專題12《平面直角坐標系》壓軸題真題分類(原卷版)

專題簡介：本份資料包含《平面直角坐標系》這一章常考的三大類io分級大壓軸題，所選題目源自各名

校月考、期中、期末試題中的典型考題，具體包含三類題型：坐標系中與動點有關的面積問題、坐標系中

與動點有關的角度問題、坐標系中的定義新運算問題，適合于想挑戰滿分的學生考前刷題使用，也適合于

培訓機構的老師培訓尖子生時使用。

第一類：坐標系中與動點有關的面積問題

1.(雅禮)如圖1,在平面直角坐標系中，已知點A(-a,2),B(a,b),且a"滿足關系式：Va-5

+6.

(1)求a,b的值;

(2)如圖1,AB與y軸交于點C,連接OA,OB,求三角形BOC的面積及C點坐標；

(3)將線段AB向右平移8個單位得到AiBi,如圖2,若點。(而，")是線段481上的動點，求相，〃

之間滿足的數量關系.

2.(青竹湖)如圖所示，在平面直角坐標系中,

如圖①，將線段A8平移至線段CD,點A在x軸的負半軸，點C在y軸的正半軸上，連接AC、BD.

(1)若A(-3,0)、8(-2,-2),C(0,2),求點。的坐標；

(2)已知A(-3,0)、8(-2,-2),點C(0,m)在)，軸的正半軸上，點。在第一象限內，且Syc。

=5,求點C、D的坐標；

(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知一定點M(2,0),兩個動點E(a,2a+l)、F(b,-26+3),

請你探索是否存在以兩個動點E、尸為端點的線段EP平行于線段OM且等于線段OM.若存在，求以點O、

M、E、F為頂點的四邊形的面積；若不存在，請說明理由.

3.(湘一、一中雙語聯考)在平面直角坐標系中，點B(〃?，〃)在第一象限，〃?、〃均為整數，且滿足

-m-\-43—m.

(1)求點B的坐標;

(2)將線段OB向下平移a個單位后得到線段O'B',

過點"作B'CJ_)，軸于點C,若3co=2CO',求。的

(3)過點8作與y軸平行的直線點。在x軸上，點E在8M上，點。從。點出發以每秒鐘3個單

位長度的速度沿x軸向右運動，同時點E從B點出發以每秒鐘2個單位長度的速度沿BM向下運動，在點

。、E運動的過程中，若直線OE、BD相交于點G,且5WSAOGB<10,則點G的橫坐標XG的取值范圍

是.

第2類：坐標系中與動點有關

的角度問題

4.（中雅）如圖所示，A（1,0）、點B

在y軸上，將三角形0A8沿x軸負方向

平移，平移后的圖形為三角形。EC,且點

C的坐標為（-3,2）.

（1）直接寫出點E的坐標；

（2）在四邊形4BCD中，點P從點B出

發，沿“BCfCZT移動.若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為f秒，回答下列問題:

①當f=秒時，點尸的橫坐標與縱坐標互為相反數；

②求點P在運動過程中的坐標，（用含f的式子表示，寫出過程）；

③當3<t<5時，設NCBP=x°,ZPAD=y°,ZBPA=z°,用含尤，y的式子表示z=.

cl

I5.（廣益）在直角坐標系中，點。為坐標原點，A（1,1）,B（1,3）,將線段

AB平移到直線AB的右邊得到線段C。（點C與點4對應，點。與點B對應），點。的坐標為（,?,“）,

且m>1.

（1）如圖1,當點C坐標為（2,0）時，請求出三角形BCO的面積；

（2）如圖2,點E是線段CZ）延長線上的點，N8OE的平分線。F交射線A8于點F.試問：底「的

ZAFD

值是否會改變，若不變，請求其值；若改變，請說明理由.

（3）如圖3,線段8運動的過程中，在（2）的條件下，〃=4.

