2023-2024學年四川省綿陽市高考沖刺數學（文）模擬試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若復數為純虛數，則a的值為（）A.-1 B.1 C.0或1 D.-1或1【正確答案】B【分析】純虛數只需讓復數的實部為0，虛部不為0，因此可以對應列式，解出即可.【詳解】由，解得，故選：B.2.設集合，B=，則（）A.{-2，-1，1} B.{-2，0，1} C.{-2，-1} D.{-1，1}【正確答案】A【分析】由題知，再根據集合的補集運算與交集運算求解即可.【詳解】，則或，所以.故選：A.3.某中學領導采用系統抽樣方法，從該校某年級全體1200名學生中抽80名學生做視力檢查．現將1200名學生從1到1200進行編號，在1～15中隨機抽取一個數，如果抽到的是6，則從46～60這15個數中應抽取的數是()A.47 B.48 C.51 D.54【正確答案】C【分析】利用系統抽樣分析解答.【詳解】因為采取系統抽樣，每15人隨機抽取一個人，在1～15中隨機抽取一個數，如果抽到的是6，所以在k組抽到的是6＋15(k－1)，所以46～60這15個數中應抽取的數是6＋15×3＝51，故選C.本題主要考查系統抽樣，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4.已知向量滿足，與的夾角為，則等于（）A.3 B. C.21 D.【正確答案】D【分析】根據數量積的定義求出，由，結合向量數量積的運算律計算可得.【詳解】，.故選：D.5.已知是雙曲線：上的一點，半焦距為，若（其中為坐標原點），則的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】A【分析】用兩點間的距離公式表示，根據點M在雙曲線上化簡變形，即可得到所求范圍.【詳解】因為，所以，所以，又，消去得，，所以.本題考查雙曲線的應用，考查兩點間距離公式，考查化簡變形的能力和運算能力，屬于基礎題.6.“”是“對任意的正數，均有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據基本不等式可判斷充分性，取特值可判斷不必要性.【詳解】當，時，由基本不等式可知，故“”是“對任意的正數，均有”的充分條件；當時，成立，不成立，故“”是“對任意的正數，均有”的不必要條件.故選：A7.已知為等比數列，且，與的等差中項為，則（）A.1 B.2 C.31 D.【正確答案】A【分析】根據已知條件列出首項和公比的方程組可得答案.【詳解】由得，①又，得，②由①②得，，.故選：A.8.將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】C【分析】化簡函數，再根據給定條件求出，并求出含數0的遞增區間，然后列式計算作答.【詳解】依題意，函數，于是得，由，得：，因此，函數在上為增函數，而在上為增函數，于是得，解得，有，所以的最大值為2.故選：C9.斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A B.C. D.【正確答案】A【分析】根據三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側面積與圓環的面積之和【詳解】根據三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A10.若數列滿足且，則滿足不等式的最大正整數為（）A.20 B.19 C.21 D.22【正確答案】A【分析】由題意利用累乘法可得，解不等式即可得解.【詳解】,當時，，，當時，，，又，，解得，又，故所求的最大值為.故A.本題考查了累乘法求數列通項的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.11.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由條件結合圓與圓的位置關系可得點到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標為，半徑為，設直線上的點滿足條件，則以點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，即兩圓相交或相切，所以，所以點到點的距離小于等于，所以點到直線的距離小于等于2，所以解得所以k的取值范圍為，故選：A.12.已知函數的定義域為，且都有，則下列說法正確的命題是（）①；②；③關于點對稱；④A.①② B.②③ C.①②④ D.①③④【正確答案】D【分析】利用特殊值法，結合函數的奇偶性、對稱性和周期性進行求解即可.【詳解】對于①，由于都有，所以令，則，即，因為，所以，所以①正確，對于②，令，則，所以，即，所以，所以②錯誤，對于③，令，則，所以，即，所以關于點對稱，所以③正確，對于④，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以的周期為4，在中，令，則，因為，所以，，所以，所以，所以④正確，故選：D關鍵點點睛：此題考查抽象函數及其應用，利用函數的周期性是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.某射箭運動員一次射箭擊中10環、9環、8環的概率分別是0.2，0.3，0.3，那么他射箭一次低于8環的概率是________【正確答案】0.2【分析】根據所求的獨立事件與它的對立事件概率的關系計算即可.【詳解】由題意知，(射箭一次不夠8環)=1-P(射箭一次大于等于8環)=1-0.2-0.3-0.3=0.2故0.214.函數是定義在R上的奇函數，當時，，則______．【正確答案】##-05【分析】根據奇函數的定義，結合指對數的運算法則，即可得答案.【詳解】因為，所以由為奇函數得：．故15.在邊長為2的正方形中，分別為線段，的中點，連接，將分別沿折起，使三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球的表面積為______.【正確答案】【分析】由題意可知兩兩垂直，所以將三棱錐補成一個長方體，則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，求出體對角線的長，則可求出外接球的表面積.【詳解】由題意可知兩兩垂直，且，將三棱錐補成一個長方體，如圖所示，則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，設外接球的半徑為，，得，所以三棱錐外接球的表面積為，故16.已知點是拋物線上的一點，是的焦點，是的中點，，則的最小值為______.【正確答案】##【分析】設點，由向量坐標運算可得，利用基本不等式求其最小值即可.【詳解】依題意，，設，則，因為在拋物線上，所以得，即，由，得，，，所以，令，，則，，當即時，，；當即時，，當且僅當，即時取等號，此時.綜上所述，的最小值為.故三.解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分17.如圖，在平面四邊形中，對角線平分，的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面積為2，求【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據兩角和的正弦公式及誘導公式即可得到，從而求出；（2）由三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依題意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以所以所以【小問2詳解】解：因為的面積，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，因為平分，所以，所以，所以，所以，所以18.