高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期9月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)全集，集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，所以,故選:B2.已知命題：，，則（）A.p：， B.p：，C.p：， D.p：，〖答案〗D〖解析〗根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以：，的否定是：，，故選：D.3.設(shè)、，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，則“”“”；但當(dāng)時(shí)，取，，則，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.2023年7月12日9時(shí)0分，由中國(guó)“藍(lán)箭航天”自主研制的朱雀二號(hào)遙二運(yùn)載火箭的發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，該火箭由此成為全球首款成功入軌的液氧甲烷火箭，標(biāo)志著我國(guó)運(yùn)載火箭在新型低成本液體推進(jìn)劑應(yīng)用方面取得重大突破.在火箭研發(fā)的有關(guān)理論中，齊奧爾科夫斯基單級(jí)火箭的最大理想速度公式至關(guān)重要.其公式為，其中v為單級(jí)火箭的最大理想速度（單位:），q為發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度（單位:），，分別為火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量（單位:kg），稱為火箭的初末質(zhì)量比．要使火箭達(dá)到某個(gè)速度，應(yīng)當(dāng)提升火箭的初末質(zhì)量比以及噴射速度，但由于火箭可能的結(jié)構(gòu)（各類動(dòng)力、連接裝置等）所制約，初末質(zhì)量比不可能大于10．現(xiàn)有某型號(hào)單級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)能獲得的最大噴射速度約為，那么它能獲得的最大理想速度約為（）（參考數(shù)據(jù):，）A.4.44 B.7.2 C.9.2 D.8.8〖答案〗C〖解析〗由題意得，初末質(zhì)量比最大為10，則該型號(hào)單級(jí)火箭能獲得的最大理想速度．故選：C．5.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，，，則（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋遥睿傻茫忠驗(yàn)椋允鞘醉?xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以，所以B正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，可得，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．6設(shè)，若，則（）A. B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，知，且，，，所以，．故選：C．7.已知，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得的定義域?yàn)镽，，又，則為增函數(shù)，而為R上的增函數(shù)，所以為增函數(shù)，又，所以，即，即，所以，所以,即不等式的解集為，故選：D.8.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，，下面先證明，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，令，則，所以，所以①，所以，即．再設(shè)，，又由①知，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，所以．綜上，．故選：B．二、選擇題9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，，所以，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋裕裕裕珺項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，令，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由均值定理即可得到，D項(xiàng)正確．故選：ABD．10.定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，，則（）A.B.當(dāng)x，時(shí)，C.若，則為偶函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，令，則滿足題中所給條件，但此時(shí)有，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)x，時(shí)，取，則，所以，所以，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由題意得定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，且，則，所以為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，令，則滿足題中所給條件，但當(dāng)時(shí)，，故不成立，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC11.設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，．已知函數(shù)，則（）A.B.在區(qū)間，上單調(diào)遞減C.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)D當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗由題意得，則，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，令，得，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)且無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于2，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，則在區(qū)間，上單調(diào)遞減，B正確；結(jié)合以上分析可作出函數(shù)的大致圖像，如圖：圖像可知當(dāng)時(shí)，的圖象與的交點(diǎn)可能有2個(gè)或3個(gè)，故有2個(gè)或3個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的圖象與的交點(diǎn)有4個(gè)即有4個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：BD12.設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)椋桑援?dāng)時(shí)，由二次函數(shù)單調(diào)性知，所以，，所以，A項(xiàng)正確；，因?yàn)椋裕裕裕@然，所以．又，所以，所以，B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；，，，所以，C項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題13.若數(shù)列a，27，，b，為等比數(shù)列，則____________．〖答案〗〖解析〗由題意得，，從而等比數(shù)列公比為，所以，所以，故〖答案〗為：14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則且，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，從而，所以．故〖答案〗為：.15.已知，，則的最小值為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗，因?yàn)椋援?dāng)，，上述等號(hào)在時(shí)成立．故〖答案〗為：16.已知滿足，，則____________．〖答案〗〖解析〗由，可得，即，且，可得，設(shè)，則，原式化為，即，又由，可得，令函數(shù)，顯然為增函數(shù)，所以，則，所以．故〖答案〗為：.四、解答題17.函數(shù)，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：由，可得，解得，即，又由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，所以當(dāng)時(shí)，滿足，解得；當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，滿足，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）判斷與的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得．又，所以公差，所以．（2）解：．證明如下：由（1）可求得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，對(duì)任意的，.19.已知函數(shù)，．（1）若，，求a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，，若斜率為1的直線與曲線，都相切，求b的值．解：（1）由題意，，得，即在時(shí)有解．設(shè)，則，易知．令，則，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，所以．（2）由題意得，所以，令，解得，，所以直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以切線方程分別為和．令，得，令，解得或．令，得，令，無(wú)解．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，綜上，或．20.定義在R上的函數(shù)滿足：①對(duì)，，當(dāng)時(shí)，總有；②對(duì)，．（1）求；（2）若對(duì)任意，，，均存在以，，為三邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由條件①知，當(dāng)時(shí)，有，即在R上單調(diào)遞增．再結(jié)合條件②，可知存在唯一的，使得，從而有．又上式對(duì)成立，所以，所以，即．設(shè)，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增．又，所以．所以；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意“對(duì)任意的，，，均存在以，，為三邊長(zhǎng)的三角形”等價(jià)于“對(duì)任意，，恒成立”．又，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，則（），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍遥裕獾茫矗划?dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍遥裕矗C上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．21.已知函數(shù)定義在區(qū)間內(nèi)，，且當(dāng)，時(shí)，恒有．（1）證明：為奇函數(shù)；（2）若數(shù)列，滿足，，，，且對(duì)，，求的取值范圍．（1）證明：由題意知的定義域?yàn)椋睿瑒t，故．再令，則，所以．故為奇函數(shù)．（2）解：由題意得，又，所以，即，所以，故是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以，兩式相減得，所以．所以恒成立，即恒成立．設(shè)，則，所以數(shù)列遞增．當(dāng)n為奇函數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最小值，故．綜上，的取值范圍是．22.已知，，函數(shù)和的圖像共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且有極大值1．（1）求a的值以及b的取值范圍；（2）若曲線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為，，，且．證明：．（1）解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以為極大值點(diǎn)，所以，解得．因?yàn)椋瑘D像共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程有三個(gè)不等正實(shí)根．設(shè)，則，且當(dāng)時(shí)，t與x一一對(duì)應(yīng)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有三個(gè)不等實(shí)根．又0不滿足方程，所以方程有三個(gè)實(shí)根．設(shè)，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，，，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)，時(shí)，，而；當(dāng)時(shí)，，無(wú)論還是，當(dāng)時(shí)，都有，當(dāng)時(shí)，．根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)的大致圖像如下圖所示，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故