高等數學期末復習資料第4頁（共9頁）高等數學（非數院）函數與極限函數○函數基礎（高中函數部分相關知識）（★★★）○鄰域（去心鄰域）（★）數列的極限○數列極限的證明（★）【題型示例】已知數列，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，。當時，始終有不等式成立，∴函數的極限○時函數極限的證明（★）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴○時函數極限的證明（★）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質（★）函數無窮小函數無窮大○無窮小與無窮大的相關定理與推論（★★）（定理三）假設為有界函數，為無窮小，則（定理四）在自變量的某個變化過程中，若為無窮大，則為無窮小；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計算：（或）1．∵≤∴函數在的任一去心鄰域內是有界的；（∵≤，∴函數在上有界；）2．即函數是時的無窮小；（即函數是時的無窮小；）3．由定理可知（）極限運算法則○極限的四則運算法則（★★）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式、商式的極限運算設：則有（特別地，當（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式其中為函數的可去間斷點倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）：解：○連續函數穿越定理（復合函數的極限求解）（★★）（定理五）若函數是定義域上的連續函數，那么，【題型示例】求值：【求解示例】極限存在準則及兩個重要極限○夾迫準則（P53）（★★★）第一個重要極限：∵，∴（特別地，）○單調有界收斂準則（P57）（★★★）第二個重要極限：（一般地，，其中）【題型示例】求值：【求解示例】無窮小量的階（無窮小的比較）○等價無窮小（★★）1．2．（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】函數的連續性○函數連續的定義（★）○間斷點的分類（P67）（★）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數，應該怎樣選擇數，使得成為在上的連續函數？【求解示例】1．∵2．由連續函數定義∴【題型示例】求值：【求解示例】⑷型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】⑸型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】○運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（★★）⑴通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）⑵取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）⑶取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）泰勒中值定理（不作要求）函數的單調性和曲線的凹凸性○連續函數單調性（單調區間）（★★★）【題型示例】試確定函數的單調區間【求解示例】1．∵函數在其定義域上連續，且可導∴2．令，解得：3．（三行表）極大值極小值4．∴函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數）設，（）2．，（）∴3．既證：當時，【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數）設，（）2．，（）∴3．既證：當時，○連續函數凹凸性（★★★）【題型示例】試討論函數的單調性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】1．2．令解得：3．（四行表）4．⑴函數單調遞增區間為,單調遞增區間為,；⑵函數的極小值在時取到，為，極大值在時取到，為；⑶函數在區間,上凹，在區間,上凸；⑷函數的拐點坐標為函數的極值和最大、最小值○函數的極值與最值的關系（★★★）⑴設函數的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極大值；令則函數在閉區間上的最大值滿足：；⑵設函數的定義域為，如果的某個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極小值；令則函數在閉區間上的最小值滿足：；【題型示例】求函數在上的最值【求解示例】1．∵函數在其定義域上連續，且可導∴2．令，解得：3．（三行表）極小值極大值4．又∵∴函數圖形的描繪（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）不定積分不定積分的概念與性質○原函數與不定積分的概念（★★）⑴原函數的概念：假設在定義區間上，可導函數的導函數為，即當自變量時，有或成立，則稱為的一個原函數⑵原函數存在定理：（★★）如果函數在定義區間上連續，則在上必存在可導函數使得，也就是說：連續函數一定存在原函數（可導必連續）⑶不定積分的概念（★★）在定義區間上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為在定義區間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號，稱為被積函數，稱為積分表達式，則稱為積分變量）○基本積分表（★★★）○不定積分的線性性質（分項積分公式）（★★★）換元積分法○第一類換元法（湊微分）（★★★）（的逆向應用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】○第二類換元法（去根式）（★★）（的正向應用）⑴對于一次根式（）：：令，于是，則原式可化為⑵對于根號下平方和的形式（）：：令（），于是，則原式可化為；⑶對于根號下平方差的形式（）：a．：令（），于是，則原式可化為；b．：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】分部積分法○分部積分法（★★）⑴設函數，具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：⑵分部積分法函數排序次序：“反、對、冪、三、指”○運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：⑴遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序；⑵就近湊微分：（）⑶使用分部積分公式：⑷展開尾項，判斷a．若是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數積分可以輕易求解出結果）；b．若依舊是相當復雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復⑵、⑶，直至出現容易求解的不定積分；若重復過程中出現循環，則聯立方程求解，但是最后要注意添上常數【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】∴有理函數的不定積分○有理函數（★）設：對于有理函數，當的次數小于的次數時，有理函數是真分式；當的次數大于的次數時，有理函數是假分式○有理函數（真分式）不定積分的求解思路（★）⑴將有理函數的分母分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式；而另一個多項式可以表示為二次質因式，（）；即：一般地：，則參數則參數⑵則設有理函數的分拆和式為：其中參數由待定系數法（比較法）求出⑶得到分拆式后分項積分即可求解【題型示例】求（構造法）【求解示例】積分表的使用（不作要求）定積分極其應用定積分的概念與性質○定積分的定義（★）（稱為被積函數，稱為被積表達式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區間）○定積分的性質（★★★）⑴⑵⑶⑷（線性性質）⑸（積分區間的可加性）⑹若函數在積分區間上滿足，則；（推論一）若函數、函數在積分區間上滿足，則；（推論二）○積分中值定理（不作要求）微積分基本公式○牛頓-萊布尼茲公式（★★★）（定理三）若果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則○變限積分的導數公式（★★★）（上上導―下下導）【題型示例】求【求解示例】定積分的換元法及分部積分法○定積分的換元法（★★★）⑴（第一換元法）【題型示例】求【求解示例】⑵（第二換元法）設函數，函數滿足：a．，使得；b．在區間或上，連續則：【題型示例】求【求解示例】⑶（分部積分法）○偶倍奇零（★★）設，則有以下結論成立：⑴若，則⑵若，則定積分在幾