新型冠狀病毒肺炎COVID-19疫情發生以來，在世界各地逐漸蔓延.在全國人民的共同努力和各級部門的嚴格管控下，我國的疫情已經得到了很好的控制.然而，小王同學發現，每個國家在疫情發生的初期，由于認識不足和措施不到位，感染人數都會出現快速的增長.下表是小王同學記錄的某國連續8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數.日期代碼x12345678累計確診人數y481631517197122為了分析該國累計感染人數的變化趨勢，小王同學分別用兩桿模型：①，②對變量x和y的關系進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差)：經過計算得，，，，其中，.（1）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模型?并簡要說明理由；（2）根據（1）問選定的模型求出相應的回歸方程（系數均保留兩位小數）；（3）由于時差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數尚未公布.小王同學認為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數據公布之前可以根據他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數做出預測，那么估計該地區第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數是多少?（結果保留整數）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【正確答案】（1）選擇模型①，理由見解析（2）（3）157【分析】（1）選擇模型①.根據殘差的意義直接判斷；（2）套公式求出系數，即可得到y關于x的回歸方程；（3）將代入，即可求得.【小問1詳解】選擇模型①.理由如下：根據殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值相對比較接近，模型②的殘差相對較大一些，所以模型①的擬合效果相對較好【小問2詳解】由（1），知y關于x的回歸方程為，令，則.由所給數據得：，，.，∴y關于x的回歸方程為，【小問3詳解】將代入上式，得(人)，所以預測該地區第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數為157人.19.如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為2的菱形.（1）證明：平面平面；（2）若，且，求四棱錐的體積【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接交于點，連接，根據是菱形，得到，且為的中點，再由，得到，進而得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）解法一：由（1）知平面平面，利用面面垂直的性質定理得到平面，從而由求解；解法二：易得三棱錐是為棱長為2的正四面體，而它所對應的正方體的棱長為，從而由求解；解法三：取中點，連接交于點，連接.由是等邊三角形，得到，再由，得到平面，從而，再由，得到平面，然后由四棱錐的體積為求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：連接交于點，連接，因為是菱形，所以，且為的中點，因為，所以，又因為平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】解法一：由（1）可知，平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以，由已知可得，又，且為的中點.所以，又，所以，所以，所以.解法二：由已知可得：為正三角形，且，又，且為的中點，所以，又，所以，從而，所以三棱錐是為棱長為2的正四面體，而它所對應的正方體的棱長為，所以.解法三：如圖所示：取中點，連接交于點，連接.因為，所以是等邊三角形，所以，又因平面，所以平面平面，所以，由（1）知，且平面，所以平面.由是邊長為2的菱形，在中，，由，在中，，所以.所以四棱錐的體積為.20.設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）平面上點B滿足，過與平行的直線交于兩點，若，求橢圓的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出點坐標，即可求出的方程，利用點到直線的距離公式得到，整理即可求出離心率；（2）由（1）問可設橢圓方程為，即可得到點坐標，從而得到的斜率，即可得到直線的方程，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式求出，即可求出、，即可得到方程.【小問1詳解】由題設及，不妨設，所以，，解得或（舍去），從而，直線的方程為，整理得，原點到直線的距離為，將代入整理得，即，所以離心率.【小問2詳解】由（1）問可設橢圓方程為，則，因為，所以為平行四邊形，所以直線過點，則斜率為，則設直線方程為，聯立橢圓方程得，顯然，則，則，解得（負值舍去），所以，所以橢圓方程為.21.已知函數.(I)當a=2時,求曲線在點處的切線方程；(II)設函數,討論的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值.【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）由,通過討論確定的單調性,再由單調性確定極值.試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當時，，，所以，因此，曲線在點處的切線方程是，即.（Ⅱ）因為，所以，，令，則，所以在上單調遞增，因為，所以，當時，；當時，.（1）當時，，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以當時取到極大值，極大值是，當時取到極小值，極小值.（2）當時，，當時，，單調遞增；所以在上單調遞增，無極大值也無極小值.（3）當時，，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以當時取到極大值，極大值是；當時取到極小值，極小值是.綜上所述：當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當時，函數在上單調遞增，無極值；當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.導數的幾何意義及導數的應用【名師點睛】(1)求函數f(x)極值的步驟：①確定函數的定義域；②求導數f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數定義域內的所有根；④檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取