第04講探索與表達規律(6類熱點題型講練)1.探索運用符號表示數字規律和圖形規律的方法.2.提高觀察圖形、探索規律的能力，培養創新意識.知識點01規律探究常見的數字規律規律總結數列形式1，3，5，7，9，···，2，4，6，8，10，···，4，7，10，13，16，···，2，5，8，11，14，···，2，4，8，16，32，···，3，5，9，17，33，···，2，5，10，17，26，···，0，3，8，15，24，···，，，，，，，···，，，，，，，···，1，3，6，10，15，21，···，斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數開始每個數等于與它相鄰的前兩個數之和知識點02規律探究方法總結1.規律探究的核心是找出每個數與對應的位次（即n）之間的關系；2.若數列為分數數列，則分子分母分開找規律；3.若數列是正負交替排列，則在答案前加上；若數列是負正交替排列，則在答案前加上；4.若是選擇題，則可以用代值法，再利用排除法選出正確答案即可.知識點03高斯求和定理.題型01數字類規律探索之排列問題【典例1】（2023·浙江衢州·校考一模）觀察下列數據：，，，，，…，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第個數據是（）A． B． C． D．【變式1】（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）一組數據，，，，…請按這種規律寫出第十個數是．【變式2】（2022秋·浙江金華·七年級校考期中）從3開始的連續奇數按右圖的規律排列，其余位置數字均為．

（1）第行第列的數字是．（2）數字在圖中的第行，第列．題型02數字類規律探索之末尾數字問題【典例2】（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計算結果中個位數字的規律，可得的個位數字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【變式1】（2023春·江蘇南京·七年級校考階段練習）觀察下列算式：①；②；③尋找規律，并判斷的值的末位數字為（）A．1 B．3 C．5 D．7【變式2】（2023春·江蘇泰州·七年級統考期中）發現規律解決問題是常見解題策略之一．已知數，則這個數的個位數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2023春·江蘇連云港·七年級統考期末）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示，即：，，，，，……，請你推算的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2題型03數字類規律探索之新運算問題【典例3】（2022·湖南株洲·統考二模）定義一種關于整數n的“F”運算：（1）當n是奇數時，結果為；（2）當n是偶數時，結果是（其中k是使是奇數的正整數），并且運算重復進行．例如：取，第一次經F運算是29，第二次經F運算是92，第三次經F運算是23，第四次經F運算是74，……；若，則第2020次運算結果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【變式1】（2022秋·江蘇揚州·七年級校考階段練習）a是不為2的有理數，我們把稱為a的“哈利數”．如：3的“哈利數”是，的“哈利數”是，已知，是的“哈利數”，是的“哈利數”，是的“哈利數”，．．．，依此類推，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·全國·七年級專題練習）已知整數，，，，……滿足下列條件：，，，…，以此類推，則的值為，的值為題型04數字類規律探索之等式問題【典例4】（2022秋·江西九江·七年級統考期中）觀察下面的變形規律：；；；解答下面的問題：(1)若為正整數，請你猜想______；(2)計算．(3)計算；．【變式1】（2022秋·湖南永州·七年級校考期中）觀察算式：按規律填空：．【變式2】（2023春·安徽合肥·七年級校考期末）觀察算式：①；②；③；④；，根據你發現的規律解決下列問題：(1)寫出第個算式：______；(2)寫出第個算式：______；(3)計算：．題型05圖形類規律探索之數字問題【典例5】（2022秋·湖北黃岡·七年級校考階段練習）如圖，根據圖形中數的規律，可推斷出a的值為（

）A．128 B．216 C．226 D．240【變式1】（2023春·貴州畢節·七年級統考期末）根據圖中數字的規律，若第n個圖中的值為196，則（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【變式2】（2022秋·河南周口·七年級校考期中）如圖所示，下列各三角形中的三個數之間均具有相同的規律，根據此規律，則第（為正整數）個三角形中，用表示的式子為（

