第一講線性空間線性空間的定義及性質[知識預備]★集合：籠統的說是指一些事物（或者對象）組成的整體集合的表示：枚舉、表達式集合的運算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是嚴格意義上集合的運算，因為它限定了集合中元素須有可加性。★數域：一種數集，對四則運算封閉（除數不為零）。比如有理數域、實數域（R）和復數域（C）。實數域和復數域是工程上較常用的兩個數域。線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是學習現代矩陣論的重要基礎。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個抽象。線性空間的定義：設是一個非空集合，其元素用等表示；是一個數域，其元素用等表示。如果滿足[如下8條性質，分兩類]（=1\*ROMANI）在中定義一個“加法”運算，即當時，有唯一的和（封閉性），且加法運算滿足下列性質（1）結合律；（2）交換律；（3）零元律存在零元素o，使o；（4）負元律對于任一元素，存在一元素，使o，且稱為的負元素，記為（）。則有o。（=2\*ROMANII）在中定義一個“數乘”運算，即當，時，有唯一的（封閉性），且數乘運算滿足下列性質（5）數因子分配律；（6）分配律；（7）結合律；（8）恒等律；[數域中一定有1]則稱為數域上的線性空間。注意：1）線性空間不能離開某一數域來定義，因為同一個集合，如果數域不同，該集合構成的線性空間也不同。（2）兩種運算、八條性質數域中的運算是具體的四則運算，而中所定義的加法運算和數乘運算則可以十分抽象。（3）除了兩種運算和八條性質外，還應注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足。當數域為實數域時，就稱為實線性空間；為復數域，就稱為復線性空間。設＝{全體正實數}，其“加法”及“數乘”運算定義為xy=xy,證明：是實數域R上的線性空間。[證明]首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性=1\*GB3①唯一性和封閉性 唯一性顯然 若x>0,y>0,，則有xy=xy封閉性得證。=2\*GB3②八條性質（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2）xy=xy＝yx=yx（3）1是零元素x1＝[xo=x——>xo=x－>o=1]（4）是x的負元素x＝[x+y=o]（5）（xy）xy[數因子分配律]（6）（x）（x）[分配律]（7）[結合律]（8）[恒等律]由此可證，是實數域R上的線性空間。定理：線性空間具有如下性質零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。如下恒等式成立：o，。[證明]（1）采用反證法：=1\*GB3①零元素是唯一的。設存在兩個零元素o1和o2，則由于o1和o2均為零元素，按零元律有[交換律]o1＋o2＝o1＝o2＋o1＝o2所以o1＝o2即o1和o2相同，與假設相矛盾，故只有一個零元素。=2\*GB3②任一元素的負元素也是唯一的。假設，存在兩個負元素和，則根據負元律有o＝[零元律][結合律][零元律]即和相同，故負元素唯一。（2）=1\*GB3①：設w=0x，則x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故w=o。[恒等律]=2\*GB3②：設w=(－1)x，則x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。線性相關性線性空間中相關性概念與線性代數中向量組線性相關性概念類似。?線性組合：稱為元素組的一個線性組合。?線性表示：中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。?