間(詳細定義及計算)例6解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)μ的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了估計一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),設(shè)鋼索所能承受的張力X，分別估計這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。隨機選取了9個樣本作試驗，即則鋼索所能承受的平均張力為6650.9kg/cm2由試驗所得數(shù)據(jù)得22置信區(qū)間(詳細定義及計算)三、方差σ2的置信區(qū)間下面我們將根據(jù)樣本找出σ2

的置信區(qū)間，這在研究生產(chǎn)的穩(wěn)定性與精度問題是需要的。已知總體我們利用樣本方差對σ2進行估計，由于不知道S2與σ2差多少？容易看出把看成隨機變量，又能找到它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。的概率分布是難以計算的，而對于給定的23置信區(qū)間(詳細定義及計算)即則得到σ2隨機區(qū)間以的概率包含未知方差σ2，這就是σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間。24置信區(qū)間(詳細定義及計算)例1

某自動車床加工零件，抽查16個測得長度（毫米）怎樣估計該車床加工零件長度的方差。解先求σ2的估計值或查表25置信區(qū)間(詳細定義及計算)所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間所求標準差σ的置信度為0.95的置信區(qū)間由得得26置信區(qū)間(詳細定義及計算)例2

為了估計燈泡使用時數(shù)（小時）的均值μ和解查表測試了10個燈泡得方差σ2，若已知燈泡的使用時數(shù)為X，求μ和σ2的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為μ的置信區(qū)間為查表即由公式知σ2的置信區(qū)間為σ2的置信區(qū)間為27置信區(qū)間(詳細定義及計算)例3

電動機由于連續(xù)工作時間（小時）過長會燒壞，解查表燒壞前連續(xù)工作的時間X，得求μ和σ2的置信區(qū)間。今隨機地從某種型號的電動機中抽取9臺，測試了它們在設(shè)由公式知μ的置信區(qū)間為即所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間得28置信區(qū)間(詳細定義及計算)尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.，可以找到一個正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.我們選取未知參數(shù)的某個估計量，根據(jù)置信水平由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.29置信區(qū)間(詳細定義及計算)單正態(tài)總體的區(qū)間估計被估參數(shù)條件統(tǒng)計量置信區(qū)間μ已知σ2μ未知σ2σ2未知μ30置信區(qū)間(詳細定義及計算)作業(yè)P2944568101231置信區(qū)間(詳細定義及計算)嬰兒體重的估計例4

假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機抽取12名嬰兒，測得體重為：（單位：克）

3100,2520,3000,3000,3600,3160,

3560,3320,2880,2600,3400,2540

試以95%的置信度估計初生嬰兒的平均體重以及方差.解設(shè)初生嬰兒體重為X

克，則X~N(,2),(1)需估計,而未知2.32置信區(qū)間(詳細定義及計算)作為統(tǒng)計量.

有

=

，n=

，t0.025(11)=

，即的置信區(qū)間。(1)需估計,而未知2.33置信區(qū)間(詳細定義及計算) (2)需估計

2,而未知，有20.025(11)=

，20.975(11)=

，34置信區(qū)間(詳細定義及計算)例5

解由置信區(qū)間的概念，所求μ的0.99的置信區(qū)間為在交通工程中需要測定車速（單位km/h),由以往2、現(xiàn)在作了150次觀測，試問平均測量值的誤差在的經(jīng)驗知道，即測量值為X，測量值的誤差在之間。1、至少作多少次觀測，才能以0.99的可靠性保證平均之間的概率有多大？由題意要求用平均測量值來估計μ其誤差由題意知35置信區(qū)間(詳細定義及計算)至少要作86次觀測，才能以0.99的可靠性保持平均測量誤差在之間。即則鋼索所能承受的平均張力為6650.9kg/cm2令36置信區(qū)間(詳細定義及計算)例6

設(shè)總體X~N(μ,0.09)，有一組樣本值：

12.6，13.4，12.8，13.2，求參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間.解：有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,是μ的無偏估計量,