專題3.15直線和圓的位置關系（知識講解）【學習目標】理解直線與圓的三種位置關系,會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系；

【要點梳理】1．直線和圓的三種位置關系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關系的判定和性質．

直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

特別說明：

這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的判定．【典型例題】類型一、判定直線和圓的位置關系1．在平面直角坐標系中，圓心O的坐標為（-3，4），以半徑r在坐標平面內作圓，（1）當r時，圓O與坐標軸有1個交點；（2）當r時，圓O與坐標軸有2個交點；（3）當r時，圓O與坐標軸有3個交點；（4）當r時，圓O與坐標軸有4個交點；【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且【分析】分別根據直線與圓相切、相交的關系進行逐一解答即可．解：（1）圓心的坐標為，當時，圓與坐標軸有1個交點；（2）圓心的坐標為，當時，圓與坐標軸有2個交點；（3）圓心的坐標為，當或5時，圓與坐標軸有3個交點；（4）圓心的坐標為，當且時，圓與坐標軸有4個交點．故答案為：（1）；（2）；（3）或5；（6）且．【點撥】本題考查的是直線與圓的位置關系，解答此題時要考慮到圓過原點的情況，這是此題易遺漏的地方．舉一反三：【變式1】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線．（1）請尺規作圖：作⊙O，使圓心O在AB上，且AD為⊙O的一條弦．（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）判斷直線BC與所作⊙O的位置關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）直線BC與所作⊙O相切，理由見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線交AB于點O，以OA為半徑畫圓即可；（2）連接OD，通過等邊對等角和角平分線的定義可得出∠CAD＝∠ODA，從而有OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC為⊙O的切線解：（1）如圖，⊙O為所作；（2）直線BC與所作⊙O相切．理由如下：連接OD，如圖，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC為⊙O的切線．【點撥】本題主要考查垂直平分線和圓的作法以及直線與圓的位置關系，掌握切線的判定方法是解題的關鍵.【變式2】如圖，，點在上，且，以為圓心，為半徑作圓．（1）討論射線與公共點個數，并寫出對應的取值范圍；（2）若是上一點，，當時，求線段與的公共點個數．【答案】（1）見解析（2）0個【分析】(1)作于點,由，可得點到射線的距離,根據直線與圓的位置關系的定義即可判斷射線OA與圓M的公共點個數；(2)連接．可得,由可得,得到,故當時，可判斷線段與的公共點個數．解：（1）如圖，作于點．，∴點到射線的距離．∴當時，與射線只有一個公共點；當時，與射線沒有公共點；當時，與射線有兩個公共點；當時，與射線只有一個公共點．（2）如圖，連接．．,.∴當時，線段與的公共點個數為0．

【點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關系，根據圓心到直線的距離判斷位置關系是解題的關鍵.【變式3】如圖，∠O=30°，C為OB上一點，且OC=6，以點C為圓心，試判斷半徑為3的圓與OA的位置關系.【答案】相切【解析】利用直線l和⊙O相切?d=r，進而判斷得出即可試題解析：相切，理由如下：過點C作CD⊥AO于點D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以點C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關系是：相切．類型二、由直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍2．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA＝5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．(1)試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；(2)若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5【分析】（1）連接，根據切線的性質和垂直得出，推出，求出，根據等腰三角形的判定推出即可；（2）根據已知得出在的垂直平分線上，作出線段的垂直平分線，作，求出，求出范圍，再根據相離得出，即可得出答案.解：(1)AB＝AC，理由如下：如圖1，連結OB.∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC；(2)如圖2，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出；又∵圓O與直線MN有交點，∴，，，r2≥5，∴，又∵圓O與直線l相離，∴r<5，即.