線性相關性：如果存在一組不全為零的數，使得對于元素有則稱元素組線性相關，否則稱其線性無關。線性相關性概念是個非常重要的概念，有了線性相關性才有下面的線性空間的維數、基和坐標。線性空間的維數定義：線性空間中最大線性無關元素組所含元素個數稱為的維數，記為。本課程只考慮有限維情況，對于無限維情況不涉及。例2.全體m×n階實矩陣的集合構成一個實線性空間（對于矩陣加法和數對矩陣的數乘運算），求其維數。[解]一個直接的方法就是找一個最大線性無關組，其元素盡可能簡單。令Eij為這樣的一個m×n階矩陣，其（i,j）元素為1，其余元素為零。顯然，這樣的矩陣共有mn個，構成一個具有mn個元素的線性無關元素組。另一方面，還需說明元素個數最大。對于任意的，都可由以上元素組線性表示，——>即構成了最大線性無關元素組，所以該空間的維數為mn。線性空間的基與坐標基的定義：設V是數域K上的線性空間，是屬于V的r個任意元素，如果它滿足（1）線性無關；（2）V中任一向量x均可由線性表示。則稱為V的一個基，并稱為該基的基元素。?基正是V中最大線性無關元素組；V的維數正是基中所含元素的個數。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個數相等。考慮全體復數所形成的集合C。如果K＝C（復數域），則該集合對復數加法和復數復數的乘法構成線性空間，其基可取為1，空間維數為1；如果取K＝R（實數域），則該集合對復數加法及實數對復數的數乘構成線性空間，其基可取為{1,i}，空間維數為2。數域K兩種運算基一般元素空間類型維數復數域C（1）復數加法；（2）復數對復數的數乘{1}復線性空間1實數域R（1）復數加法；（2）實數對復數的數乘{1,i}實線性空間2坐標的定義：稱線性空間的一個基為的一個坐標系，，它在該基下的線性表示為：則稱為x在該坐標系中的坐標或分量，記為討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質。但坐標表示卻把它們統一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數域中的數表示出來。（2）更進一步，原本抽象的“加法”及“數乘”經過坐標表示就演化為向量加法及數對向量的數乘。正對應正對應（3）顯然，同一元素在不同坐標系中的坐標是不同的。后面我們還要研究這一變換關系。基變換與坐標變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標變換的規律。設是的舊基，是的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示()即其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關系，可以證明，C是可逆的。設，它在舊基下的線性表示為它在新基下的線性表示為則由于基元素的線性無關性，得到坐標變換關系補充：證明對于線性空間的零元素o，，均有ko＝o。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質定義：設V1是數域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件如果x、yV1，則x＋yV1；如果xV1，kK，則kxV1，則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。性質：（1）線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素；（2）V1中元素的負元素仍在V1中。[證明]（1）0 V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。（2）（－1）x=(－x)封閉性V1中元素的負元素仍在V1中分類：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：{0}和V本身非平凡子空間：除以上兩類子空間4.