2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數二滿足：zi=3+4i(i為虛數單位)，貝笈=()

A.4+3iB.4-3/C.-4+3zD.-4-3/

2.如圖所示的程序框圖，若輸入a=4,b=3,則輸出的結果是()

A.6C.5D.8

3.已知點片是拋物線C：f=2p),的焦點，點&為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過與作拋物線。的切線,

切點為A,若點A恰好在以6，尼為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()

A.正交B.72-1C.正在D.72+1

22

4.已知函數/(x)=log“(|x-2|-a)(a>0,且。。1),則“已幻在(3,+oo)上是單調函數，，是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.函數/(x)=cos2x(xe[-肛2〃])的圖象與函數g(x)=sinx的圖象的交點橫坐標的和為()

5n八八7萬_

A.—B.27rC.—D.兀

36

6.若數列｛q｝滿足％=15且3%+1=3a“-2,則使為?4M<0的人的值為()

A.21B.22C.23D.24

A.iB.1+iD.1-i

2

8.雙曲線/一21=1的漸近線方程為（）

2

A.y=±——xB.y=±xC.y=+y/2xD.y=+y/3x

/7

9.如圖所示，正方體ABCO-A必iGU的棱長為1,線段4A上有兩個動點E、產且舊尸=2，則下列結論中錯誤的

A.ACA.BEB.EF//Y?ABCD

C.三棱錐45E產的體積為定值D.異面直線4E,5廠所成的角為定值

10.已知拋物線。：/!=4〃%(〃>0)的焦點為尸，過焦點的直線與拋物線分別交于A、B兩點,與)'軸的正半軸交于

點S,與準線/交于點T,且|E4|=2|AS|,則%肅=()

II

27

A.-B.2C.-D.3

52

11.已知:++…，如圖是求萬的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應填入

11

A.i=--------B./=---

2〃—1i+2

C.i=3D.3

2〃+1i+2

12.設過拋物線y2=2px(〃>())上任意一點尸(異于原點。)的直線與拋物線丁2=8a(〃>0)交于43兩點，直線

s

0P與拋物線丁=8川(〃>0)的另一個交點為。，則1儂=()

3AA8。

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，己知半圓。的直徑AB=8,點尸是弦AC(包含端點A，C)上的動點，點。在弧上.若AQ4C是

等邊三角形，且滿足而?赤=0,則亦題的最小值為.

14.如圖，在AA8C中，48=4,。是A8的中點，E在邊4c上，AE=2EC,CD與BE交于點O,若OB=&OC,

則^ABC面積的最大值為

15.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，貝!I八3)=.

16.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足q+34+…+3"T%=〃，貝!|S4=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某公司打算引進一臺設備使用一年，現有甲、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元，乙設備每臺9000

元.此外設備使用期間還需維修，對于每臺設備，一年間三次及三次以內免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000

元.該公司統計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數，得到下面的頻數分布表，以這兩種設備分別在

50臺中的維修次數頻率代替維修次數發生的概率.

維修次數23456

甲設備5103050

乙設備05151515

(1)設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為x和y,求x和y的分布列；

(2)若以數學期望為決策依據，希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數盡量少，則需要購買哪種

設備？請說明理由.

18.(12分)設函數f(x)=k+3|,g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x)；

(2)若2/(x)+g(x)>ox+4對任意的實數x恒成立，求。的取值范圍.

19.(12分)在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為爐一2x+y2=o.以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立

極坐標系，直線/的極坐標方程為。=((夕eR).

(1)寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線/與曲線C的交點M,N的極坐標；

2

(2)設P是橢圓2-+:/=］上的動點，求APUN面積的最大值.

4

，1

x=-m

20.(12分)已知在平面直角坐標系xoy中，直線/的參數方程為,之(〃?為參數)，以坐標原點為極點，x軸

y=——m

I2

非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為p2—2pcos6-2=0,點A的極坐標為.

(1)求直線/的極坐標方程；

(2)若直線/與曲線。交于B,C兩點，求AABC1的面積.

21.(12分)在以A5CDE廠為頂點的五面體中，底面48。為菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF//AB,

點G為CD中點，平面E40_L平面A8CD.

(1)證明：BDJ.EG；

(2)若三棱錐VE_FBC=1,求菱形ABCD的邊長.

