5．4．2正弦函數、余弦函數的性質【題型歸納目錄】題型一：正余弦函數的周期問題題型二：正余弦函數的奇偶問題題型三：正余弦函數的對稱問題題型四：正余弦函數的單調問題題型五：根據正余弦函數單調性求參數的范圍問題題型六：比較大小題型七：正余弦函數的最值與值域問題題型八：正余弦函數的綜合應用【知識點梳理】知識點一：周期函數函數，定義域為，當時，都有，其中是一個非零的常數，則是周期函數，是它的一個周期．知識點詮釋：1、定義是對中的每一個值來說的，只有個別的值滿足或只差個別的值不滿足都不能說是的一個周期．2、對于周期函數來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數，就稱它為最小正周期，三角函數中的周期一般都指最小正周期．知識點二：正弦函數性質函數正弦函數定義域值域奇偶性奇函數周期性最小正周期單調區間增區間減區間最值點最大值點；最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）正弦函數的值域為，是指整個正弦函數或一個周期內的正弦曲線，如果定義域不是全體實數，那么正弦函數的值域就可能不是，因而求正弦函數的值域時，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數的單調區間時，易錯點有二：一是單調區間容易求反，要注意增減區間的求法，如求的單調遞增區間時，應先將變換為再求解，相當于求的單調遞減區間；二是根據單調性的定義，所求的單調區間必須在函數的定義域內，因此求單調區間時，必須先求定義域．知識點三：正弦型函數的性質．函數與函數可看作是由正弦函數，余弦函數復合而成的復合函數，因此它們的性質可由正弦函數，余弦函數類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調區間：求形如的函數的單調區間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，分別與正弦函數的單調遞增（減）區間對應解出，即為所求的單調遞增（減）區間．比如：由解出的范圍所得區間即為增區間，由解出的范圍，所得區間即為減區間．（4）奇偶性：正弦型函數不一定具備奇偶性．對于函數，當時為奇函數，當時為偶函數．知識點詮釋：判斷函數的奇偶性除利用定義和有關結論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關于原點對稱”這一前提條件．（5）周期：函數的周期與解析式中自變量的系數有關，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數比較可知，當時，函數取得最大值（或最小值），因此函數的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．知識點四：余弦函數的性質函數余弦函數定義域值域奇偶性偶函數周期性最小正周期單調區間增區間減區間最值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）余弦函數的值域為，是指整個余弦函數或一個周期內的余弦曲線，如果定義域不是全體實數，那么余弦函數的值域就可能不是，因而求余弦函數的值域時，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數的單調區間時，應先將變換為再求解，所求的單調區間必須在函數的定義域內，因此求單調區間時，必須先求定義域．知識點五：余弦型函數的性質．函數可看作是由余弦函數復合而成的復合函數，因此它們的性質可由余弦函數類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調區間：求形如的函數的單調區間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，余弦函數的單調遞增（減）區間對應解出，即為所求的單調遞增（減）區間．（4）奇偶性：余弦型函數不一定具備奇偶性，對于函數，當時為偶函數，當時為奇函數．（5）周期：函數的周期與解析式中自變量的系數有關，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數比較可知，當時，函數取得最大值（或最小值），因此函數的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．同理，的對稱軸由解出，對稱中心的橫坐標由解出．知識點詮釋：判斷函數的奇偶性除利用定義和有關結論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關于原點對稱”這一前提條件．若，則函數不一定有對稱軸和對稱中心．【典型例題】題型一：正余弦函數的周期問題例1．函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，，∴，故選：D.例2．下列函數，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數的最小正周期為，故A不符合；函數，其最小正周期為，故B不符合；因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故C符合；因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故D不符合.故選：C.例3．已知函數的最小正周期為，則.【答案】12【解析】由于，依題意可知.故答案為：變式1．如果函數的相鄰兩個零點之間的距離為，則.【答案】6【解析】∵函數f(x)的相鄰兩個零點之間的距離為，∴周期，由，得.故答案為：6.變式2．已知函數，且的相鄰兩個對稱中心的距離為2，則．【答案】【解析】由題意最小正周期為，故，所以，則，則.故答案為：變式3．函數的周期不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當，時，函數，最小正周期為，故選項A可能；當，時，函數，最小正周期為，故選項B可能；當，時，函數，最小正周期為，故選項C可能；而對于選項D：，則若時，，令，所以與題設矛盾，故函數的最小正周期不可能是；故選：D.變式4．下列函數中，最小正周期為的偶函數是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，定義域為，因為，所以函數為偶函數，因為的圖象是由的圖象在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成（如下圖所示），又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數，故B錯誤；對于C：定義域為，，即為偶函數，又，所以為的周期，故C錯誤；對于D：為最小正周期為的偶函數，故D錯誤；故選：A變式5．若函數的圖象與直線的兩個相鄰公共點之間的距離等于2，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數的圖象與直線的兩個相鄰公共點之間的距離等于2，可得函數的最小正周期為，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為.故選：B.變式6．已知函數，若存在，使得恒成立，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則函數的最小正周期為，若存在，使得，則，所以，函數為周期函數，且為函數的周期，所以，，即，因為，所以，，故選：D.變式7．記函數的最小正周期為，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對任意的，，則為函數的最大值或最小值，故函數的圖象關于直線對稱，故，解得，又因為且函數的最小正周期滿足，即，解得，故.故選：D.變式8．函數的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，則相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.故選：C.變式9．設，則等于（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】，當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又函數的周期為4，所以.故選：A.變式10．已知函數的最小正周期為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，或，所以，的最小值恰為函數圖象相鄰對稱軸之間的距離，即為該函數最小正周期的一半，因此，的最小值為.故選：D.【方法技巧與總結】（1）定義法，即利用周期函數的定義求解．（2）公式法，對形如或（，，是常數，，）的函數，（3）觀察法，即通過觀察函數圖象求其周期．三種方法各有所長，要根據函數式的結構特征，選擇適當的方法求解．題型二：正余弦函數的奇偶問題例4．函數（