生成子空間：設x1、x2、···、xm為V中的元素，它們的所有線性組合的集合也是V的線性子空間，稱為由x1、x2、···、xm生（張）成的子空間，記為L(x1、x2、···、xm)或者Span(x1、x2、···、xm)。若x1、x2、···、xm線性無關，則dim{L(x1、x2、···、xm)}=m5.基擴定理：設V1是數域K上的線性空間Vn的一個m維子空間，x1、x2、···、xm是V1的一個基，則這m個基向量必可擴充為Vn的一個基；換言之，在Vn中必可找到n-m個元素xm+1、xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn成為Vn的一個基。這n-m個元素必不在V1中。二、子空間的交與和1.定義：設V1、V2是線性空間V的兩個子空間，則分別稱為V1和V2的交與和。2.定理：若V1和V2是線性空間V的兩個子空間，則，V1＋V2均為V的子空間[證明]（1）是V的一個線性子空間。（2）是V的子空間。維數公式：若V1、V2是線性空間V的子空間，則有dim(V1+V2)+dim()=dimV1+dimV2[證明]設dimV1=n1,dimV2=n2,dim()=m需要證明dim(V1+V2)＝n1＋n2－m設x1、x2、···、xm是的一個基，根據基擴定理存在1）y1、y2、···、yn1－mV1，使x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成為V1的一個基；2）z1、z2、···、zn2－mV2，使x1、x2、···、xm、z1、z2、···、zn2－m成為V2的一個基；考察x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m、z1、z2、···、zn2－m，若能證明它為V1+V2的一個基，則有dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。成為基的兩個條件：它可以線性表示V1+V2中的任意元素線性無關顯然條件1）是滿足的，現在證明條件2），采用反證法。假定上述元素組線性相關，則存在一組不全為0的數k1、k2、···、km、p1、p2、···、pn1－m、q1、q2、···、qn2－m使令，則但根據基擴定理，x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成為V1的一個基同理：這與假設矛盾，所以上述元素線性無關，可作為V1+V2的一個基。 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m三、子空間的直和1.定義：設V1、V2是線性空間V的子空間，若其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個元素與V2的一個元素之和，即，存在唯一的、，使，則稱為V1與V2的直和，記為子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是，反映的是兩個子空間的關系特殊。2.定理：如下四種表述等價（1）成為直和（2）（3）dim(V1+V2)=dimV1+dimV2（4）x1、x2、···、xs為V1的基，y1、y2、···、yt為V2的基，則x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt為的基[證明]（2）和（3）的等價性顯然采用循環證法：（1）（2）（4）（1）（1）（2）：已知＝假定且，則，，，，說明對0元素存在兩種分解，這與直和的定義矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即（2）（4）：已知成為基的兩個條件：可以線性表示V1+V2中的任意元素2）線性無關、，存在如下坐標表示式 可表示V1+V2中的任一元素，x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可表示V1+V2中的任意元素。