天津耀華嘉誠中學八年級上冊壓軸題數學模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中；（1）如圖2，當∠α＝時，，當∠α＝時，DE⊥BC；（2）如圖3，當頂點C在△DEF內部時，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點M、N，①此時∠α的度數范圍是；②∠1與∠2度數的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數和；若變化，請說明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數范圍．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數的和不變，理由見解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）當∠EDA＝∠B＝40°時，，得出30°＋α＝40°，即可得出結果；當時，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結果；（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當點C在DF邊上時，α＝85°，即可得出結果；②連接MN，由三角形內角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結論；③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形內角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由當頂點C在△DEF內部時，55°＜α＜85°，即可得出結果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∴當∠EDA＝∠B＝40°時，，而∠EDF＝30°，∴，解得：α＝10°；當時，DE⊥AB，此時∠A+∠EDA＝180°，，∴，解得：α＝100°；故答案為10°，100°；（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，∴∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，，解得：，當點C在DF邊上時，，∴當頂點C在△DEF內部時，；故答案為：；②∠1與∠2度數的和不變；理由如下：連接MN，如圖所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，∴；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴，∴∠2≥40°，∵，即，∴，∴，解得：α≤60°，∵當頂點C在△DEF內部時，，∴∠α的度數范圍為．【點睛】本題考查了平行線的性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理、不等式等知識，合理選擇三角形后利用三角形內角和定理列等量關系是解決問題的關鍵．2．已知ABCD，點E是平面內一點，∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線交于點F．（1）若點E的位置如圖1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，則∠F=°；②探究∠F與∠BED的數量關系并證明你的結論；（2）若點E的位置如圖2所示，∠F與∠BED滿足的數量關系式是．（3）若點E的位置如圖3所示，∠CDE為銳角，且，設∠F=α，則α的取值范圍為．解析：（1）①70；②∠F=∠BED，證明見解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【解析】【分析】（1）①過F作FG//AB，利用平行線的判定和性質定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，利用角平分線的定義得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），求得∠ABF+∠CDF=70，即可求解；②分別過E、F作EN//AB，FM//AB，利用平行線的判定和性質得到∠BED=∠ABE+∠CDE，利用角平分線的定義得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF，即可求解；（2）根據∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點F，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，因為AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結合①的結論即可說明∠BED與∠BFD之間的數量關系；（3）通過對的計算求得，利用角平分線的定義以及三角形外角的性質求得，即可求得．【詳解】（1）①過F作FG//AB，如圖：∵AB∥CD，FG∥AB，∴CD∥FG，∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60+80=140，∴∠ABF+∠CDF=70，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70，故答案為：70；②∠F=∠BED，理由是：分別過E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分別是∠CDE的角平分線與∠ABE的角平分線，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=∠BED；（3）2∠F+∠BED=360°．如圖，過點E作EG∥AB，則∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，∴∠BED=360°-2∠BFD，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵，∠F=α，∴，解得：，如圖，∵∠CDE為銳角，DF是∠CDE的角平分線，∴∠CDH=∠DHB，∴∠F∠DHB，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義以及三角形外角性質的應用，在解答此題時要注意作出輔助線，構造出平行線求解．3．完全平方公式：適當的變形，可以解決很多的數學問題．例如：若，求的值．解：因為所以所以得．根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【解析】【分析】（1）根據完全平方公式的變形應用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計算；②兩邊平方，再將代入計算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而得到，即可算出結果．【詳解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由題意可得，，；，；，；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，，．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的適當變形靈活應用，（1）可直接應用公式變形解決問題．（2）①②小題都需要根據題意得出兩個因式和或者差的結果，合并同類項得①，②是解決本題的關鍵，再根據完全平方公式變形應用得出答案．（3）根據幾何圖形可知選段，再根據兩個正方形面積和為18，利用完全平方公式變形應用得到，再根據直角三角形面積公式得出答案．4．小敏與同桌小穎在課下學習中遇到這樣一道數學題：“如圖（1），在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進行了如下解答：（1）取特殊情況，探索討論：當點為的中點時，如圖（2），確定線段與的大小關系，請你寫出結論：_____（填“”，“”或“”），并說明理由．（2）特例啟發，解答題目：解：題目中，與的大小關系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：如圖（3），過點作EF∥BC，交于點．（請你將剩余的解答過程完成）（3）拓展結論，設計新題：在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且，若△的邊長為，，求的長（請你畫出圖形，并直接寫出結果）．解析：（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析；（3）3或1【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質、三線合一的性質證明即可；（2）根據等邊三角形的性質，證明△≌△即可；（3）注意區分當點在的延長線上時和當點在的延長線上時兩種情況，不要遺漏．【詳解】解：（1），理由如下：，∵△是等邊三角形，，點為的中點，，，，，，；故答案為：；（2），理由如下：如圖3：∵△為等邊三角形，且EF∥BC，，，；；，，，在△與△中，，∴△≌△（AAS），，∴△為等邊三角形，，．（3）①如圖4，當點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：則，；，；∵△為等邊三角形，，，，；而，，；在△和△中，，∴△≌△（AAS），；∵△為等邊三角形，，，；②如圖5，當點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：類似上述解法，同理可證：，，．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質．熟練掌握等邊三角形的性質，構造合適的全等三角形是解題的關鍵．5．如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當時，，（2）當DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數；若不可以，請說明理由．解析：（1）30，100；（2），見解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據平角的定義，可求出∠EDC的度數，根據三角形內和定理，即可求出∠DEC；（2）當AB=DC時，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據三角形的內角和定理求出∠BAD，根據三角形的內角和定理求出∠BDA即可；②當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，根據∠AED>∠C，得出此時不符合；③當EA=ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據三角形的內角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當時，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當時，∵，∴∴∵∴②當時，∵∴又∵∴∴點D與點B重合，不合題意．③當時，∴∵∴綜上所述，當的度數為或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．