）A．是奇函數，但不是偶函數B．是偶函數，但不是奇函數C．既是奇函數，又是偶函數D．既不是奇函數，又不是偶函數【答案】A【解析】由可知是奇函數．故選:A例5．函數①；②，；③，中，奇函數的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據奇函數定義，②中違背了定義域要關于原點對稱這一要求，所以排除②；對于①，，是奇函數；對于③，，是偶函數．故選：B．例6．已知函數，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，解得：.故選：A.變式11．函數，則（

）A．若，則為奇函數 B．若，則為偶函數C．若，則為偶函數 D．若，則為奇函數【答案】B【解析】的定義域為，對A：若，，若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；對B：若，，，故為偶函數，B正確；對C：若，，，故不是偶函數，故C錯誤；對D：若，，若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；故選：B變式12．已知為偶函數，則（

）A． B．6 C． D．3【答案】D【解析】因為為偶函數，所以，解得，所以，．故選：D.變式13．使函數為偶函數的最小正數φ＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數為偶函數，∴，∴使函數為偶函數的最小正數．故選：B變式14．若函數為偶函數，則的最小正值為.【答案】/【解析】函數的定義域為，為偶函數，則，即，則，即是偶函數，可知，，即，，故取最小正值為.故答案為：.變式15．設函數的最大值為，最小值為，則.【答案】2【解析】，令，易知，，即為奇函數，所以結合奇函數性質有.故答案為：2變式16．已知定義域為的奇函數則的值為．【答案】0【解析】因為函數是定義在上的奇函數，則有，解得，，解得，所以.故答案為：0變式17．已知函數為偶函數，則(

)A．0 B． C． D．【答案】C【解析】∵f(x)定義域為R，且為偶函數，∴，，．當時，為偶函數滿足題意．故選：C．變式18．已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，為奇函數，，，，.故選:C【方法技巧與總結】判斷函數奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個函數的奇偶性，要考慮兩方面：①函數的定義域是否關于原點對稱；②與的關系；（2）判斷函數的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型三：正余弦函數的對稱問題例7．設函數與函數在上的圖象的所有交點為，，…，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】在同一直角坐標系中畫出函數與函數在上的圖象,如下圖所示：由圖可知兩函數共有四個交點，不妨設它們為，，，，其中，設，所以有，所以點與點關于點中心對稱，點與點關于點中心對稱，所以.故選：C.例8．下列選項中不是函數圖象的對稱軸方程的是（