假設x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt線性相關，即存在不全為0的使＝0而＝－y＝0同理這與其線性相關性矛盾，x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt線性無關x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt可作為的基（4）（1）：已知（4）成立在x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt這組基下存在唯一的坐標使x＝ 成為直和作業：P25－267，9，12第二課課題：線條風景寫生領域：造型表現課時：建議2課時教材分析：本篇課文以用線條風景寫生的概念為切入點，配以圖片，重點講解線條風景寫生的步驟，強調線描風景寫生的取景，構圖，畫面的取舍。教材中所配圖片主要分為兩個部分，第一個部分是展示了許多著名畫家的線條風景寫生作品，幫助教師示范講解，學生通過觀摩圖片可以直觀的領悟到什么是線條風景寫生，以及通過線條來表現風景的獨特藝術魅力。第二個部分是重點講解線條風景寫生的步驟，分步講解了作畫的先后順序，重點解釋了畫面主體的確定，和畫面透視的關系。學生通過圖片可以初步的了解，畫面的構圖方法，以及成角透視等簡單的透視原理。教材配以示范圖片貼近學生的生活，如校園，鄉間小路。教師可以帶領學生到校園中去尋找合適的景物進行寫生，一起分析如何取景，透視的角度關系。學生通過寫生可以發現自己身邊的美景，提高審美情趣。初中的學生線條的往往顯得比較拘謹，往往容易過分的強調細節而忽略了畫面的整體布局，建議教師引導學生盡可能的把握畫面的整體效果，將畫面的主次關系，透視關系基本掌握即可，而對象的造型不必強調學生去細致的描繪。學生能夠掌握基本造型即可。教學目標：1.知識與技能：了解線條風景寫生的作畫的步驟，學會風景寫生的構圖，畫面取舍，畫面的整體布局，以及簡單的透視關系。2.過程與方法：通過教師示范講解，學習線條風景寫生的基本方法，教師帶領學生到校園中尋找合適的景物，觀察取景構圖方法，運用合適的繪畫工具，完成風景寫生。3．情感態度與價值觀：體會運用線條描繪風景的樂趣，感受風景寫生的獨特魅力，學會發現和觀察身邊美景的態度。重點與難點：重點：線條風景寫生中的構圖，取景，透視關系。難點：作畫時應該先考慮整體的方法，畫面的取舍，透視的基本原理。教學準備：教師：線條風景寫生的范畫，作畫的工具，如炭筆，鉛筆，紙等。相關風景的圖片。學生：準備好創作用的工具，如速寫本，鉛筆，炭筆，橡皮。基本課型：教學環節教學內容師生活動設計意圖欣賞作品欣賞分析線條風景畫的作品以教師講解為主，強調線條形式的美感，風景畫的整體效果，學生可以提出自己的欣賞觀點。學會欣賞線條風景寫生作品，提高線條風景寫生的興趣。教師示范線條風景寫生示范。教師進行線條風景寫生教學示范，可按照片進行講解，重點講解，畫面的構圖，取舍，以及透視關系。直觀的掌握風景寫生的步驟和方法。學生練習按照教師示范的方法，進行臨摹，或者對著照片寫生。教師給出圖片示例，學生按照之前教師的示范步驟，進行臨摹。鞏固寫生的方法，為之后進行寫生做好準備。學生寫生帶領學生在校園中尋找風景進行寫生。教師帶領學生在校園中尋找合適作畫的風景寫生，教師在學生寫生的同時，進行適當的指導，重點指出學生在作畫步驟，構圖，透視，畫面的整體效果上的問題，幫助學生學會寫生的方法。體會風景寫生的樂趣。鞏固所學的寫生方法。展示評價學生進行作業展示和評價學生將自己的作品拿到講臺前進行展示，學生自評，互評，教師點評。加深學生對風景寫生的理解，提高對美術作品的鑒賞能力。