①當〃?=4時，在直線AB上點尸，滿足三角形尸8c的面積等于三角形COF的面積，請求出點P的坐

標；

②若點Q在x軸上，滿足三角形QBC的面積等于三角形CDF的面積的2倍,請直接寫出點Q的坐標.（用

含〃?的式子表示）

圖36.（青竹湖）在平面直角坐標系中,

4&0）、80,4）、C（c,O）,其中a、b、c滿足關系

da+b+|iz-Z7+4|+（c-5）=0.

（1）如圖1,求AABC的面積；

（2）如圖2,在x負半軸上有一點。，滿足NBCD的角平分線與NBDC的角平分線相交于

點P,點E是CP延長線上一點，且N￡6E>=45°,求幺生的值；

NBDC

（3）如圖3,若將線段A3向上平移1個單位長度，點G為x軸上一點，點F（5,〃）為第一象限內一動點，

連8/、CF、CA,若AA8G的面積等于由AB、BF、CF、AC四條線段圍成的圖形的面積，求點G

的坐標（用含〃的式子表示）.

7.（一中）在

平面直角坐

標系中，4（。,

0）,C（0,c）

且滿足：

方形ABCO

在坐標系中（如圖）點。為坐標系的原點.

（1）求點B的坐標.

（2）如圖1,若點M從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點O）,點N從原點O出發,

以1個單位/秒的速度向下運動（不超過點C）,設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形

MBN。的面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍.

（3）如圖2,E為x軸負半軸上一點，且NCBE=NCEB,尸是x軸正半軸上一動點，NECF的平分線CQ

交8E的延長線于點。，在點尸運動的過程中，請探究NCFE與N。的數量關系并說明理由.（注：三角

形三個內角的和等于180°）8.（中雅培粹）在平面直角坐標系中，A（?,0）,C（0,c）且滿足:

（a+6/+J右=0,長方形ABCO在坐標系中（如圖），點。為坐標系的原點.

（1）求點3的坐標.

（2）如圖1,若點“從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點。），點N從原點。出發，以1

個單位/秒的速度向下運動（不超過點C）,設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形”&VO的

面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍.

（3）如圖2,￡為x軸負半軸上一點，且NCBE=NCEB,F是x軸正半軸上一動點，NEC尸的平分線CO

交BE的延長線于點￡>,在點尸運動的過程中,請探究NCFE與NO的數量關系，并說明理由。

9.（明德）在平面直角

坐標系中，已知點4。,0）,83,3）04,0）且滿足疝花+（"-。+6）2=0,線段A8交）軸于點產,

點D是y軸正半軸上的一點.

⑴求出點A8的坐標;

⑵如圖2,若。8IIAC,ZBAC=a,且AM、分別平分NC48,ZODB,求/AMD的度數（用

含。的代數式表示）

（3）如圖3,坐標軸上是否存在一點P,使得AABP的面積和AA3C的面積相等，若存在，求出P點坐標,

若不存在，請說明理由.

10.圖1圖，在平面直角坐標系「圖2軸，垂足為4,BC圖3足為C,已知4（a,0）,C

（0,c）,其中a,c滿足關系式（a-6）2+心+8|=0,點尸從。點出發沿折線。4-A8-8C的方向運動到

點C停止，運動的速度為每秒2個單位長度，設點P的運動時間為/秒.

VA

C

備用圖(1)在運動過程中，當點P到A8的距離為

2個單位長度時，1=

(2)在點尸的運動過程中，用含，的代數式表示P點的坐標;

(3)當點P在線段AB上的運動過程中，射線A0上一點E,射線0C上一點尸(不與C重合)，連接

PE,PF,使得NEPF=70°,求/AEP與NPFC的數量關系.

第3類：坐標系中的定義新運算問題

11.(廣益)在平面直角坐標系中，對于點A(x,y),若點B的坐標為(x+ay,ax+y),則稱點B是點A

的。級親密點.例如：點A(-2,6)的■級親密點為B(-2+]X6,yX(-2)+6)-即點8的坐標

為(1,5).