）A． B．C． D．以上選項都不正確【答案】B【解析】因為，所以，，則，則和都是圖象的對稱軸方程，而，則不是圖象的對稱軸方程．故選：B．例9．函數的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數的對稱軸滿足，解得，令，則，故選：A.變式19．函數的圖象（

）A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】B【解析】A.，所以函數不關于直線對稱，故A錯誤；B.，所以函數關于直線對稱，故B正確；C.，所以函數不關于點對稱，故C錯誤；D.，所以函數不關于點對稱，故D錯誤；故選：B變式20．若函數對任意都有，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】根據，可得函數的圖像關于直線對稱，由余弦型函數在對稱軸處取得最大或最小值即得解.根據，可得函數的圖像關于直線對稱，故的值為函數的最大值或最小值，故選：C.變式21．已知函數的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，則.【答案】/【解析】因為函數的最小正周期為，所以；又因為函數圖象關于直線對稱，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案為：.變式22．設函數，若的圖象關于點對稱，則的值可以是．（寫出一個滿足條件的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因為函數，且的圖象關于點對稱，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（寫出一個即可）．故答案為：（答案不唯一）．變式23．已知函數的一條對稱軸為，則一個滿足題意的的值是.【答案】2(答案不唯一，均可)．【解析】由題意，，其中最小的正數為，即．故答案為：2(答案不唯一，均可)．變式24．函數的圖象與函數的圖象所有交點的橫坐標之和等于.【答案】8【解析】由，則，即關于對稱；由在上遞增且值域為、上遞增且值域為，且關于對稱；又，根據對稱性知：，所以、且的圖象如下，所以，在的兩側各有4個交點，且4對交點分別關于對稱，故任意兩個對稱的交點橫坐標之和為2，所有交點的橫坐標之和為8.故答案為：8變式25．已知函數的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，則.【答案】【解析】因為函數的最小正周期為，所以，又因為直線是函數的一條對稱軸，所以，解得：，因為，所以，則函數，所以，故答案為：.變式26．已知函數，則函數的所有零點之和為．【答案】0【解析】因為函數，所以的對稱中心是，令，得，在同一坐標系中作出函數的圖象，如圖所示：由圖象知：兩個函數圖象有8個交點，即函數有8個零點由對稱性可知：零點之和為0，故答案為：0變式27．已知函數的圖象關于點中心對稱，則的最小值為.【答案】【解析】因為函數的圖象關于點中心對稱，所以，所以，則當時，的最小值為.故答案為：變式28．若函數的圖象關于點對稱，請寫出一個的值：.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【解析】由題意可知，，解得，，故答案為：（答案不唯一，符合，即可）【方法技巧與總結】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點或最低點，即此時的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點，即此時的正弦值（余弦值）為0．題型四：正余弦函數的單調問題例10．函數的一個單調遞減區間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由的圖象與性質，的單調減區間為，，所以D符合題意.故選：D.例11．函數和都單調遞增的區間是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】函數的單調遞增的區間是，函數的單調遞增的區間是，由，可得函數和都單調遞增的區間是.故選：A.例12．函數的單調減區間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,所以，當，由于，故D正確，ABC均錯誤，故選：D變式29．函數的單調遞減區間為.【答案】【解析】因為，所以的單調遞增區間就是的單調遞減區間．令，解得.所以函數的單調遞減區間為.故答案為：.變式30．函數的單調遞增區間為.【答案】【解析】，，即，，解得，的定義域為，又令，可得可得的增區間為，，綜上可知的單調增區間為，故答案為：.變式31．y＝cos的單調遞減區間為.【答案】【解析】因為，所以由得，，，即所求單調遞減區間為.故答案為：.變式32．已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，則函數的單調遞減區間為【答案】【解析】由函數的圖象，可得，，即，所以，即，又由，可得，解得，即，因為，所以，即，令，解得，即函數的遞減區間為.故答案為：.變式33．函數的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為．【答案】【解析】由題知，，解得，由解得：，所以，令，.解得：，.所以的單調遞減區間為：.故答案為：.變式34．函數，的增區間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，得.令，解得.所以函數的單調增區間為.因為，所以令，則得函數，的單調增區間為.故選：C.變式35．已知函數，，則的單調遞增區間是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】可化為，故單調增區間：，，解得，.令，，令，.，所以的單調遞增區間是.故選：D【方法技巧與總結】（1）用“基本函數法”求函數（，）或（，）的單調區間的步驟：第一步：寫出基本函數（或）的相應單調區間；第二步：將“”視為整體替換基本函數的單調區間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關于的不等式．（2）對于形如的三角函數的單調區間問題，當時，可先用誘導公式轉化為，則的單調遞增區間即為原函數的單調遞減區間，單調遞減區間即為原函數的單調遞增區間．余弦函數的單調性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．題型五：根據正余弦函數單調性求參數的范圍問題例13．已知函數的周期為，且滿足，若函數在區間不單調，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得則函數對稱軸方程為函數在區間不單調，，解得，又由，且，得，故僅當時，滿足題意.故選：C.例14．已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為.【答案】【解析】由題意有,可得,又由，在上為減函數，故必有,可得.故實數的取值范圍為.故答案為：例15．已知函數的最小正周期為，且時，函數取最小值，若函數在上單調遞減，則a的最大值是．【答案】【解析】由函數的最小正周期為，則，解得；，解得，則.由，則.故，由，則，，由函數在上單調遞減，則，解得.故答案為：.變式36．已知函數的圖像關于點對稱，且在區間上單調，則．【答案】或【解析】由函數的圖像關于點對稱，可得，解得，可得，又因為在區間上單調，可得，即，即，解得，當時，；當時，，故答案為：或.變式37．函數在上是減函數，且在上恰好取得一次最小值，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以.因為在上恰好取得一次最小值，所以，所以.因為，所以.因為，在上是減函數，根據余弦函數的單調性可知，解得.所以，.故答案為：.變式38．若函數在上不單調，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得，若函數在上單調遞增，則,解得：，所以，解得，即，因為，所以且，所以，