教學實施建議：一、教學導入建議：（一）從學生了解的內容引入：教師請同學說說在校園中有哪些景色最吸引你，或者請同學描述自己心中最美的景色。從學生的生活，了解的內容導入，容易激發學生的興趣，讓他們想到平時容易忽視的觀察方式。為之后的創作取景打下基礎。（二）從學生對畫面的欣賞引入：教師選取幾幅名家的作品進行展示，請同學說說畫面的感受，并且直接引入線條風景寫生的概念，也可選取幾幅不同的風景畫請同學說說畫面之間的不同，將線條風景畫與其他風景畫進行比較，學生發表自己的觀點。（三）從課本的教學重點入手：教師先挑選一圖片，請同學選擇選取圖片的那些地方進行構圖，哪些內容刪去。再按照選擇好的構圖方式展示事先準備的與圖片對應的范畫。直接從重點引入，學生可以直觀的了解本堂課的核心內容，并為之后的知識理解，創作打下基礎。二、教學活動建議：（一）欣賞線條風景寫生的圖片，感受線條風景寫生的獨特魅力1、教師通過ppt展示線條風景寫生富有代表性的作品展示，請同學說說畫面中主體物，觀察的角度，表現的方式。2、教師通過這些圖片講解構基礎的構圖方法，比如黃金分割點，畫面不可從紙張的尖角處開始畫等等。3、教師通過圖片講解透視的基本理論，提醒學生發現消逝點，視平線等基本方法。（二）教師示范講解線條風景畫的作畫步驟1、教師通過實物投影，或者黑板，當場作畫以示范，作畫時可以結合書本上的圖片，按照書本范例的步驟示范。或者結合教師給出的圖片，重點講解，畫面的整體布局，景物的刪減，以及透視關系進行示范。2、教師示范好以后，學生按照教師示范的方法，先進行臨摹練習，教師巡視指導，指出學生作畫時不規范的地方，比如太過關注局部，畫面沒有主體物太過平均，透視角度不對等問題。（三）學生創作1、帶領同學來到校園中，進行寫生創作練習。教師可先組織學生一起一個地方，規定一處景物進行構圖，取景等講解，作簡單的示范。2、安排學生創作。可以事先幫助學生分好小組，由小組長帶領學生進行寫生練習，在規定的時間集合。同時，教師巡視指點。3、學生將自己的作品拿到講臺上，或者在校園集中對照景物進行自評，互評，教師總結。三、作業設計：帶領學生到校園進行寫生，如有條件，也可組織學生到公園，街道等地進行寫生。四、教學評價建議：評價內容：學生是否積極參與，畫面是否完整，構圖，取景是否恰當，透視是否正確。評價方式：以教師點評為主，強調本課的知識點，也可學生自評，互評，教師總結五、課后拓展：1、結合所學內容，學生嘗試自己尋找身邊的景色進行寫生創作。參考資料：透視有三種:NO.1色彩透視NO.2消逝透視NO.3線透視.這是達芬奇總結的其中最常用到的是線透視。透視學在繪畫中占很大的比重，它的基本原理是，在畫者和被畫物體之間假想一面玻璃，固定住眼睛的位置(用一只眼睛看)，連接物體的關鍵點與眼睛形成視線，再相交與假想的玻璃，在玻璃上呈現的各個點的位置就是你要畫的三維物體在二維平面上的點的位置。這是西方古典繪畫透視學的應用方法。如《最后的晚餐》。應用(1)多視點中國畫善于表現豐富的情節，西方繪畫注重單視點(類似于攝影)。中國畫講求的豐富情節用單視點是不能完成的。因此，中國畫用(類似于把攝象的多鏡頭分割再重新組合)多視點來表現。如《清明上河圖》(2)高視高采用微俯的視角表現，“遠山即高”高山往往是畫在遠處的，其間再用云霧繚繞加以銜接。表現一種人比山高的心情。中國畫是不采用近距離仰視來表現高山的。(3)遠視距中國畫講求“仗山尺樹，寸馬豆人”要求畫中物體符合事物的正常比例，因此，畫者必須采用遠視距來表現。畢加索的作品打破了透視學的基本規律，把一個物體的正面反面，能看見的不能看見的全都表現在一個二維的空間中，理解畢加索的畫首先要拋棄透視學。現在的畫家已經開始無視一切規則，嘗試打破所有的規則，但這些做法又在一個基本的哲學規則之中----打破一個舊的規則，創造新的規則。基本術語1，透視——通過一層透明的平面去研究后面物體的視覺科學。“透視”一詞來源于拉丁文“Perspclre"（看透），故有人解釋為”透而視之“。2，透視圖——將看到的或設想的物體、人物等，依照透視規律在某和媒介物上表現出來，所得到的圖叫透視圖。