(1)①已知點C(-1,5)的3級親密點是點D,則點D的坐標為.

②己知點P的2級親密點是點Q(4,8),則點P的坐標為.

(2)已知點M(m-1,2m)的-3級親密點Mi位于y軸上，求點Mi的坐標.

(3)若點E在x軸上，點E不與原點重合，點E的a級親密點為點F,且EF的長度為0E長度的正倍，

求a的值.12.(雅禮)在平面直角坐標系中，規定：對于任意兩點Pi(xi,yi)和P2(應，”)的“雅實

距離”記為：雅P\P2=\x\-xo\+\y\-y2\.

(1)若Pl(1,5),P2(3,4).求點尸i,P2的“雅實距離”雅P1P2的值；

(2)已知4(-2,0),8為y軸上的動點；

①若點A與點5的“雅實距離”為5,求B點的坐標；②求點A與點8的“雅實距離”的最小值；

(3)已知點C(m,2M7+3),D(1,8),求點C與點。的“雅實距離”的最小值及取最小值時C點的坐

標.

13.(中雅)如圖，對于平面直角坐標系中的任意兩點A,8給出如下定義：過點A作直線軸，過點

8作直線"_Ly軸，直線機，〃交于點C,我們把8c叫做A,B兩點之間的水平寬，記作力(A,B),

即力(A,B)=\XA-xn\,把AC叫做A,B兩點之間的鉛垂高，記作“2(A,B),即42(A,B)=|小

-ye\.

特別地，當ABLx軸時，規定A,8兩點之間的水平寬為0,即力(A,B)=0,A,B兩點之間的鉛垂

高為線段AB的長，即必(4,B)=|a一那；

當軸時，規定A,B兩點之間的水平寬為線段AB的長，即di(A,B)=依-勸|,A,B兩點之

間的鉛垂高為0,即d2(A,B)=0；

(1)已知O為坐標原點，點P(2,-1),則力(O,P)=2,di(O,P)=1

(2)已知點Q⑶,-2什2).

①若點。(0,2),d\(Q,D)+d2(Q,D)=5,求f的值;

②若點D(-2n3/),直接寫出小(Q,D)+d2(Q,D)的最小值.

專題12《平面直角坐標系》壓軸題真題分類(原卷版)

專題簡介：本份資料包含《平面直角坐標系》這一章常考的三大類io分級大壓軸題，所選題目源自各名

校月考、期中、期末試題中的典型考題，具體包含三類題型：坐標系中與動點有關的面積問題、坐標系中

與動點有關的角度問題、坐標系中的定義新運算問題，適合于想挑戰滿分的學生考前刷題使用，也適合于

培訓機構的老師培訓尖子生時使用。

第一類：坐標系中與動點有關的面積問題

1.(雅禮)如圖1,在平面直角坐標系中，已知點A(-a,2),B(a,b),且a"滿足關系式：Va-5

+6.

(1)求a,b的值;

(2)如圖1,AB與y軸交于點C,連接OA,OB,求三角形BOC的面積及C點坐標；

(3)將線段AB向右平移8個單位得到AiBi,如圖2,若點。(而，")是線段481上的動點，求相，〃

之間滿足的數量關系.

解：(1),?力.?.[a-SAO,；.a=5,b=6.

l5-a>0

(2)設C(0,/n).由題意，A(-5,2),B(5,6),ASAAOB-10X6-Ax2X5-Ax5X6-Ax4X

222

10=60-5-15-20-20,[5-(-5)]=20,：.m-=4,：.C(0,4),X4X5-10.

22

(3)如圖2中，過點4作4E_Lx軸于E,過點81作8iF_Lx軸于凡過點4作4GL8小于G,連接

DG.由平移的性質可知，A\(3,2),Bi(13,6),VSAABSADGA+SADGB-

.\AxiOX4=^-XI0X(〃-2)+」X4X(13-m),：.n=^-m+^-.