圖1圖2【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定、直線與圓的位置關系等知識點的應用，主要培養學生運用性質進行推理和計算的能力.本題綜合性比較強，有一定的難度.【變式1】如圖，已知⊙O的半徑為5cm，點O到直線l的距離OP為7cm．（1）怎樣平移直線l，才能使l與⊙O相切？（2）要使直線l與⊙O相交，設把直線l向上平移xcm，求x的取值范圍【答案】（1）將直線l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．【分析】（1）由切線的判定與性質和平移的性質即可得出結果；（2）由（1）的結果即可得出答案．解：（1）∵⊙O的半徑為5cm，點O到直線l的距離OP為7cm，∴將直線l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l與⊙O相切；（2）由（1）知，要使直線l與⊙O相交，直線l向上平移的距離大于2cm且小于12cm，∴2cm＜x＜12cm，x的取值范圍為：2cm＜x＜12cm．【點撥】本題考查了切線的判定與性質、平移的性質、直線與圓的位置關系等知識；熟練掌握切線的判定與性質是解題的關鍵．【變式2】．在中，D是邊BC上一點，以點A為圓心，AD長為半徑作弧，如果與邊BC有交點E（不與點D重合），那么稱為的A-外截弧.例如，圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標系xOy中，已知存在A-外截弧，其中點A的坐標為，點B與坐標原點O重合.（1）在點，，，中，滿足條件的點C是_______.（2）若點C在直線上.①求點C的縱坐標的取值范圍.②直接寫出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.【答案】（1）C2、C3；（2）-2<y<或y>2；（3）<r<5或<r<5.【分析】（1）如圖，根據BC1⊥AB可得△ABC1沒有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，由AC2<AB可得當AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截弧；作AG⊥BC3于G，根據點C3坐標，可求出AC3的長，可得AC3<AB，即可得出AG<AD1<AC3時，△ABC3有A-外截弧；根據A、B、C4坐標可求出BC4、AC4的長，根據勾股定理逆定理可得△ABC4是直角三角形，且AC4⊥BC4，可得△ABC4沒有A-外截弧，綜上即可得答案；（2）①根據△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°，可得x>0，設點C坐標為（m，m-2），利用直角三角形斜邊中線的性質可求出∠ACB=90°時點C的坐標，根據∠ACB<90°時，△ABC有A-外截弧可得m的取值范圍，代入y=x-2，即可得點C縱坐標的取值范圍；②求出∠ACB=90°時AC的長，進而可得答案.解：（1）如圖，∵BC1⊥AB，∴△ABC1沒有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，∵A（5，0），B（0，0），C2（5，-3），∴∠BAC2=90°，AC2=3，AB=5，∴AC2<AB，∴AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截弧，滿足條件，作AG⊥BC3于G，∵C3（6，4），∴AC3=<AB，∴AG<AD1<時，△ABC3有A-外截弧，滿足條件，∵C4（4，2），∴BC4=，AC4=，AB=5，∵()2+()2=52，∴△ABC4是直角三角形，∠AC4B=90°，∴△ABC4沒有A-外截弧，綜上所述：滿足條件的點C是C2、C3.故答案為：C2、C3（2）①∵點C在直線y=x-2上，∴設點C的坐標為（m，m-2），∵△ABC有A-外截弧，∴∠ABC<90°，∴m>0，當∠ACB=90°時，∵A（5，0），B（0，0），∴斜邊AB的中點H的坐標為（2.5，0），∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，解得：m1=，m2=4，∴∠ACB=90°時，點C坐標為（，）或（4，2），∵直線解析式為y=x-2，∴x=0時，y=-2，∴與y軸交點為（0，-2），∵△ABC有A-外截弧時，∠ACB<90°，∴點C的縱坐標的取值范圍為-2<y<或y>2.②由①得x=或x=4時，∠ACB=90°，∴C1（，），C2（4，2），∴AC1=，AC2=，∴的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍為：<r<5或<r<5.【點撥】本題考查直線和圓的位置關系、直角三角形斜邊中線的性質、一次函數圖象上點的坐標特征及勾股定理的應用，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質是解題關鍵.【變式3】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AB＝14，（1）求：△ABC的面積；（2）若以C為圓心的圓C與直線AB相切，以A為圓心的圓A與圓C相切，試求圓A的半徑．