3，視點——人眼睛所在的地方。標識為S。（EYEPOINT）4，視平線——與人眼等高的一條水平線HL。（HORIZOUTALLINE）5，視線——視點與物體任何部位的假象連線。（LINEOESIGHT）6，視角——視點與任意兩條視線之間的夾角。（VISUALANGLE）7，視域——眼睛所能看到的空間范圍。8，視錐——視點與無數條實現構成的圓錐體。（VISUALCONE）9，中視線——視錐的中心軸。又稱中視點。（LINEOEVISUALCENTER）10，站點——觀者所站的位置。又稱停點。標識為G。（STANDINGPOINT）11，視距——視點到心點的垂直距離。12，距點——將視距的長度反映在視平線上心點的左右兩邊所得的兩個點。標識為d。（DISTANCEPOINT）13，余點——在視平線上，除心點距點外，其他的點統稱余點。標識為V。（COMPLEMENTPOINT）14，天點——視平線上方消失的點。標識為T。（TOP—VANISHIUG）15，地點——視平線下方消失的點。標識為U。（BOTTOM—VANISHIUG）16，滅點——透視點的消失點。17，測點——用來測量成角物體透視深度的點。標識為M。（MEASURINGPOINT）18，畫面——畫家或設計師用來變現物體的媒介面，一般垂直于地面平行于觀者。標識為PP（PICTUREPLANE）19，基面——景物的放置平面。一般指地面。標識為GP（GROUNDPLANE）20，畫面線——畫面與地面脫離后留在地面上的線。標識為PL。（PICTURELINE）21，原線——與畫面平行的線。在透視圖中保持原方向，無消失。22，變線——與畫面不平行的線。在透視圖中有消失。23，視高——從視平線到基面的垂直距離。標識為h（VISUALHIGH）24，平面圖——物體在平面上形成的痕跡。標識為N（PLAN）25，跡點——平面圖引向基面的交點。標識為TP（TRACKPOINT）26，影滅點——正面自然光照射，陰影向后的消失點。標識為VS（VANISHINGOFSHADOW）27，光滅點——影滅點向下垂直于觸影面的點。標識為VL（VANISHINGOFLIGHT）28，頂點——物體的頂端。標識為BP（BASEPOINT）29，影跡點——確定陰影長度的點。標識為SP（SHADOWPOINT）構圖方法【中國構圖】繪畫也好，寫文章也好，都要有章法、布局。在繪畫中，所謂章法、布局就是我們所說的構圖。謝赫“六法”中稱為經營位置也就是構圖。為什么不說是分布位置而稱為經營位置？這里說明作畫是個要動腦筋，如何安排畫面的問題。作畫有了題材，通過畫面傳達給觀眾，使觀眾接受了你的想法和美感，從構思到畫面，遇到的第一關即是構圖。明代謝肇淛說：'市故事便立意結構。同時代的另一畫家李日華說：大都畫法以布置意象為第一。可見取得好的題材，還不算萬事大吉，緊跟著要研究主體部分放在哪里，次要部分如何搭配得宜，甚至空白處、氣勢、色彩、題詞等等的細節都要反復推敲，寧可沒有畫到，但不可沒有考慮到，這種推敲布置的過程即是一種經營。畫家常常不是通過一兩張草圖便能達到理想構圖的，特別是中國畫的構圖，要考慮民族形式的特點，要考慮到便于發揮筆墨，便于物象的展開，既要多變化、多次層，又要求統一，關于這些特點，下面再分條敘述。三遠北宋郭熙在所著《林泉高致》一文中提出山有三遠，自山下而仰山巔，謂之高遠；自山前而窺山后，謂之深遠；自近山而望遠山，謂之平遠。現分述如下：一、高遠在《芥子園畫傳》的山水部分，總結有構圖學上的一個普遍問題，就是高遠、深遠和平遠的三遠法，實際上是如何表現山水境界中的高、寬、深三度空間的方法。《芥子園畫傳》中所說的高遠，是從下面向上仰視，才覺得高遠，我們今天應用透視學的觀點，即把物象放在視干線上，就顯得岸然兀立。在這部書中提出用泉水以助其勢之高，如畫雁蕩山的龍激飛瀑，即應有高遠之氣勢才好。但是書中的借泉助高，并不能把問題說得十分清楚，因為你把山畫得再高，泉水畫得再長，還是不及真山的千分之一高。怎樣把象千仞之高的大山畫在尺幅之內呢？