）

A． B． C． D．題型06圖形類規律探索之數量問題【典例6】（2023·江蘇·七年級假期作業）用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規律擺放：(1)第5個圖案有張黑色小正方形紙片；(2)第n個圖案有張黑色小正方形紙片；(3)第幾個圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？【變式1】（2023秋·全國·七年級專題練習）如圖，用棋子擺方陣，那么，圖⑥要擺枚棋子，圖n要擺枚棋子．【變式2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中學校考二模）如圖，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據圖案組成的規律回答下列問題：(1)圖案④中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；(2)圖案中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；（用含的式子表示）(3)圖案中的白色五邊形可能為2023個嗎？若可能，請求出的值；若不可能，請說明理由．一、單選題1．（2023秋·全國·七年級專題練習）觀察下列各單項式：，…，根據你發現的規律，第10個單項式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）一列數，，…，其中，，，…，，則（

）A． B．1 C．2020 D．3．（2023春·河南信陽·七年級校聯考階段練習）如圖，用棋子擺出下列一組圖形，如果按照這種規律擺下去，那么第10個圖形里棋子的個數為（

）

A．72 B．66 C．56 D．784．（2023春·云南臨滄·七年級統考期末）如圖，用字母“”、“”按一定規律拼成圖案，其中第個圖案中有個，第個圖案中有6個，第個圖案中有個，……，按此規律排列下去，第個圖案中字母的個數為(

)

A． B． C． D．5．（2023春·福建寧德·七年級校聯考期中）我國宋代數學文楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的一角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數規律，我們把這種數字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計算的展開式中，含項的系數是（

）

…………1

…………1

1

…………1

2

1

…………1

3

3

1

…………1

4

6

4

1A． B．15 C． D．20【答案】C【分析】根據圖中規律，可得的展開式中含項的系數，再根據的展開式中，系數的絕對值與的展開式中的系數相同，符號從左往后為奇數項為正，偶數項為負．【詳解】解：由題意可知，下排每個數等于上方兩個數字的絕對值之和，的展開式系數從左往右分別是，的展開式系數從左往右分別是，根據圖中，可知含有項的項為從左往右第四項，且符號為負，故的展開式中，含項的系數是，故選：C．【點睛】本題考查了數字變化規律，通過觀察、分析、歸納發現其中規律，并應用發現的規律是解題的關鍵．二、填空題6．（2022秋·四川南充·七年級校考期中）正整數按圖中的規律排列．由圖知，數字6在第二行，第三列，請寫出數字2021在第行，第列．

7．（2023春·山東泰安·六年級校考期中）觀察下列各式，探索規律：；；；；；用含正整數n的等式表示你所發現的規律為．8．（2023春·黑龍江綏化·七年級校考期末）觀察下列算式：，，，，，，根據上述算式中的規律，你認為的末位數字是．9．（2023春·河北石家莊·七年級行唐一中校考開學考試）觀察下列圖形的構成規律，按此規律，第6個圖形中棋子的個數為個，第n個圖形中棋子的個數為個．

10．（2022秋·江蘇宿遷·七年級校考階段練習）已知整數滿足下列條件：，，，，…，（為正整數）依此類推，則的值為．三、解答題11．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）觀察下列三行數：，4，，16，，64，……0，6，，18，，66，……，1，，4，，16……(1)第①行數第七個數是，那么第二行數第七個數是_____，第三行第七個數是_____．(2)列式計算：取每行的第9個數，求這三個數的和．12．（2023春·云南昭通·七年級統考期中）小明計算：的過程如下：解：令則得∴請參照小明的方法，計算：．13．（2023春·安徽阜陽·七年級校考階段練習）觀察下列圖形，完成下列問題．

(1)數一數，完成下列表格．直線的條數交點的個數(2)若有條直線相交，則最多有交點__________個．（用含的代數式表示）14．（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習）觀察下列各式：，，，回答下面的問題：(1)（寫出算式即可）；(2)計算的值；(3)計算的值．15．（2022秋·江蘇宿遷·七年級校考階段練習）探索規律：觀察下面※由組成的圖案和算式，解答問題：

(1)請猜想_________；(2)請猜想_________；(3)請用上述規律計算：的值．16．（2023秋·浙江·七年級專題練習）找規律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作，．(2)如圖②，把正方形看作，．(3)如圖③，把正方形看作，．(4)計算：．(5)計算：．17．（2023春·安徽·九年級專題練習）用若干個“○”與“▲”按如圖方式進行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規律，并將下面的表格填寫完整：圖1圖2圖3圖4○的個數3921______▲的個數1410______(2)根據你所觀察到的規律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個數（用含的代數式表示）．18．（2023·河北秦皇島·統考一模）為迎接七一建黨節，某社區黨委在廣場上設計了一座三角