22255

2.(青竹湖)如圖所示，在平面直角坐標系中，如圖①，將線段AB平移至線段C￡>,點A在x軸的負半

軸，點C在)，軸的正半軸上，連接AC、BD.

(1)若A(-3,0)、8(-2,-2),C(0,2),求點。的坐標；(2)已知A(-3,0)、B(-2,-2),

點C(0,m)在y軸的正半軸上，點。在第一象限內，且S.ACO=5,求點C、。的坐標；

(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知一定點例(2,0),兩個動點E(a,2a+l)、F(b,-26+3),

請你探索是否存在以兩個動點E、F為端點的線段EF平行于線段OM且等于線段OM.若存在，求以點。、

M、E、尸為頂點的四邊形的面積；若不存在，請說明理由.

圖①圖②【解答】解：(1)設。(x,y),：將線段AB

平移至線段CD,AC-3,0)、8(-2,-2),C(0,2),

：.x-0=-2-(-3),y-2=-2-0,：.x=l,y=0,：.D(1,0)；

(2)如圖1,VA(-3,0),點C(0,m)在y軸的正半軸上,：.OA=3,OC=m,

"：SMCO=5,即上OA?OC=5,...工X3W7=5,解得："i=改，...點C的坐標為(0,—),設。(x,y),

2233

?將線段A8平移至線段CD,，x-0=-2-(-3),y--=-2-0,；.x=l,y=2,...點。的坐標

3-3

為(L—

3

(3)-JEF//OM,EF=OM,O(0,0),M(2,0),.?.點E與尸的縱坐標相等，橫坐標的差的絕對值為

2,即2a+l=-2"3,\a-h\=2,解得：a=-―,%=2或a=S,h=-―,

2222

...點E的坐標為(-工，0),尸的坐標為(3,0)或點E的坐標為(3,4),F的坐標為(-上，4),

2222

當￡(-▲,0),F(亙，0)時,0、例、E、尸四點均在x軸上，不能構成平行四邊形，舍去；

22

：.E(g，4),F(-A,4)；%OME”=2X4=8.

22

小一

Mx

圖①圖②3.(湘一、一中雙語聯考)在平面直角坐標系

〃、〃均為整數，且滿足〃=小;舞一1一,3—m.

中，點3(m，H)在第一象限，力

(1)求點8的坐標；

(2)將線段。8向下平移〃個單位后得到線段。'8',過點8'作B'軸于點C,若3CO=2C。'，

求。的值；

(3)過點8作與)，軸平行的直線8M,點。在x軸上，點E在上，點。從。點出發以每秒鐘3個單

位長度的速度沿x軸向右運動，同時點E從8點出發以每秒鐘2個單位長度的速度沿8M向下運動，在點

D、E運動的過程中，若直線OE、BD相交于點G,且5WSAOGBW10,則點G的橫坐標XG的取值范圍

是.

'5

【解答】解：(])由題意得：<十-1>°,加為整數，解得：%=3或2或1,將，〃值代入"的等式，

3-m^O

解得：團=3,〃=2,即點8的坐標為(3,2),

(2)平移后各點坐標如下：Bf(3,2-a)>O'(0,-a)c(0,2-a),CO=a-2,CO=2,所以3

(a-2)=±2X2,所以。=22■或2：

33

(3)①點G不可能在△OB”內，若在△OB”內,則S^OGB<S^ODH=1/2X3X2=3<5；

②G點位置在△OB”外部時，當點G作y軸右側時，

過點G分別作x、y軸的垂線于點K、N,設GN=c,ON=d,運動時間為f,

11O

SAOGB=S梯形處WG-S^OBF-S^OGN=—(3+c)(2+d)-3-上°4=34+”?①，

222

S4OGB=、BEXNG=Lx2lc=tc…②,SAOGB=—XODXF7V=Ax3/X(d+2)=3。+3/…③，

22222

聯立①②③并解得：C=1SAOCB+3,VS^SAOGB^IO,解得：旦故答案為：4WXG<」3；

2222

度問題

4.(中雅)如圖所示，A(1,0)、點8在)，軸上，將三角形OAB沿x軸負方向平移，平移后的圖形為三

角形OEC,且點C的坐標為(-3,2).

