第八講解三角形應用舉例課標要求考情分析能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題1.本節復習時應聯系生活實例，體會建模，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法.2.加強解三角形及解三角形的實際應用，培養數學建模能力，這也是近幾年高考的熱點之一術語名稱術語意義圖形表示仰角與 俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角測量中的有關術語術語名稱術語意義圖形表示方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

(續表)術語名稱術語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：(續表)【名師點睛】易混淆方位角與方向角的概念

(1)方位角是指北方向線按順時針旋轉到目標方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角.(2)“方位角”與“方向角”的范圍：方位角大小的范圍是[0°，360°)，方向角大小的范圍是[0°，90°).考點一距離問題

[例1](2021年寧德市質檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖3-8-1所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，圖3-8-1則圖中海洋藍洞的口徑為________.

解析：由已知得，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，【題后反思】求距離問題的兩個注意事項

(1)選定或確定要創建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

【變式訓練】

(2022年福州市模擬)為測量兩塔塔尖之間的距離，某數學建模活動小組構建了如圖3-8-2所示的幾何模型.若MA⊥平面ABC，圖3-8-2又△MNC中，∠MCN＝150°，答案：B

考點二測量高度問題

[例2](2023年西安市期中)如圖3-8-3，甲、乙兩名學生決定利用解三角形的相關知識估算一下友誼大廈的高度.甲同學在點A處測得友誼大廈頂端C的仰角是63.435°，隨后，他沿著某一方向直行140m后到達點B，測得友誼大廈頂端C的仰角為45°，乙同學站在友誼大廈底端的點D，測量發現甲同學在移動的過程中，∠ADB恰好為60°，若甲、乙兩名同學始終在同一水平面上，則友誼大廈的高度大約是(參考數據：tan63.435°≈2)(

)圖3-8-3A.270mC.290m

B.280mD.300m解析：如圖3-8-4所示，設友誼大廈的高度為h，

圖3-8-4答案：B【反思感悟】

(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它們是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它們是在水平面上所成的角)是關鍵. (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.

【變式訓練】

(2023年鎮江市期中)云臺閣，位于云臺山北峰，屬于鎮江西津渡景區，其建筑形式具有宋、元古建筑特征.如圖3-8-5，小明同學為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在它們的地面上的點M(B，M，D三點共線)測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得云臺閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為(

)圖3-8-5A.42mB.45mC.51mD.57m答案：D考點三測量角度問題

[例3]在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.解：如圖3-8-6，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，圖3-8-6則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x

cos120°，解得x＝2.故AC＝28nmile，BC＝20nmile.【反思感悟】

(1)測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解. (2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.

【變式訓練】

如圖3-8-7，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()圖3-8-7A.30°B.45°C.60°D.75°答案：B⊙解三角形中的綜合問題【反思感悟