解答題高分練(七)17．在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7).線段DE的端點坐標是D(7，－1)，E(－1，－7).(1)試說明如何平移線段AC，使其與線段ED重合；(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉，使AC的對應邊為DE，請直接寫出點B的對應點F的坐標；(3)畫出(2)中的△DEF，并和△ABC同時繞坐標原點O逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形．【解析】(1)將線段AC先向右平移6個單位，再向下平移8個單位(答案不唯一)；(2)根據A，C對應點的坐標即可得出F(－1，－1)；(3)畫出如圖所示的正確圖形．18．解不等式組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－3，,8－2x≤x－1，))并把解集在數軸上表示出來．【解析】eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－3，①,8－2x≤x－1②))由①得，x＞－2，由②得，x≥3，故原不等式組的解集為：x≥3.在數軸上表示為：19．先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a2－4a＋4)－\f(a＋2,a2－2a)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)－1))，其中a＝2－eq\r(3).【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－1,（a－2）2)－\f(a＋2,a（a－2）)))÷eq\f(4－a,a)＝eq\f(a（a－1）－（a－2）（a＋2）,a（a－2）2)·eq\f(a,4－a)＝eq\f(4－a,a（a－2）2)·eq\f(a,4－a)＝eq\f(1,（a－2）2)，當a＝2－eq\r(3)時，原式＝eq\f(1,3).20．某商店銷售A，B兩種型號的鋼筆．下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數量(支)銷售收入(元)A型號B型號第一周15202350第二周10252500(1)求A，B兩種型號鋼筆的銷售單價；(2)某公司購買A，B兩種型號鋼筆共45支，若購買總費用不少于2600元，則B型號鋼筆最少買幾支？【解析】(1)設A型號的鋼筆銷售單價為x元，B型號的鋼筆銷售單價為y元，根據題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x＋20y＝2350,10x＋25y＝2500))，解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50,y＝80))，答：A型號的鋼筆銷售單價為50元，B型號的鋼筆銷售單價為80元；(2)設買B型號的鋼筆m支，則買A型號的鋼筆(45－m)支，根據題意得：80m＋50(45－m)≥2600，解得：m≥eq\f(35,3)，∵m是正整數，∴m≥12，答：最少買B型號的鋼筆12支．21.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F為BC上兩點，且BE＝CF，AF＝DE.求證：(1)△ABF≌△DCE；(2)四邊形ABCD是矩形．【證明】(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF＝CE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC.在△ABF和△DCE中，∵AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE，∴△ABF≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．22．我市華恒小區居民在“一針疫苗一份心，預防接種盡責任”的號召下，積極聯系社區醫院進行新冠疫苗接種．為了解接種進度，該小區管理人員對小區居民進行了抽樣調查，按接種情況可分為如下四類：A類——接種了只需要注射一針的疫苗；B類——接種了需要注射兩針，且兩針之間要間隔一定時間的疫苗；C類——接種了要注射三針，且每兩針之間要間隔一定時間的疫苗；D類——還沒有接種．圖1與圖2是根據此次調查得到的統計圖(不完整).請根據統計圖回答下列問題：(1)此次抽樣調查的人數是多少人？(2)接種B類疫苗的人數的百分比是多少？接種C類疫苗的人數是多少人？(3)請估計該小區所居住的18000名居民中有多少人進行了新冠疫苗接種．(4)為了繼續宣傳新冠疫苗接種的重要性，小區管理部門準備在已經接種疫苗的居民中征集2名志愿宣傳者，現有3男2女共5名居民報名，要從這5人中隨機挑選2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．【解析】(1)此次抽樣調查的人數為：20÷10%＝200(人)；(2)接種B類疫苗的人數的百分比為：80÷200×100%＝40%，接種C類疫苗的人數為：200×15%＝30(人)；(3)18000×(1－35%)＝11700(人)，即估計該小區所居住的18000名居民中有11700人進行了新冠疫苗接種．(4)畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結果，恰好抽到一男和一女的結果有12種，∴恰好抽到一男和一女的概率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).23．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O與AB相交于點C，與AO相交于點E，連接CE，已知∠AOC＝2∠ACE.(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)若AO＝20，BO＝15，求CE的長．【解析】(1)∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠AOC＝2∠ACE，∴∠OCA＝∠OCE＋∠ACE＝eq\f(1,2)(∠OCE＋∠OEC＋∠AOC)＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴OC⊥AB，∴AB為⊙O的切線；(2)作EH⊥AC于H，∵AO＝20，BO＝15，∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(202＋152)＝25，∵eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)AB·OC，即eq\f(1,2)×20×15＝eq\f(1,2)×25×OC，∴OC＝12，∴AE＝OA－OE＝20－12＝8，∵EH⊥AC，OC⊥AC，∴EH∥OC，∴△AEH∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EH,OC)，即eq\f(8,20)＝eq\f(EH,12)，∴EH＝eq\f(24,5)，∵BC＝eq\r(OB2－OC2)＝eq\r(152－122)＝9，∴AC＝AB－BC＝25－9＝16，∵AH＝eq\r(AE2－EH2)＝eq\r(82－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,5)))\s\up12(2))＝eq\f(32,5)，∴CH＝AC－AH＝16－eq\f(32,5)＝eq\f(48,5)，∴CE＝eq\r(EH2＋CH2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,5)))\s\up12(2))＝eq\f(24\r(5),5).24．