劉未對宗炳在歷山水序》中指出，眼與山只要有了相當的距離，按照比例來畫就行了，“堅劃三寸就有千仞之感”、“艙里數尺即可體現百里之遙”。比如為了夸大山之高峻，可以把人物、房屋、樹木畫得很小，如范寬的《溪山行旅圖》，沈周的《廬山高圖》，都是人小山大。有時也可把峰頂推出畫外或隱入云層，使人不知山有多高多大。畫高的形勢，可以把下部虛起來，如畫山頭用云虛斷山腳也有崇峻之感，即郭熙所說山欲高，盡出之則不高，煙霞鎖其腰則高矣。反之，如畫極遠的平川，可把上面虛起來，也會造成平川萬里之勢。二、深遠由前面往里畫出深奧之感覺叫深遠。畫中進深大，造成一種具有深遠空間的意境。《芥子園畫傳》解釋加強云氣有深遠感，宋代郭熙在《林泉高致》中也有所論述，水欲遠足出之則不遠。掩映斷其脈則遠矣。這種處理方法在表現云橫秦嶺、氣斷巫峽時可以使用。有經驗的山水畫家，都覺得三遠之中深遠最難于體現。元代王蒙的《具區林屋圖》，使用了四面環山，把幽深之溪谷層層透措，屋宇柿比送次，畫出了難度較大的縱深之感。三、平遠平遠景色要畫出前后左右遼闊的空間。平遠畫法大體上有兩種：一種是矮山及丘陵的平遠山水；一種是只有田園河流的平原大地。對于前一種畫法《芥子園畫傳》強調用煙氣加強平遠之感，有了煙'氣，便覺得蒼茫遼闊。實際上無論高遠、平遠，這一點都是適用的。黃公望的《富春山居圖》和倪贊的《紫芝山房圖》就屬于平遠山水的類型。對于描繪平原景色的遼闊地貌，也可以用一些類似的手法，但主要還是應當利用景物的透視，如林帶、田埂的透視，河流的縱橫帶來加強平遠效果。一馬平川的大地原是國畫中難于奏效的畫題，近代畫家有用稻田波影來襯托白帆片片，也有用樹木和房屋層層推遠的。三遠之法，自郭熙提出之后，到了韓拙和后代的黃公望、王概以及曾到日本旅徙過的費漢源，他們都對三遠法有不同的發展。郭熙還在三遠中提到了三種色調感覺，那就是高遠之別樣，深遠之色重晦，平遠之色有明有礦結合他分析高遠之勢突兀，深遠之意重疊，平遠意沖融而縹縹緲緲、看來作者是作了深入觀察后述。我們面對高山自山下而仰山巔，必然覺得山色楚明確，山峰傲立突出。如自山前降望山后，必然山色陰晦而重疊。如果是自近山而望遠，這時會感由于遠距離而使遠山在空氣層中產生縹緲模糊之感以上都是由于取景時畫家與景物距離視線的方向，野的大小等差距而產生的。開合爭讓構圖千變萬化，實在不是幾句話就能談清楚的。但也不能因此就認為構圖是神妙不可捉摸的，在這方面，古人也積累了不少經驗，其中為國畫家最常用的一句術語，就是開合爭讓之法。清代鄭績在《論景》一則中提出凡布景起處直平淡，至中幅乃開局面，這是指開始布局之后，必須注意展開局面，既經展開之后，鄭績又認為要有分有合，一幅之布局固然，一筆之運用亦然，沈宗春把這比作下棋，國手對奕各不相爭，亦各不相讓……于此可悟畫理，他所指的是大的開合和爭讓，認為。低手扭定一塊，所爭甚小，而大局所失已多。在國畫章法布局中，正須避免這種小的開合和小的爭讓。試從高克恭的《云橫秀嶺圖》可看到其開合布陳之妙，正中巨峰突出，群峰擁簇有合掌之勢，這是合；山頭中部之云、下部之水則是開；左右都有樹林石坡，這是爭；有高有低，有伸有縮之水蛟，這是讓。如此構圖頗象善于寫文章的名手，看到他筆下波瀾的起伏，氣象變動無窮，也看出作者胸中有丘壑，筆下有煙云的巧妙布置。疏可跑馬密不透風清代著名書法篆刻家鄧石如引述發展前人的名言字畫疏處可以走馬，密處不使透風。中國畫家常借用這兩句話強調疏密、虛實之對比，以反對平均對待和現象羅列。疏，指空的地方可以跑開奔馬，當然是相當空間了；密，指密集的地方，連風都透不過去，當然是非常實實在在的了。我們可從傳為唐代l李思訓的《江帆樓閣圖》加以說明，他把山樹人物等實在之物都集中在左邊，樹隙中又夾繪房屋，可謂密不通風，而右邊則有一片滄海，點染一二風帆，使之空闊無際。若問這樣的加大疏密的差距有必要嗎？有的，所謂空白處不是無話可說，沒有畫意可尋了，它正是為了襯托密安部分增強空象，使它更能以少勝多，就象音樂中的休止符，使人有更多的淚旋浮想的余地，正是此時無聲勝有聲。