楊輝三角研究性課題：11

51楊

輝

三

角第0行第1行1

113111

2

1341第2行第3行第4行第5行第6行1

66

1第n-1行

1第n行

1………………………………15=5+1015

20

1510=6+420=10+105

110

1066=3+34=1+310=6+442一.復習:楊輝三角的基本性質1）表中每個數都是組合數，第n行的第r+1個數是三角形的兩條斜邊上都是數字1，而其余的數都等于它肩上的兩個數字相加，也就是楊輝三角具有對稱性楊輝三角的第n行是二項式（a+b）n展開式的二項式系數即32）假設當n=k時等式成立，即則當n=k+1時，證明：1)當n=1時，左邊＝a+b,右邊＝a+b

所以等式成立．利用組合數的重要性質可得求證：4二.引入:1.

斐波那契“兔子繁殖問題”:中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？5在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球

(黑色

)

向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區域獲得獎品。試問：為什么兩邊區獎品高于中間區獎品？62.

楊輝三角與彈子游戲“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB3.楊輝三角與“縱橫路線圖”78從某種意義上說,發現問題更重要.1

51第0行第1行1

113111

2

1341第2行第3行第4行第5行第6行1

66

1第n-1行

1第n行

1………………………………15=5+1015

20

1510=6+420=10+105

110

106=3+34=1+310=6+44

6三.新課:楊輝三角蘊含的數字排列規律.91.研究斜行規律：第一條斜線上：1+1+1+1+1+1=6第二條斜線上：1+2+3+4+5=15第三條斜線上：1+3+6+10=20第四條斜線上：1+4+10=15猜想：在楊輝三角中，第m條斜線（從右上到左下）上前n個數字的和，等于第m+1條斜線上的第n個數.101＋1＋1＋

．．．＋1＝（第1條斜線）1＋4＋10＋

．．．＋＝（第4條斜線）1＋3＋6＋

．．．＋＝（第3條斜線）1＋2＋3＋

．．．＋＝（第2條斜線）(n>r)?11結論1：楊輝三角中，第m條斜(從右上到左下)上前n個數字的和，等于第m+1條斜線上第n個數即即12根據楊輝三角的對稱性，類似可得：楊輝三角中，第m條斜(從左上到右下)上前n個數字的和，等于第m+1條斜線上第n個數。12第0行11358132134？2.如圖，寫出斜線上各行數字的和，有什么規律第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行1510

1051第6行1615

201561第7行第8行1187282135

3556

…7…05621287811從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和;

這就是著名的斐波那契數列

。13中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．四.應用:

1.斐波那契“兔子繁殖問題”14在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球

(黑色

)

向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區域獲得獎品。試問：為什么兩邊區獎品高于中間區獎品？“概率三角形”照這樣計算第n+1層有n+1個通道，彈子通過各通道的概率將是？與楊輝三角有何關系？2.

楊輝三角與彈子游戲15“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯系163.楊輝三角與“縱橫路線圖”17五、小結1、楊輝三角蘊含的基本性質2、楊輝三角蘊含的數字排列規律18楊輝三角的其它規律1、楊輝三角的第2k-1行的各數字特點第4行1

4

6

4

15

1第n-1行11第n行11…………………………………第7行1

7

21

35

35

21

7

1第0行1第1行11第2行121第3行楊輝三角的1

第23k-1行3(1k是正整數)第的6行各個數字1

都6

是1520。

15

6

1第的5行各個數字1都是5

奇10數。10191

11

31

2

13

11

4

6

4

11

5

10

10

5

11

6

15

20

15

6

1第n-1行11第n行11……………第1行第2行第3行第4行第5行第6行第7行……………………1

7

21

35

35

21

7

12、楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其第余0行的所有數，則行數1P是質數(素數)20（04.

上海春季高考）如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角形中，第

34

行中從左至右第14與第15個數的比為

.22練習1:練習2：12234

75

1147146

16

25

253411

516

6則第n

行（n≥2）第2個數是什么？分析:設第

n行的第

2個數為an

,則a2

=

2,an+1

=

an

+

n∴

an

=

2+

2

+

3

+…+

(n-1)2324練習3：3569

10

1217

18

20

2433

34

36

40

4865

66

68

72 80

96則表中各數按從小到大的順序排列，第100個數是多少？25分析:首先計算第100個數位于表中第幾行,∵

1+

2+

3+

…+

13=

91∴第100