【答案】(1)42;(2)4或16【分析】（1）過C作CD⊥AB于D解直角三角形得到CD，根據三角形的面積公式即可得到結論；（2）根據圓C與直線AB相切，得到○C的半徑，根據勾股定理得到AC，設○A的半徑為r，當圓A與圓C內切時，當圓A與圓C外切時即可得到結論解：（1）過C作CD⊥AB于D，∵，∴，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD，∵AB＝14，∴，∴CD＝6，∴△ABC的面積；（2）∵以C為圓心的圓C與直線AB相切，∴⊙C的半徑＝6，∵AD＝8，∴，設⊙A的半徑為r，當圓A與圓C內切時，r﹣6＝10，∴r＝16，當圓A與圓C外切時，r+6＝10，∴r＝4，綜上所述：以A為圓心的圓A與圓C相切，圓A的半徑為：4或16．【點撥】本題的關鍵是做輔助線，考慮圓A與圓C內切或外切兩種情況類型三、由直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離3．如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．（1）請完成如下操作：①以點O為原點、豎直和水平方向為軸、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②根據圖形提供的信息，在圖中標出該圓弧所在圓的圓心D．（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：①寫出點的坐標：D（）；②⊙D的半徑=（結果保留根號）；③利用網格試在圖中找出格點E，使得直線EC與⊙D相切（寫出所有可能的結果）．【答案】（1）見解析；（2）①（2，0）；②2；③（7，0）．【分析】（1）根據題意建立平面直角坐標系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點即為圓心D，連接AD，CD；

（2）①根據第一問畫出的圖形即可得出D的坐標；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓D的半徑；

③根據半徑相等得出CD=AD=2，設EF=x，在Rt△CDE和Rt△CEF中，根據勾股定理列出兩個式子即可求出x的值，從而求出E點坐標解：(1)根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：(2)①根據圖形得：D(2,0)；②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根據勾股定理得：AD==2則D的半徑為2③∵EC與⊙D相切∴CE⊥DC∴△CDE為直角三角形即∠DCE=90°∵AD和CD都是圓D的半徑，∴由②知，CD=AD=2設EF=x在Rt△CDE中，（2）2+CE2=(4+x)2在Rt△CEF中，22+x2=CE2∴（2）2+（22+x2）=(4+x)2解得，x=1，即EF=1∴OE=2+4+1=7∴E點坐標為（7,0）【點撥】此題考查了直線與圓的位置關系,涉及的知識有:坐標與圖形性質,垂徑定理,勾股定理及逆定理,切線的判定,利用了數形結合的思想,根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵.【變式1】如圖，第一象限內半徑為2的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y＝kx+3．（1）設點P的縱坐標為p，寫出p隨k變化的函數關系式．（2）設⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP．請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；（3）是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)p＝4k+3；(2)見解析;(3)存在，k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于,理由見解析【分析】（1）由切線的性質知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四邊形OADB是矩形；根據⊙O的半徑是2求得直徑AD＝4，從而求得點P的坐標，將其代入直線方程y＝kx＋3即可知p變化的函數關系式；（2）連接DN．∵直徑所對的圓周角是直角，∴∠AND＝90°，根據圖示易證∠AND＝∠ABD；然后根據同弧所對的圓周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代換可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA證明△AMN∽△ABP；（3）存在．把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．分兩種情況進行討論：①當點P在B點上方時，由相似三角形的面積比得到k2?4k?2＝0，解關于k的一元二次方程；②當點P在B點下方時，由相似三角形的面積比得到k2＋1＝?（4k＋3），解關于k的一元二次方程．解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四邊形OADB是矩形；∵⊙C的半徑為2，∴AD＝OB＝4；∵點P在直線l上，∴點P的坐標為（4，p）；又∵點P也在直線AP上，∴p＝4k+3；（2）連接DN．