①若函數在上單調遞減，則,解得，所以，解得，即，因為，所以且，所以，

②又因為函數在上不單調，且，所以的取值為①②所表示的不等式的補集，即或.故答案為：或.變式39．若，函數在區間上單調遞減，且在區間上存在零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】當時，，因為，函數在區間上單調遞減，所以，所以，即，當時，，因為，在區間上存在零點，所以，解得，綜上：，故答案為：變式40．已知函數，若在區間上為單調函數，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，在區間上為單調函數，又由余弦函數的單調性可得，所以．故答案為：變式41．已知函數在上單調遞增，則取值范圍是.【答案】【解析】令，解得，所以的單調遞增區間為，因為在上單調遞增，所以，解得，所以.故答案為：變式42．已知，函數在上單調遞減，則的取值范圍是．【答案】【解析】函數中，，由，得，則在上單調遞減，因為函數在上單調遞減，則，于是，解得，由，，而，則，因此，所以的取值范圍是.故答案為：變式43．已知函數在區間上是單調的，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，又因為函數在區間上是單調的，所以，所以，解得，由函數在區間上是單調的，可知，即，又，所以或．所以的取值范圍是．故答案為：.變式44．已知函數的圖象關于直線對稱，且在區間內單調，則的最大值為．【答案】【解析】因為區間的左端點為對稱軸，且在區間內單調，所以，其中，所以，又，所以，所以的最大值為.故答案為：.變式45．已知函數，對于，，且在區上單調遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對于，，可得在時取得最大值，即，可得，所以，又因為在上單調遞增，所以且，解得，當時，，所以的最大值為.故選：C.【方法技巧與總結】已知正（余）弦函數的單調性求參數范圍，多用數形結合思想及轉化思想求解．題型六：比較大小例16．令，，判斷a與b的大小關系是（