(1)直接寫出點￡的坐標;

(2)在四邊形ABCD中，點P從點B出發，沿“BCfC。”移動.若點P的速度為每秒1個單位長度，

運動時間為r秒，回答下列問題：

①當/=一秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數；

②求點產在運動過程中的坐標，（用含r的式子表示，寫出過程）；

③當3Vf<5時，設/CBP=x°,NB4Z）=y°,N3%=z°,用含x,y的式子表示z=

DE

【解答】解：（1）根據題意，可得三角形0A8沿x軸負方向平移3個單位

得到三角形DEC,

:點A的坐標是（1,0）,...點E的坐標是（-2,0）；故答案為：（-2,0）；

（2）①?.?點C的坐標為（-3,2）：.BC=3,CD=2,?.?點尸的橫坐標與縱坐標互為相反數；

...點P在線段BC上，.即f=2；.?.當f=2秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數；

故答案為：2；

②當點P在線段8c上時，：BC〃x軸，且點8（0,2）,.?.點尸的坐標（一，2）,當點P在線段CO上

時，'：BC=3,CD=2,J.點尸的縱坐標為：5-/,VC（-3,2）,二點二的坐標（-3,5-/）；

③能確定，當3VrV5時，：BC=3,.?.點P在CD上，如圖，過P作交48于凡

貝i]P/〃AC,:./BPF=NCBP=x°,ZAPF^ZDAP=y°,AZBPA=ZBPF+ZAPF=x°+y°=z°,

.,.z—x+y,故答案為x+y.

DEO

5.（廣益）在直角坐標系中，點O為坐標原點，A（1,I）,B（1,3）,將線段

AB平移到直線AB的右邊得到線段CD（點C與點A對應，點。與點B對應），點。的坐標為（加，〃），

且m>1.

（1）如圖1,當點C坐標為（2,0）時，請求出三角形BCD的面積；

（2）如圖2,點E是線段CQ延長線上的點，N8QE的平分線OF交射線AB于點F.試問：的

ZAFD

值是否會改變，若不變，請求其值；若改變，請說明理由.

（3）如圖3,線段C。運動的過程中，在（2）的條件下，“=4.

①當〃?=4時，在直線AB上點P,滿足三角形尸8c的面積等于三角形C￡>f?的面積，請求出點尸的坐

標；

②若點。在x軸上,滿足三角形QBC的面積等于三角形C。尸的面積的2倍,請直接寫出點Q的坐標.（用

含m的式子表示）

6

5

4

3-B

2

1

一嗎1234

圖1【解答】（1）解：如圖1

中，VC(2,0),D(2,2),

2

（1）不會發生變化.證明：如圖2中，?.?線段A8平移得到線段CD（點C與點A對應，點/）與點8

對應)，：.AB//CD,AC//BD.：.ZAFD=ZFDE,NC=NBDE.是NBCE的角平分線,

/r

:?/BDE=2/FDE.：.ZBDE=2ZAFD.：.ZC=2ZAFDf：?-^-=2.

ZAFD

(3)解：①如圖3中，設P(l,w).由題意工”"-3|?3=^X2X3,解得,"=5或1,(1,5),

22

P2（l,1）；②如圖3-1中，在班的延長線上取一點G（1,-1）,連接CG、CB.CF.