22.(10分)為了保障全國第四次經濟普查順利進行，國家統計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部

選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區，然后再逐級確定普查區域，直到基層的普查小區，在普查過

程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利，這為正式普

查提供了寶貴的試點經驗，在某普查小區，共有50家企事業單位，150家個體經營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別順利不順利合計

企事業單位401050

個體經營戶10050150

合計14060200

(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區采用的抽樣方法；

(2)根據列聯表判斷是否有90%的把握認為“此普查小區的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”；

(3)以該小區的個體經營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利

的對象數記為X,寫出X的分布列，并求X的期望值.

2

附:k2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

PE4))0.100.0100.001

“02.7066.63510.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出z,再根據共軌復數的概念即可求解.

【詳解】

3+4z3z-4

由zi=3+4i,則z=^—-=^—=4-3/,

i-1

所以三=4+3i.

故選：A

【點睛】

本題考查了復數的四則運算、共扼復數的概念，屬于基礎題.

2.B

【解析】

列舉出循環的每一步，可得出輸出結果.

【詳解】

i=4,S=3,S>a為2不成立，s=3?=9，i=4+1=5；

不成立，s=9?=81,Z=5+1=6；

S>a2b2不成立,S=8F=6561，i=6+l=7；

S>/〃2成立，輸出i的值為7.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用程序框圖計算輸出結果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得及的值，設出雙曲線方程，求得加=IAF2|-|AFj

I=(V2-1)P,利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線尸2A的直線方程為：y=kx——,Fi(0,—),Fi(0>——),

222

代入拋物線C:*2=2外方程，整理得：爐-2麟*+p2=0,

,△=4^2P2-4爐=0,解得：k=±l,

22

：.A(p,4),設雙曲線方程為：-4-^=1,

2ab-

IAF\[=p,IAFiI=y]p2+p2=yf2p>

2a=IAF2I-IAF1|=(V2-DP，

2c=p,

c1/—

???離心率e=—=—j=—=V2+1,

aJ2-1

故選：D.

【點睛】

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題.

4.C

【解析】

先求出復合函數Ax)在(3,+8)上是單調函數的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充

要條件之間的關系，判斷正確答案.

【詳解】

/(x)=logfl(Ix-21-a)(a>0,且。。1),

由,一2|—a>0得x<2-a或x>2+a,

即f(x)的定義域為｛x|x<2-a或x>2+。｝,(。>0,且awl)

令f=|x-2|-a,其在(-8,2-a)單調遞減，(2+a,+a))單調遞增，

2+a<3

/(x)在(3,+00)上是單調函數，其充要條件為<a〉0

a豐1

即0<a<1.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.

5.B

【解析】

根據兩個函數相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.

【詳解】

|兀37T

令sinx=cos2x,有sinx=l—2sin2x,所以sinx=-l或sinx=].又xe[—乃,2"],所以％=-耳或x="y或

》=9或》="，所以函數/(x)=cos2x(xe[f,2?)的圖象與函數g(x)=sinx的圖象交點的橫坐標的和

66

713萬7C5萬c_

s=----1-------1----1-----=27r故選B.

22669

【點睛】

本題主要考查三角函數的圖象及給值求角，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.

6.C

【解析】

292247

因為初一。,,=4，所以｛叫是等差數列，且公差〃=一”=15,貝！—1)=一；〃+方，所

以由題設句<0可2得472+葭45)<0=彳45<〃<4?7,貝！]〃=23,應選答案C.

7.A

【解析】

l+2z(l+2f)(2+z)2+z+4z-2.

試題分析:--------------=z故選A.

2-i~(2-i)(2+z)5

【考點】復數運算

【名師點睛】復數代數形式的四則運算的法則是進行復數運算的理論依據，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘

法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數化.

8.C

【解析】

根據雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

雙曲線》2-上=1,

2

二雙曲線的漸近線方程為V=±y[2x,

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于容易題.

9.D

【解析】

A.通過線面的垂直關系可證真假；B.根據線面平行可證真假；C.根據三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為AC_L62AC，r>〃，OqnBO=。，所以AC_L平面8。。的，

又因為BEu平面BDQB一所以ACL8E,故正確；

B.因為DKJ/DB,所以EF//DB,且所《平面ABC。，DBu平面ABCD,

所以斤//平面ABCD,故正確；

C.因為久/^=3*后/^8用=號為定值，A到平面8。24的距離為〃=34。=1,

所以匕-跖「=3久的_/=」；為定值，故正確;

/Iuui

D.當4Gng2=E,ACr^BD=G,取尸為生，如下圖所示:

因為BFI/EG,所以異面直線所成角為NAEG,

亞

日AG_近,

tanZAEG

當4。10與。=/，ACc8D=G,取￡為。1,如下圖所示:

因為DF//GB,D\F=GB,所以四邊形2G6尸是平行四邊形，所以BF//QG,

亞

tv_AG.彳百

所以異面直線AE,BF所成角為ZAEG,且Wn乙包口一五一j/夜:"7,

由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內.