）A． B． C． D．無法判斷【答案】B【解析】因為函數在上單調遞增，且，所以.故選：B例17．設，則大小關系（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，且在上單調遞增，則，即；又因為，且在上單調遞減，則，即，且，所以.故選：B.例18．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由誘導公式知：，，在上單調遞增，，即.故選：D.變式46．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，所以，所以.故選：C.變式47．已知偶函數定義域為，當時，單調遞減，，，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數為偶函數，可得，又因為當時，單調遞減，且，所以，即，所以.故選：B.變式48．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因為，，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，，又，所以，故C錯誤；對于D，因為，，又，所以，即，故D正確.故選：D.變式49．若為銳角三角形，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵為銳角三角形，∴，，∵在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，∴對于A，當時，，故選項A錯誤；對于B，當時，，故選項B錯誤；對于C，∵，，，∴，∴，∴，即，∴，故選項C錯誤；對于D，由選項C中判斷，，∴，故選項D正確.故選：D.【方法技巧與總結】比較兩個三角函數值的大小（1）比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區間內的角，再利用函數的單調性比較．（2）比較兩個不同名的三角函數值的大小，一般應先化為同名的三角函數，后面步驟同上．題型七：正余弦函數的最值與值域問題例19．當函數取得最大值時的的集合為．【答案】【解析】依題意令，，解得，，所以函數取得最大值時的的集合為.故答案為：例20．已知函數在上的值域為，則a＋b的值為．【答案】或【解析】因為，所以，所以.因為函數在上的值域為，當時，，所以解得當時，，所以解得所以或，所以或.故答案為：或.例21．函數的值域是.【答案】【解析】先對函數進行化簡，然后結合正弦函數的值域，的值域為，故答案為：.變式50．函數在上的值域為．【答案】【解析】，則，于是，所以所求值域為.故答案為：變式51．函數在區間上的最小值為．【答案】【解析】因為，，，所以，當即時取得最小值為.故答案為：變式52．求的最小值是【答案】【解析】,令,,當,.故答案為:變式53．函數取最大值時自變量的取值集合是.【答案】【解析】函數取得最大值1時，可得：（），解得，所以自變量的取值集合是.故答案為：.變式54．設函數定義域為，值域為，則的最大值為【答案】【解析】作出函數的部分圖像如圖所示：因為的值域為，不妨設,由圖像可得.故答案為:.變式55．函數的值域為.【答案】【解析】，，則，，故.故答案為：變式56．函數在的值域是.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以函數在的值域是.故答案為：.變式57．函數的值域為．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數的值域為．故答案為：.變式58．函數，的值域為．【答案】【解析】令，則，當時，則函數取得最小值為，當時，函數取得最大值為，故函數的值域為.故答案為：變式59．函數的最小值是．【答案】【解析】由，又，則，所以，所以函數的最小值是．故答案為：．變式60．已知函數（）的圖像關于點中心對稱．(1)求的值；(2)當時，求函數的最大值和最小值．【解析】（1）因為函數的對稱中心為，，∴，，∴，，由于，∴．（2）由（1）知，∵當時，，∴，∴，∴當時，函數的最大值為1，最小值為．【方法技巧與總結】一般函數的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數法等．三角函數是函數的特殊形式，一般方法也適用，但要結合三角函數本身的性質．常見的三角函數求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數，令，根據題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數的單調性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數，可先設，將函數化為關于的二次函數，根據二次函數的單調性求值域（最值）．（3）對于形如（或）的函數的最值還要注意對的討論．題型八：正余弦函數的綜合應用例22．（多選題）下列關于函數說法正確的是（

）A．周期為 B．單調遞增區間是C．圖象關于直線對稱 D．圖象關于點對稱【答案】ABD【解析】對于A，函數的周期為，故A正確；對于B，令，得，所以單調遞增區間是，故B正確；對于C，因為，所以直線不是函數圖象的對稱軸，故C錯誤；對于D，因為，所以函數圖象關于點對稱，故D正確.故選：ABD.例23．（多選題）已知函數，則下列結論錯誤的是（

）A．的最小正周期是 B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】ACD【解析】函數，對于選項A，的最小正周期，A選項錯誤；對于選項B，由，在上單調遞增，B選項正確；對于選項C，由解得，的圖象不關于直線對稱，選項C錯誤；對于選項D，由解得，當時，，所以的圖象關于點對稱，D選項錯誤.故選：ACD.例24．（多選題）已知函數，以下結論正確的是（