易證SA8CG=2SA￡>CF,過點G作GQ〃8c交x軸于Q,此時SAQBC=SAG8C=2S“CF,：8（1,3）,Ckm,

2）,.?.直線BC的解析式為y=」-x+2二巴.?.直線QG的解析式為y=—l—X+Q2,令y=0,得到x=2

l-ml-ml~ml-m

???Q（2-團，0）,在射線OE取K（加，6）,則SAK5c=25心（/，過點K作BC的平行線交無軸于。，

此時BC=2SAQCR由直線K。'的解析式為：y=—,令y=0,得至I」X=7〃L6,（7m

l-ml-m

-6,0）.綜上所述，滿足條件的點P坐標為（2-m,0）或（7m-6,0）.圖1

6.(青竹湖)在平面直角坐標系中，A(a,O)、夙仇4)、C(c,O),其中b、c滿足關系

Ja+1+|iz-Z?+4|+(c-5)=0.

(1)如圖1.求AABC的面積；

(2)如圖2,在x負半軸上有一點。，滿足。NBCD的角平分線與N3OC的角平分線相交于

點P,點E是CP延長線上一點，且N￡6O=45°,求幺生的值；

NBDC

(3)如圖3,若將線段A3向上平移1個單位長度，點G為x軸上一點，點尸(5,〃)為第一象限內一動點，

連BF、CF.CA,若A4BG的面積等于由AB、BF、CF、AC四條線段圍成的圖形的面積，求點G

的坐標(用含〃的式子表示).

(2)如圖2,,：DBLBC,

:.NDBC=90°,:.NBDC+NBCD=9Q°,〈DP平分NBDC,PC平分:.NPDC=LNBDC,

2

ZPCO=2/BCO,.?./尸0。+//>8=上(/BOC+NBCO)=45°，,NEPO=ZPOC+ZPCD=45°,

22

.；/EBD=NEPD=45°,NEMB=NDMP,：./BEC=NBDP,.,.烏町=ZBEC.=」；(3)如圖3,

ZBDC2ZBDP2

平移后的點A(-2,1),B(2,5),

將四邊形ABFC拓展成長方形HDCM,則S四邊形A/C=S氏方形HDCM-SMBH-S/^ADC-SFBFM，

=7X5-yX4X4-^x（5+2）X1JX（5-2）x（5-n），=16+全，設G（x,0）,分兩種情況:

①當點G在x軸的正半軸上時，如圖3,延長84交x軸于點火，同理得：S^ABG=5（X+2）--yx4X4_

33

yX5（X-2）-y（X+2）X1=^+6,???SAA3G=S四邊形.*.2x+6=16+—n,x=5+—

24

：.G（5+當，0）

4

②當點G在x軸的負半軸上時，如圖4,同理作長方形例GN8,過A作AQ_LN8于0,

：.SMBG-5（2-x）-/X5（2-x）總（5-1）X4-yXIX（4+2-x）=一女一6,

??,SAABG=S四地彩ABAC，-2x-6=16+—??,x--11-—n,.,.G（-11--n,0）

244

綜上，點G的坐標為：（5+旦〃，0）或（-11-3〃，0）.

平面直角坐標系中，A（a,0）,C（0,c）且滿足:（a+6）2+VC+3=01長方形ABC。在坐標系中（如圖）

點。為坐標系的原點.

（1）求點B的坐標.

（2）如圖1,若點M從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點0）,點N從原點。出發,

以1個單位/秒的速度向下運動（不超過點C）,設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形

MBNO的面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍.

（3）如圖2,E為x軸負半軸上一點，且NCBE=NCEB,尸是無軸正半軸上一動點，NEC尸的平分線

CQ交BE的延長線于點。，在點尸運動的過程中，請探究NCFE與/。的數量關系并說明理由.（注:

三角形三個內角的和等于180°）

【解答】解：（1）；（fl+6）2+Vc+3=0-.?“=-6,c=-3,AA（-6,0）,C（0,-3）,

,四邊形0ABe是長方形，：.A0//BC,AB//0C,AB=0C=3,A0=BC=6,：.B(-6,-3)；

(2)四邊形例BN。的面積不變.設M、N同時出發的時間為r,

則S四邊形長方彩Q1BC-S&48M-S^BCN=18-」X2fX3-」X6X(3-t)=9.與時間無關.