10.B

【解析】

過點A作準線的垂線，垂足為與）‘軸交于點N,由|￡4|=2|AS|和拋物線的定義可求得|TS|,利用拋物線的性

質為+的=/可構造方程求得忸目，進而求得結果.

【詳解】

過點A作準線的垂線，垂足為M,AM與＞軸交于點N,

由拋物線解析式知：尸(p,O),準線方程為x=一

?.?|E4|=2|A5|,?1-|^|=p

由拋物線定義知：|AF|=|4M|=gp,;.|45|=；|4月=.[S月=2p,

.-.|75|=|5F|=2p.

1121311,,

由拋物線性質g+訴[=丁=一得：1+記后=一，解得：8P=4〃,

\AF\\BF\2pp4〃\BF\p11

.盡衛

■\TS\2P

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線定義與幾何性質的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

11.C

【解析】

由于l-g+g-g+g-…中正項與負項交替出現，根據S=S+i可排除選項A、B；執行第一次循環：S=O+1=1,

①若圖中空白框中填入"出，貝fl；-：,②若圖中空白框中填入i=5,則，=-2,此時〃>20不成立，〃=2；

執行第二次循環：由①②均可得S=l-<,③若圖中空白框中填入i=,貝打=：,④若圖中空白框中填入』上工，

32n+15i+2

則i=]3,此時〃>20不成立，〃=3；執行第三次循環：由③可得5=1-§1+《1，符合題意，由④可得S=l-：1+3],

不符合題意，所以圖中空白框中應填入i=",故選C.

2/1+1

12.C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯立方程組，求得交點坐標,

最后代入坐標，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設A3與0P的夾角為9,則△ABQ中A3邊上的高與AABO中AB邊上的高之比為冬雪=黑，

OPsmdOP

.?'I?"登"?二"=設則直線OP：y=5^x，即,二女無，與y2=8px聯立，解得

OPyPyP(2〃))％

為=4%，從而得到面積比為"1-1=3.

故選：C

【點睛】

解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯立方程組求解，是一道不錯的綜合題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

建系，設=表示出P點坐標，貝!|。戶?80=0戶.(00-0畫=-0戶.0月=16-2根，根據機的范圍得出答案.

【詳解】

解：以。為原點建立平面坐標系如圖所示：則A(-4,0),B(4,0),C(-2,2也),

設AP=〃?(噴物4),貝！JP(_L膽一4,Bm),

22

AOP=(^m-4,坦m),OB=(4,0),

OQ-OP=0,

OP.BQ=OP^OQ-OB)=-OP.OB=16-2w,

顯然當m取得最大值4時，OP-BQ取得最小值1.

故答案為：L

【點睛】

本題考查了平面向量的數量積運算，坐標運算，屬于中檔題.

14.8&

【解析】

先根據點共線得到OC=。。，從而得到。的軌跡為阿氏圓，結合三角形ABC和三角形8。。的面積關系可求.

【詳解】

設的=力詼=4m+2而=%赤+日麗

2222

3441

B,0,￡共線，則+5=解得見=5，從而。為CD中點，故OB=\fl0C=\P1OD?

在A30。中，BD=2,OB=y/20D）易知。的軌跡為阿氏圓，其半徑r=2近，

故S叢BC~4sA80。<2BD-r-80.

故答案為：8夜.

【點睛】

本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進行轉化是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.

1

15.—.

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結論.

【詳解】

由圖可知直線/過點（3,3）,10,g

3_3

可求出直線/的斜率沙1，

K=-------=—

3-02

由導數的幾何意義可知，r（3）=-

故答案為:;?

【點睛】

本題考查導數與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.

40

16.—

27

【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得冊的表達式，判斷出數列｛%｝是等比數列，由此求得舟的值.