如圖所示，直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝eq\f(k2,x)交于A，B兩點，已知點B的縱坐標為－3，直線AB與x軸交于點C，與y軸交于點D(0，－2)，OA＝eq\r(5)，tan∠AOC＝eq\f(1,2).(1)求直線AB的解析式；(2)若點P是第二象限內反比例函數圖象上的一點，△OCP的面積是△ODB的面積的2倍，求點P的坐標．【解析】(1)如圖1，過點A作AE⊥x軸于E，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，tan∠AOC＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(1,2)，設AE＝m，則OE＝2m，根據勾股定理得，AE2＋OE2＝OA2，∴m2＋(2m)2＝(eq\r(5))2，∴m＝1或m＝－1(舍)，∴OE＝2，AE＝1，∴A(－2，1)，∵點A在雙曲線y＝eq\f(k2,x)上，∴k2＝－2×1＝－2，∴雙曲線的解析式為y＝－eq\f(2,x)，∵點B在雙曲線上，且縱坐標為－3，∴－3＝－eq\f(2,x)，∴x＝eq\f(2,3)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－3))，將點A(－2，1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－3))代入直線y＝k1x＋b中得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b＝1,\f(2,3)k1＋b＝－3))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,2),b＝－2))，∴直線AB的解析式為y＝－eq\f(3,2)x－2；(2)如圖2，連接OB，PO，PC；∵D(0，－2)，∴OD＝2，由(1)知，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－3))，∴S△ODB＝eq\f(1,2)OD·xB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∵△OCP的面積是△ODB的面積的2倍，∴S△OCP＝2S△ODB＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，由(1)知，直線AB的解析式為y＝－eq\f(3,2)x－2，令y＝0，則－eq\f(3,2)x－2＝0，∴x＝－eq\f(4,3)，∴OC＝eq\f(4,3)，設點P的縱坐標為n，∴S△OCP＝eq\f(1,2)OC·yP＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)n＝eq\f(4,3)，∴n＝2，由(1)知，雙曲線的解析式為y＝－eq\f(2,x)，∵點P在雙曲線上，∴2＝－eq\f(2,x)，∴x＝－1，∴P(－1，2).25．提出問題：已知平面直角坐標系內，任意一點A到另外一個點B之間的距離是多少？問題解決：遇到這種問題，我們可以先從特例入手，最后推理得出結論．探究一：點A(1，－1)到B(－1，－1)的距離d1＝________；探究二：點A(2，－2)到B(－1，－1)的距離d1＝________．一般規律：(1)如圖1，在平面直角坐標系xOy內，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，我們可以連接AB，再構造直角三角形，使兩條邊交于M，且∠M＝90°，此時AM＝______，BM＝________，AB＝________．材料補充：已知點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離d2可用公式d2＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))計算．問題解決：(2)已知互相平行的直線y＝x－2與y＝x＋b之間的距離是3eq\r(2)，試求b的值．拓展延伸：拓展一：已知點M(－1，3)與直線y＝2x上一點N的距離是3，則△OMN的面積是__________．拓展二：如圖2，已知直線y＝－eq\f(4,3)x－4分別交x，y軸于A，B兩點，⊙C是以C(2，2)為圓心，2為半徑的圓，P為⊙C上的動點，試求△PAB面積的最大值．【解析】探究一：∵點A(1，－1)，B(－1，－1)，∴AB∥x軸，∴AB＝1－(－1)＝2.答案：2探究二：連接AB，構造直角三角形，使兩條邊交于M，且∠M＝90°，如圖，∵BM＝1，AM＝3，∴AB＝eq\r(AM2＋BM2)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)(1)由圖形可知：AM∥x軸，BM∥y軸，∴AM＝x1－x2，BM＝y1－y2，在Rt△ABM中，AB＝eq\r(AM2＋BM2)＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).答案：x1－x2y1－y2eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)(2)令x＝0，則y＝－2，∴直線y＝x－2與y軸的交點為C(0，－2)，∵平行線間的距離相等，∴點C到y＝x＋b之間的距離是3eq\r(2)，∴eq\f(|1×0－（－2）＋b|,\r(1＋12))＝3eq\r(2)，∴|b＋2|＝6，∴b＝4或－8.拓展一：過點M作MH⊥直線y＝2x于點H，如圖，則MH＝eq\f(|2×（－1）－3＋0|,\r(1＋22))＝eq\r(5)，∵eq\r(5)＜3，∴此題有兩解．∵M(－1，3)，∴OM＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).∵MH⊥OH，∴HN1＝eq\r(MNeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－MH2)＝2，OH＝eq\r(OM2－MH2)＝eq\r(5)，∴ON1＝eq\r(5)－2.∴S△OMN1＝eq\f(1,2)×eq\r(5)(eq\r(5)－2)＝eq\f(5,2)－eq\r(5).同理可得：ON2＝eq\r(5)＋2，∴S△OMN2＝eq\f(1,2)×eq\r(5)(eq\r(5)＋2)＝eq\f(5,2)＋eq\r(5).綜上，△OMN的面積是：eq\f(5,2)±eq\r(5).答案：eq\f(5,2)±eq\r(5)拓展二：過點C作CD⊥AB于點D，反向延長CD交⊙C于點P，如圖，則P為⊙C上到