22

在運動過程中面積不變.是定值9；

(3)NCFE=2ND.理由如下：如圖

■:NCBE=2CEB,；.NEC8=180°-2ZBEC,CD平分NECF,：.ZDCE=ZDCF,

,JAF//BC,AZCFE=1800-ZDCF-ZDCE-ZBCE=180°-2ZDCE-(1800-2ZBEC),

；.NCFE=2NBEC-2NDCE,<4BEC=ND+NDCE,:.NCFE=2QD+NDCE)-2ZDCE,

：.NCFE=2/D.

（中雅培粹）在平面直角坐標系中，A（a,0）,C（0,c）且滿足:

（0+6）2+J有=0,長方形ABCO在坐標系中（如圖），點。為坐標系的原點.

（1）求點B的坐標.

（2）如圖1,若點“從點A出發，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點。），點N從原點O出發，以1

個單位/秒的速度向下運動（不超過點C）,設M、N兩點同時出發，在它們運動的過程中，四邊形"&VO的

面積是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍.

（3）如圖2,E為x軸負半軸上一點，且NC8E=NCEB,尸是x軸正半軸上一動點，NECR的平分

線CO交5E的延長線于點。，在點F運動的過程中，請探究NCFE與ZD的數量關系，并說明理由。

【解答】解：(1),/(a+6)2+7^7§=0,.?“=-6,c=-3,二4(-6,0),C(0,-3),

?四邊形OA8C是長方形，J.AO//BC,AB//OC,48=OC=3,AO=8C=6,：.B(-6,-3)；

（2）四邊形M8N。的面積不變.設M、N同時出發的時間為f,

則S四邊形M8NO=S長方形OA8C-S/vUW-Sa8CN=18-X2/X3-2■X6X(3-f)=9.與時間無關.

22

???在運動過程中面積不變.是定值9；

(3)ZCFE=2ZD.理由如下：如圖

?:/CBE=/CEB,：.Z￡CB=180°-2ZBEC,平分NECF,：.ZDCE=Z

DCF,?:AF//BC,

AZCFE=1800-ZDCF-ZDCE-ZBCE=1800-2ZDCE-(180°-2ZBEC),:?/CFE=2/BEC

-2ZDCE,?：/BEC=ND+NDCE,:?/CFE=2(/D+NDCE)-2NDCE,:,NCFE=2/D.

9.(明德)在平面直角坐標系中，己知點A(a，°),BS,3),C(4,0),且滿足-b+6)?=°,線

段交丁軸于點F，點。是y軸正半軸上的一點.

(1)求出點A,8的坐標;

⑵如圖2,若081|AC,ZBAC=a,且AM、0M分別平分NCAB,ZODB,求NAMD的度數(用

含a的代數式表示)

(3)如圖3,坐標軸上是否存在一點P,使得AABP的面積和AA5C的面積相等，若存在，求出P點坐標,

若不存在，請說明理由.

【解答】解:(1)

B(3,3)；

(2)如圖2,過點M作MN〃DB,交y軸于點M

A0\C^x

圖2:./DMN=NBDM,又,：DB〃AC,：.MN//AC,：.4AMN=4MAC,"：DB//

AC,ZDOC=90°,

二/8。。=90°,又OM分別平分NC48,NODB,NBAC=a,ZMAC=—a,NBDM=45°,

2

AZAMN=—a,NDMN=45°,：.NAMD=ZAMN+4DMN=45°+工a；

22

(3)存在.連接08,如圖3,

（圖3）設/（0,/）,‘：SAAOF+SCBOF=SMOB,?什工p3=工*3*3,解得r=3,

2222

二尸點坐標為（0,3）,

2

△A8C的面積=/x7X3=>^,當P點在），軸上時，設P（0,y）,,：S^ABP^S^APF+S^BPF,

.?■?|廠區|?3+上十-旦卜3=生,解得y=5或y=-2,二此時尸點坐標為（0,5）或（0,-2）；

當P點在x軸上時，設P（x,0）,則上小+3卜3=祖，解得x=-10或x=4,...此時P點坐標為（-10,

22

0）,綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為（0,5）或（0,-2）或（-10,0）.