∵AD是⊙C的直徑，∴∠AND＝90°，∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，∵S△ABD＝AB?DN＝AD?DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，∵△AMN∽△ABP，∴，即當點P在B點上方時，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB?AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），∴，整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+，k2＝2﹣當點P在B點下方時，∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB?AD＝[﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）∴化簡得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，綜合以上所得，當k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于【點撥】本題主要考查了梯形的性質，矩形的判定，相似三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P為BC的中點，動點Q從點P出發，沿射線PC方向以cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t秒．（1）當t=2.5s時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由．（2）已知⊙O為Rt△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值．【答案】（1）相切，證明見解析；（2）t為s或s【分析】（1）直線AB與⊙P關系，要考慮圓心到直線AB的距離與⊙P的半徑的大小關系，作PH⊥AB于H點，PH為圓心P到AB的距離，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，當t=2.5s時，求出PQ的長，比較PH、PQ大小即可，（2）OP為兩圓的連心線，圓P與圓O內切rO-rP=OP,圓O與圓P內切，rP-rO=OP即可．解：（1）直線AB與⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H點，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，∴AB=2AC=20，BC=，∵P為BC的中點∴BP=∴PH=BP=，當t=2.5s時，PQ=，∴PH=PQ=∴直線AB與⊙P相切，（2）連結OP，∵O為AB的中點，P為BC的中點，∴OP=AC=5，∵⊙O為Rt△ABC的外接圓，∴AB為⊙O的直徑，∴⊙O的半徑OB=10，∵⊙P與⊙O相切，∴PQ-OB=OP或OB-PQ=OP即t-10=5或10-t=5，∴t=或t=，故當t為s或s時，⊙P與⊙O相切．【點撥】本題考查直線與圓的位置關系，圓與圓相切時求運動時間t問題，關鍵點到直線的距離與半徑是否相等，會求點到直線的距離，會用t表示半徑與點到直線的距離，抓住兩圓相切分清情況，由圓心在圓O內，沒有外切，只有內切，要會分類討論，掌握圓P與圓O內切rO-rP=OP,圓O與圓P內切，rP-rO=OP．【變式3】如圖，P是⊙O直徑BA延長線上一點，過P作PC切⊙O于C，連接AC、BC，若PA＝AO＝2，（1）求PC的長，求AC的長；（2）求tan∠PCA的值及△PAC的面積．【答案】（1）PC＝2；AC＝2，（2）tan∠PCA＝；△PAC的面積為：．【分析】（1）連接OC，根據PA＝AO＝2，可知PO＝2OC，所以∠P＝30°，所以∠POC＝60°，從而可知△AOC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可知AC＝2，最后根據含30度角的直角三角形求出OP，即可得出結論；（2）由（1）易知∠PCA＝30°，從而可求出tan∠PCA，易知CA是△PCO的中線，所以△PAC的面積等于△PCO的面積的一半．解：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵PA＝AO＝CO＝2，∴PO＝2+2＝4，∴PO＝2OC，∴∠P＝30°，∴∠POC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝2，在Rt△OCP中，OP＝2OC＝4，根據勾股定理得，PC＝2（2）由（1）可知：∠ACO＝60°，∠PCO＝90°，∴∠PCA＝30°，∴tan∠PCA＝；∵A是PO的中點，∴CA是△PCO的中線，∵△PCO的面積為：×2×2＝2，∴△PAC的面積為：×2＝．【點撥】本題考查圓的綜合問題，涉及三角形面積公式，含30度角的直角三角形的性質，銳角三角函數，勾股定理等知識，需要學生靈活運用所學知識．類型四、圓平移到與直線相切時圓心移動的距離4．作一個圓，使它經過已知點和，并且圓心在已知直線上．（1）當直線和相交時，可作幾個？（2）當直線和垂直但不經過的中點時，可作出幾個？（3）你還能提出不同于（1），（2）的問題嗎？【答案】（1）可作個圓；可作個；可作無數個圓；（2）可作個；（3）可作個圓．【分析】（1）圓心在線段的中垂線上，分類討論：若不垂直可作個圓；若垂直但不經過的中點，可作個；垂直且經過的中點時，可作無數個圓．（2）在（1）中第二種情況已解答；（3）可以設與平行，則線段的中垂線與必有一個交點，則可作個圓．解：（1）當直線和相交，若不垂直可作個圓；若垂直但不經過的中點，可作個；垂直且經過的中點時，可作無數個圓．（2）當直線和垂直但不經過的中點時，可作個；（3）當直線和平行時，可作個圓．