【詳解】

]

解：a}+3a2+…+3"an=n,可得〃=1時，4=1,

>2時，q+3a,+_+3"_a“_]—n—1,又q+3a,+...+3"1a”=〃，

“T1

|,上式對〃=1也成立，可得數列｛4｝是首項為1,公比為§的等比數列，可

兩式相減可得3"-'4=1,即%5

1-7_40

得S’

1]_27,

1--

3

【點睛】

本小題主要考查已知s“求凡，考查等比數列前〃項和公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)X分布列見解析，y分布列見解析；(2)甲設備，理由見解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,y的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;

(2)計算期望，得到E(X)=E(y)=10800,設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為4,",計算分布列，計算

數學期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=^^=—,P(X=11000)=—==12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

p

105io

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

p(r=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

p

10io1010

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設甲、乙兩設備一年內的維修次數分別為J,7

4的可能取值為2,3,4,5

P(^=2)=—=—,P?=3)=W=1,p(^=4)=—=P(^=5)=—=—

50105055055010

則J的分布列為

2345

1]_31

p

io5510

1131

￡（a=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

P（7=3）=—=—,P（77=4）=—=—,P（7=5）=—=—,P（7=6）=—=—

5010501050105010

則〃的分布列為

73456

1333

P

10101010

1333

E(77)=3XF4X—+5x--i-6x——=4.8

10101010

由于E(X)=E(y),E(^)<E(7),因此需購買甲設備

【點睛】

本題考查了數學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

2

18.(l)(-oo,--)u(4,+oo)；(2)(-1,4].

【解析】

試題分析：

(1)將絕對值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數問題，通過分類討論并根據恒成立問

題的解法求解即可.

試題解析：

(1)由已知，可得k+3|<|2x-],

BP|X+3|2<|2X-1|2.

整理得一io》—8>0,

故所求不等式的解集為卜oo,—ju(4,+8).

—4x—5,%W—3.

⑵由已知,設〃(尢)=2/(x)+g(x)=2|X4-3|+|2X-1|=V7,-3<工v一,

2

44x+5u,x21

①當x＜一3時，只需一4X一5＞辦+4恒成立,

即以＜-4]一9,

?.?x<-3<0,

—4x—9.9卜一卡

a>---------=-4——怛成H.

XX

-4-2

max

CL>—1,

②當-3＜x（g時，只需7）ox+4恒成立,

B|Jax-3<0恒成立

|-3a—340

只需

-a-3<0

12

解得-iWaW6.

③當xN，時，只需4x+5>tzx+4恒成立,

2

即分<4x+l.

vx>->0,

2

a<4'V+1=4+—恒成立.

XX

?.?4+!>4,且無限趨近于4,

X

〈4.

綜上。的取值范圍是（-1,4].

19.(1)0=2cos6,M(0,0),N.?

!(2)叵

\5)4

【解析】

(1)利用公式即可求得曲線C的極坐標方程；聯立直線和曲線。的極坐標方程，即可求得交點坐標;

(2)設出點P坐標的參數形式，將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標方程：Q=2COS。

0=2cos6,、

聯立(K,得N,又因為M(0,0)都滿足兩方程,

故兩曲線的交點為M(0,0),N1,。

(2)易知=直線/：y=JL：.

設點P(2cosa,sina),則點p到直線/的距離d=沖儂。sin]

2

A5(其中tane=2G).

△/P/MW/NV'=-2-II|

:MMN面積的最大值為叵.

4

【點睛】

本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化，涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.

20.(1)6?=1(pe/?)(2)容

【解析】

(1)先消去參數，"，化為直角坐標方程y=再利用曠=P5[11。,％=P(：05。求解.

p—-2Pcos。—2=0

(2)直線與曲線方程聯立1—萬，得P2一P一2=0,求得弦長

.=5

|5C|=|p,-p2|=13+22)2-4%2和點A12組,4到直線/的距離d=沏5sin(空—g],再求^ABC的

3\337

面積.

【詳解】

(1)由已知消去加得,=百無，則夕sin6=百℃05。，

所以6=所以直線/的極坐標方程為6=q(/?eR).

22-2/?cos6-2=0

(2)由,兀,得/?~一夕一2=0,

.一5

設B,C兩點對應的極分別為Pl,p2,則8+22=1，。|02=-2,

所以忸C|=3一詞=](夕1+22『-4月22=3，

又點A(駕5,尋]到直線/的距離d=2叵sin(二—21=石

133J3133；

所以S.c=g忸C|d=￥

【點睛】

本題主要考查參數方程、直角坐