要善于借虛以見實，前人曾提出大抵實處之妙，皆因虛處而生是很有道理的。密處在構圖中要更集中，更精密地刻畫，使墨、色、線充分發揮效果，對比下感到白的更白，密處更密，更突出，更加強烈地給觀者留下印象，從而發揮造型藝術的特長。虛與實不可分割，是構圖法的兩個方面，孤立強調任何一個方面都是不恰當的。疏密聚散與前一節意思相近，這種變化有時也可以用疏、密、聚、散四個字來形容。密與聚是畫面上的實處，疏和散是指畫的虛處，正如疏可跑馬，密不通風一樣，觀者能在畫面上看出大的節奏感來。但空不是簡單的空白，而是三中也有象，我們試看八大山人的花與畫，常常只畫一花一鳥，單純之極，紙上留出了大面積的空白，整幅．畫面空虛處，讓讀者自己去發揮想象，可以想象為天空，為白云，為水波，造成極大的邊旋余地。但只有空白不能成畫，所以還要有密處說明問題，最忌的是平均布置，如請吳歷棚天春色圖人三組柳樹，有聚有散，其土坡按一根S線布置，畫的中部和遠山，又盡量展開，以求舒散，引起觀畫者有山曲水幽之感，同時也為我們展示出如何處理疏密聚散的手法。計白當黑這句話也是來自清代書法家鄧石如，計白以當黑，奇趣乃出，因為這一規律可通畫理，國畫家又把他的道理轉用在繪畫上，與此相近的說法還有，清代華琳在《南宗抉秘》畫評中所說：于通幅之留空白處，尤當審慎。中國畫強調運用空白，對空白經營很用心，把它當有畫的部位，同樣費心思去考慮。為什么要留下一些空白呢？這好比戲劇、電影中人物的潛臺詞，如果把話都說盡了，沒留下一點潛臺詞，這叫做平鋪直敘。畫面上展現一片空間，我們會感到畫家的思想在這段空間里馳騁，這在米氏的云山畫中是常見的手法，一片白云橫在山腰，山隨云活。但鄧石如的深意還不止于此，他是要求沒有筆畫處的白，當和有筆畫處的黑一樣引起重視，認真經營，讓白中也有內容，有畫意，而不是一塊閑置沒有畫到的白紙。這就要斟酌白與黑的措趁和呼應，如畫一條長橋臥波，橋身是黑，水便是白，橋身如何布置便很重要，講的位置合度，可以感到橋下的流水，引起對水的聯想，類似這種空白，不是可有可無，也不是無話可說了，這是言外之言，物外之趣，意味無窮。藝術貴在含蓄，空白也是諸種含蓄手法之一。布置之法勢如勾股清代畫家鄒一掛在他所著的《小山畫譜》里，提出了一個國畫的構圖原理，這就把畫面的布置，安排為三角形的勾股方為得勢。勾股的三角形，也可以是直三角和斜三角。勾股的三根線，分別稱為勾、股、弦．歐洲的西畫大師如荷蒙特里安愛用方格式構圖，而中國畫家之所以愛用三角形構圖原理，可能更符合于中國畫的表意性，便于表現山水花鳥構圖的上輕下重，上小下大，引力向下的心理因素。避免板到。這是就總體而言，當然構圖是無限豐富的，很難作執一之論，不應使它束縛每一畫家的獨創性。前面講過，中國畫的構圖也要運用一個破字，三角形對正方形來講，便是破口均衡的方形，即使三角形本身，也可運用破字，如畫石的大問小法，一塊大石頭，再間雜幾塊小石頭，就會破三角形的一根弦線，潘天壽所示圖例，即是三角形的互破之法。正和偏、板和活、齊和不齊、均衡和不均衡、對稱和不對稱都是藝術表現形式的對立統一規律，在構圖時要隨時注意它的辯證關系，從主題出發，從主要的構思去尋找主要的構圖之路。藏景露景國畫構圖有藏也有露，既不能全藏，也不能全露，這樣才能畫外有畫，不致一覽無余。然而何者該藏，何者該露，這要看主題內容而后決定。一般說來，主要人物應該露，次要人物應該藏，主要情節應該露，次要情節應該藏。藏景是為了畫面的含蓄，宋代畢史良的《溪橋策杖圖》，策杖之人物則露，小亭則藏，這樣以示隱士所去的地方-一竹林中的幽靜小亭。畫船只畫布帆，畫酒家只畫酒簾，畫大城市只畫樓頂或高塔之尖頂，其余的用云斷法或藏于綠樹中，這樣比全部托出，更饒有畫意，所謂言有盡而意無窮，國畫家最深知其中之妙趣。但藏景不可盡藏，白居易《長恨歌》中猶抱琵琶半遮面，有遮有露，更顯出演奏人的不凡和神韻。一味藏景，易使畫面潛晦不明，一味露景則索然乏味。中國畫的山水常常是亭顯一角，船出半復用隱柳梢，石沒半邊，構成景物有限，味之無窮的境界。補景點景對以人物為主的畫面來講，再畫一些環境為陪襯，這叫做補景。多數畫家自