10.（中雅）如圖，在平面直角坐標系中，AB_Lx軸，垂足為A,BC_Ly軸，垂足為C,已知4（a,0）,C

（0,c）,其中a,c滿足關系式（a-6）2+匕+8|=0,點尸從。點出發沿折線。4-A8-BC的方向運動到

點C停止，運動的速度為每秒2個單位長度，設點尸的運動時間為f秒.

備用圖備用圖（1）在運動過程中，當點P到AB的距離為

2個單位長度時，，=；

(2)在點P的運動過程中，用含，的代數式表示尸點的坐標；

(3)當點尸在線段AB上的運動過程中，射線A。上一點E,射線0C上一點F(不與C重合)，連接

PE,PF,使得NEPF=70°,求N4EP與/PFC的數量關系.

【解答】解：(1)c滿足關系式(”-6)2+(c+8)2=0,."-6=0,C+8=0,：.a=6,c=-8,

：.B(6,-8).當點P到A8的距離為2個單位長度時，s=6-2=4,或s=6+8+2=16,.M+ZuZs或

16+2=8s,

(2)①當0W/W3時，點P在。4上，此時，P(260).②當3W/W7時，點P在A8上，此時，PA^2t

-6,由于點P在第四象限，縱坐標小于0,則P(6,6-2t).③當7W/W10時，點尸在8c上，此時P8

=2t-OA-AB=2t-14,PC=BC-PB=6-(2t-14)=20-It.：.P(20-2t,-8).

(3)當點P在線段A8上時，分兩種情況：

①如圖3中，結論：/PEA+/P尸C=160°,理由如下：

連接。尸，?:NPFC=NFPO+NFOP,ZAEP=ZEOP+ZEPO,

：.ZPEA+ZPFC^ZFPO+ZFOP+ZEOP+ZEPO=ZAOF+ZEPF=900+70°=160°；

②如圖4中，結論：ZPFC-NAEP=20°,理由如下：設PM交OC于G,

:,NAEP+NEGO=9G°,ZEGO=ZPGF=\\0°-ZPFC,：.ZAEP+\IO°-ZPFC=90°,

:.NPFC-NAEP=20°,綜上所述，ZPFC+ZPEA=160°或NPPC-NA￡P=20°.

第3類：坐標系中的定義新運算問題

11.(廣益)在平面直角坐標系中，對于點A(x,y),若點B的坐標為(x+緲，ox+y),則稱點B是點A

的。級親密點.例如：點A(-2,6)的/級親密點為8(-2+/X6,-1-X(-2)+6)-即點B的坐標

為(1,5).

(1)①已知點。(-1,5)的3級親密點是點。，則點。的坐標為.

②已知點P的2級親密點是點。(4,8),則點P的坐標為.

(2)己知點M(相-1,2m)的-3級親密點Mi位于y軸上，求點M的坐標.

(3)若點E在x軸上，點E不與原點重合，點E的。級親密點為點凡且EP的長度為0E長度的退

倍，求。的值.

【解答】解：(1)①；點C(-1,5)的3級親密點是點。，；.￡)(-1+3X5,3X(-1)+5),

即D(14,2),

②設點尸的坐標為(x,y),依題意得［'+2了=4,解得［x=4,點2的坐標為⑷0)>

12x+y=8Iy=0

(2)依題意得m-1-3X2m=0,解得，〃=：.-3(m-\)+2m=-m+3=-1+3=西，AA/i(0,-1^-),

5555

(3)設點E的坐標為(x,0),則點E的a級親密點為點尸為(x,ax),，￡尸=|辦|,的長度