第三章直線與平面的相對位置

兩平面的相對位置§3-1直線與平面平行?兩平面平行§3-2直線與平面的交點?兩平面相交§3-3直線與平面垂直?兩平面垂直3.1直線與平面平行及兩平面平行平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數解正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面

ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef[例題3]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k例4平面ABC與DEF相互平行，完成平面DEF的投影。OXa●d

bb

cf

a

e

dc

ef21

2

1★過a

作a

1∥e

f——作a1★過1

作1

2∥d

e——作12★過d作線∥12——求e★過e作線∥a1——求f★連接de、ef習題集P30，26f

e

eb

●OXg

gfd

a

c

a例5已知平面P（AB∥CD）平行三角形EFG，試完成平面P的投影。習題集P30，25●●◆過e

作c

d

平行線交f

g

于1

◆過a作1e平行線過b

作垂線求b◆加粗ab、cdbdc●●1

2

12◆求作1，連接1e

◆連接c

b

過e

作c

b

平行線交f

g

于2

◆求作2，連接2e

◆過b作2e平行線過c

作垂線求c◆過c作ab平行線過d

作垂線求d二、相交問題⒈直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。3.2直線與平面及兩平面相交

直線與平面相交的特殊情況b

ba

acc

m

mnn

由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk

判斷直線的可見性b

ba

acc

m

mn

kk

n特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。空間及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：

判別可見性。一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不位于ΔDEF這個圖形內。所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。示意圖CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。k

k2

示意圖直線EF與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點。判別可見性Ⅳf

e

e直線EF與

ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,

因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線

示意圖判別可見性

兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()1

2

[例題1]試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。分析過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖m

n

h

hnmPV1

12

21．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。直線與平面垂直、兩平面垂直一、直線與平面垂直二、兩平面垂直

直線與平面垂直的幾何條件：定理1若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knk

n

定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。h

[例題3]試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhh

h

（a）（c）（b）[例題4]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。e

f

ef[例題2]平面由

BDF給定，試過定點K作平面的法線。a

cac