）A．它是周期為的周期函數B．它是偶函數C．它在這個區間有且只有1個零點D．它的值域為【答案】BD【解析】A.，，，所以不是周期為的周期函數，故A錯誤；B.函數的定義域為，，所以函數是偶函數，故B正確；C.當時，，得，無解，當時，，得，無解，當時，，得，無解，當時，，得，，時，，得，，綜上可知，它在這個區間有且只有2個零點，故C錯誤；D.當時，，且，當時，，當時，，當時，，再結合函數是偶函數，可知，函數的值域是，故D正確.故選：BD變式61．（多選題）在現代社會中，信號處理是非常關鍵的技術，我們通過每天都在使用的或者互聯網就能感受到.而信號處理背后的‘功臣’就是和正弦相關的某類函數，的圖象就可以近似模擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（

）A．函數為周期函數，且最小正周期為B．函數為奇函數C．函數的圖象關于直線對稱D．函數的圖象關于中心對稱【答案】BC【解析】A.，故錯誤；B.因為，所以函數為奇函數，故正確；C.因為，所以函數的圖象關于直線對稱，故正確；D.因為，所以函數的圖象不關于中心對稱，故錯誤；故選：BC變式62．（多選題）已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法中正確的是（

）A．函數的圖象關于點對稱B．函數的圖象關于直線對稱C．函數在上單調遞增D．函數在的取值范圍為【答案】AC【解析】觀察圖象得，函數的周期，則，由，得，而，則，因此，對于A，由于，則函數的圖象關于點對稱，A正確；對于B，由于，則函數的圖象關于直線不對稱，B錯誤；對于C，當時，，則函數在上單調遞增，C正確；對于D，當時，，則，因此，D錯誤.故選：AC變式63．（多選題）已知函數，若，，且在區間上單調遞減，則下列說法正確的有（