【點撥】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式1】如圖1，在四邊形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD邊落在平面直角坐標系的x軸上，且點A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．點P從點E（﹣5，0）出發，沿x軸向點A以每秒1個單位長度的速度運動，到達點A時停止運動．運動時間為t秒．（1）∠BCD的度數為______°.（2）當t＝_____時，△PCD為等腰三角形.（3）如圖2，以點P為圓心，PC為半徑作⊙P．①求當t為何值時，⊙P與四邊形ABCD的一邊（或邊所在的直線）相切.②當t______時，⊙P與四邊形ABCD的交點有兩個；當t_____時，⊙P與四邊形ABCD的交點有三個．【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①當t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【分析】（1）根據A、C坐標可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根據平行線的性質即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三種情況，分別求出t值即可；（3）分⊙P與CD、BC、AB邊相切三種情況，分別求出t值即可；②根據①中三個圖形及點P運動到OA中點時有兩個交點即可得答案.解：（1）∵A（5，0）、C（0，3），∴OC＝3，OA＝5，又∵AD＝2，∴OD＝OA﹣AD＝3，∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，又∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠ODC＝45°，故答案為：45；（2）若△PCD為等腰三角形，①當PC＝PD時，點P在CD的垂直平分線上，點P與點O重合，∴P（0，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝5，∴t＝5.②當CP＝CD時，∵CO⊥PD，∴CO垂直平分PD，∴PO＝OD＝3，∴P（﹣3，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝2，∴t＝2.③當DC＝DP時，在Rt△COD中，DC＝＝3，∴DP＝3，∴OP＝3﹣3，∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，∴t＝8﹣3.故答案為：5或2或8﹣3（3）①如圖2﹣1，當點P運動至與四邊形ABCD的CD邊相切時，PC⊥CD，∵∠CDO＝45°，∴△CPD為等腰直角三角形，∵CO⊥PD，∴PO＝DO＝3，∴EP＝2，即t＝2；如圖2﹣2，當點P運動到與點O重合時，∵PC為⊙P半徑，且PC⊥BC，∴此時⊙P與四邊形ABCD的BC邊相切，∴t＝5.如圖2﹣3，當點P運動至與四邊形ABCD的AB邊相切時，PA為⊙P半徑，設PC＝PA＝r，在Rt△PCD中，OP＝OA﹣PA＝5﹣r，∵PC2＝OC2+OP2，∴r2＝32+（5﹣r）2，解得，r＝，∴t＝EP＝10﹣＝.∴當t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切.②如圖2﹣1，當⊙P與四邊形ABCD的CD邊相切時，只有一個交點，此時t＝2，繼續向右運動會有兩個交點.如圖2﹣2，當⊙P與四邊形ABCD的CB邊相切時，有C，D兩個交點，此時t＝5，繼續向右運動會有三個交點.如圖2﹣3，當⊙P與四邊形ABCD的AB邊相切時，⊙P與四邊形ABCD有三個交點，此時t＝，繼續向右運動有三個交點.如圖2﹣4，當點P運動至OA的中點時，⊙P與四邊形ABCD有C，B兩個交點，此時t＝，綜上所述，答案為：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【點撥】本題考查等腰三角形的判定與性質、切線的性質及直線與圓的位置關系，熟練掌握直線與圓的位置關系是解題關鍵.【變式2】如圖，⊙P與y軸相切，圓心為P（－2，1），直線MN過點M（2，3），N（4，1）.（1）請你在圖中作出⊙P關于y軸對稱的⊙P′；（不要求寫作法）（2）求⊙P在x軸上截得的線段長度；（3）直接寫出圓心P′到直線MN的距離．【答案】（1）如下圖；（2）；（3）解答：（1）如圖所示：（2）⊙P在x軸上截得的線段長度為22（3）由圖可知，P′M=2，P′N=2，△P′MN為直角三角形∴MN==2，∴點P′到直線MN的距離=．考點：基本作圖，勾股定理點評：作圖題是初中數學學習中的重要題型，在中考中比較常見，一般難度不大，需熟練掌握.【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，已知C（6，8），以點C為圓心的圓與y軸相切．點A、B在x軸上，且OA＝OB．點P為⊙C上的動點，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為_____．【答案】32【分析】連接OP，根據題意得：當OP經過點C時，OP最長；結合C（6，8），以點C為圓心的圓與y軸相切，根據勾股定理和圓的半徑性質，計算得OP；在通過直角三角形斜邊中線的性質，即可得到AB的最大值．解：連接OP當OP經過點C時，OP最長∵C（6，8），以點C為圓心的圓與y軸相切∴，∴∵OA＝OB，∠APB＝90°∴OP是斜邊上的中線∴，即OP取最大值時，AB最大∴故答案為：32．【點撥】本題考查了直角三角形斜邊中線