）A．B．對任意，均有C．函數在區間上單調D．【答案】ABD【解析】因為在區間上單調遞減，且所以點是函數的一個對稱中心，并且最小正周期滿足，即，所以當，則直線是函數的一條對稱軸與對稱中心相鄰，則，即，所以，故A正確；則，由于是函數的一個對稱中心，所以，得，又，所以，故D正確；則，所以，又的最大值為，則對任意，均有，故B正確；當時，，則函數在區間上不單調，故C錯誤.故選：ABD.變式64．設函數（A，ω，φ是常數，，）．若在區間上具有單調性，且，試畫圖找出的最小正周期．【解析】設的最小正周期為，因為在區間上具有單調性，所以，解得，由，且，可得函數關于直線對稱；由，且在區間上具有單調性，可得函數的一個對稱中心為，即其圖象關于成中心對稱；如圖所示：則，解得，所以的最小正周期為.變式65．已知函數的圖象經過點，且圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.(1)求的單調遞增區間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【解析】（1）由題意可得的最小正周期，則，因為的圖象經過點，所以，所以，解得，因為，所以，令，解得，即的單調遞增區間為；（2）因為，所以，所以，則，因為對任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.變式66．已知函數，(1)若，則的最小值為，求的解析式．(2)在（1）的條件下，若在上的值域是，求實數的取值范圍；【解析】（1）由題意可得：，所以：，故的解析式為；（2）由（1）可得，令，則，如圖所示，的值域是，，，即：，由圖可知，解得，所以實數的取值范圍為．變式67．已知函數(1)請用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數字，再畫圖）；00(2)求在區間上的最大值和最小值及相應的值.【解析】（1）分別令，可得：x00100畫出函數在一個周期的圖像如圖所示：（2）因為，所以，所以當，即時，取最小值0；當，即時，取最大值1.變式68．已知函數的圖像上相鄰兩個最高點的距離為．(1)求函數的解析式和對稱中心；(2)求的定義域；(3)函數在區間上恰有2個零點，（），求的值．【解析】（1）因為圖像上相鄰兩個最高點的距離為，所以周期，所以，則，由，，得，，所以的中心為．（2）因為，由，得，所以，，解得，，所以的定義域為．（3）在區間上恰有2個零點，（），∴在有兩個根．對于函數，由，，得，，當時，函數圖像的對稱軸為所以，則，所以，又，故．變式69．已知函數，(1)求函數在上的單調遞增區間；(2)求不等式的解集；(3)若方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．【解析】（1）由，則，令或，解得或，所以函數在上的單調遞增區間為和.（2）由，即，所以，所以，，解得，，所以不等式的解集為.（3）由，則，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，，，因為方程在上有兩個不同的實數解，所以與在上有兩個不同的交點，所以，即實數的取值范圍為.變式70．已知函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.條件①：的最小值為；條件②：圖象的一個對稱中心為；條件③；的圖象經過點.(1)確定的解析式；(2)若圖象的對稱軸只有一條落在區間上，求a的取值范圍.【解析】（1）選①②，由函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數的周期，則，由①得，由②得，而，則，所以.選①③，由函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數的周期，則，由①得，由③得，即，而，即，因此，解得，所以.選②③，由函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得函數的周期，則，由②得，而，則，此時，由③得，即，解得，所以.（2）由（1）知，函數，由，得，于是函數圖象的對稱軸為，因為圖象的對稱軸只有一條落在區間上，則有，且，即，所以a的取值范圍是.變式71．已知函數．(1)若，求的最小值；(2)若在區間上的值域為，求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以的圖象關于點對稱，則，解得．又，故當時，取得最小值1．（2）當時，，因為函數在區間上的值域為，所以，解得：．所以的取值范圍為．變式72．已知函數，．(1)對任意的，若恒成立，求的取值范圍；(2)對任意的，存在，使得，求的取值范圍．【解析】（1），因為，所以，令，因為，所以，所以對恒成立，令，則對恒成立，因為，所以或或，即或或，所以，即的取值范圍為.（2）因為，所以，所以．因為，所以，由題意可知，的范圍是的范圍的子集，當時，，由，得；當時，，不符合題意，舍去；當時，，不符合題意，舍去．綜上所述，的取值范圍為．【過關測試】一、單選題1．，的圖象與直線的交點的個數為（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函數在上單調遞減，函數值從1遞減到，在上單調遞增，函數值從遞增到1，函數在上的圖象，如圖，觀察圖象知，，的圖象與直線的交點的個數為2.故選：C2．已知函數在時有最大值，且在區間上單調遞增，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在時取得最大值，即，可得，所以，因為要求的最大值，所以這里可只考慮的情況，又因為在上單調遞增，所以，解得，當時，，所以的最大值為，故選：C.3．函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知，即，解得，故函數的定義域為.故選：B4．已知函數，則在上的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，，所以當，即時，函數單調遞增．故選：B.5．已知函數，若，在區間上沒有零點，則的取值共有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【解析】由題意，在中，，∴,所以，兩式相減得，所以，即，，因為，所以，令，，由題意知在上無零點，故，，所以，即，兩式相加得，所以，又，所以，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，，所以的取值有5個.故選：B.6．已知函數，則其部分大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】函數，定義域為R，，函數為奇函數，AC選項排除；當時，，D選項排除；故選：B7．已知函數，則是為奇函數的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時，可得，定義域為R，此時，故為奇函數，故充分性成立，而當為奇函數時，得，故不一定為，故必要性不成立，是為奇函數的充分不必要條件.故選：B8．已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，則，因為在上是減函數，故；因為冪函數在上是增函數，故，故．故選：A.二、多選題9．設函數，則下列結論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的圖像關于直線對稱C．的一個零點為 D．在單調遞減【答案】ABC【解析】因為函數，所以它的一個周期為，故A正確；令，求得為最小值，故的圖像關于直線對稱，故B正確；對于，令，可得，故的一個零點為，故C正確；當，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在上沒有單調性，故D錯誤．故選：ABC10．已知函數圖象的一條對稱軸方程為，與其相鄰的一個對稱中心為，則（）A．的最小正周期為 B．的最小正周期為C． D．【答案】AC【解析】由題意知，函數圖象的一條對稱軸方程為，與其相鄰的一個對稱中心為，可得，所以，所以A正確、B錯誤；又由