6．現給出一個結論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則．請結合上述結論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系____________；QE與QF的數量關系是__________（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明．(3)如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結論成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）根據AAS得到，得到、QE=QF，根據內錯角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長EQ交BF于D，根據AAS判斷得出，因此，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長EQ交FB的延長于D，根據AAS判斷得出，因此，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．【詳解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF證明：延長EQ交BF于D，,（3）當點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結論成立證明：延長EQ交FB的延長于D因為AE//BF所以EQ=QF【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質，根據P點位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關鍵．7．（概念認識）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數．（用含m、n的代數式表示）解析：（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根據題意可得的三分線有兩種情況，畫圖根據三角形的外角性質即可得的度數；（2）根據、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進而可求的度數；（3）根據的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點．分四種情況畫圖：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，再根據，，即可求出的度數．【詳解】解：（1）如圖，當是“鄰三分線”時，；當是“鄰三分線”時，；故答案為：85或100；（2），，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，．（3）分4種情況進行畫圖計算：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，①當時，；②當時，．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，解決本題的關鍵是掌握三角形的外角性質．注意要分情況討論．8．已知ABC，P是平面內任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）．連接PB、PC，設∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如圖，當點P在ABC內時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數量關系，并證明你得到的結論．（2）當點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數量關系，并畫出相應的圖形．解析：（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內角和定理即可解決問題；②結論：x=y+s+t．利用三角形內角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數量關系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點睛】本題考查三角形的內角和定理，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．9．在中，若存在一個內角角度，是另外一個內角角度的倍（為大于1的正整數），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內角的度數是另外一個內角的余角的度數的，求的最小內角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內角的取值范圍．解析：（1）4；（2）的最小內角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據三角形內角和定理求出∠C的度數，再根據倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據△DEF是3倍角三角形，必定有一個內角是另一個內角的3倍，然后根據這兩個角之間的關系，分情況進行解答即可得到答案；(3)可設未知數表示2倍角三角形的各個內角，然后列不等式組確定最小內角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設其中一個內角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內角為：①當小的內角的度數是3倍內角的余角的度數的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內角的度數是小內角的余角的度數的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當時，解得：，此時：=，因此為最小內角，因此，△DEF的最小內角是9°或15°或．(3)設最小內角為x，則2倍內角為2x，第三個內角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內角的取值范圍是30°＜x＜45°．10．請按照研究問題的步驟依次完成任務．（問題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．（簡單應用）（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數（可直接使用問題（1）中的結論）（問題探究）（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數為；（拓展延伸）（4）在圖4中，若設∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關系，直接寫出結論．解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【解析】【分析】（1）根據三角形內角和定理即可證明；（2）如圖2，根據角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點睛】本題考查三角形內角和，三角形的外角的性質、多邊形的內角和等知識，解題的關鍵是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考常考題型．11．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．①當α＝70°時，∠BDC度數＝度（直接寫出結果）；②∠BDC的度數為（用含α的代數式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE角平分線交于點F，求∠BFC的度數（用含α的代數式表示）．（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數（用含α的代數式表示）．解析：（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【解析】【分析】（1）①由三角形內角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根據角平分線的定義，結合三角形內角和定理可求∠BDC；②由三角形內角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推導方法即可求解；（2）由三角形外角性質得，然后結合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對稱性得，結合（1）②的結論可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分別為125°，90°+α．（2）∵BF和CF分別平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由軸對稱性質知：，由（1）②可得，∴．【點睛】本題考查三角形中與角平分線有關的角度計算，熟練掌握三角形內角和定理，以及三角形的外角性質是解題的關鍵．12．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸，點從點出發在軸上沿著軸的正方向運動．（1）當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；（2）點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在求點的坐標以及此時對應的點的坐標，若不存在，請說明理由．解析：（1）證明見解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對應邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點D的坐標；（2）設P（a，0），Q（2，b）．需要分類討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結合兩點間的距離公式列出方程組，通過解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質，兩點間的距離公式，一元一次絕對值方程組的解法等知識點．解答（2）題時，由于沒有指明全等三角形的對應邊（角），所以需要分類討論，以防漏解．13．（1）填空①把一張長方形的紙片按如圖①所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上，那么的度數是________；②把一張長方形的紙片按如圖②所示的方式折疊，點與點重合，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上，那么的度數是_______．（2）解答：①把一張長方形的紙片按如圖③所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上左側，且，求的度數；②把一張長方形的紙片按如圖④所示的方式折疊，點與點重合，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線右側，且，求的度數．（3）探究：把一張四邊形的紙片按如圖⑤所示的方式折疊，，為折痕，設，，，求，，之間的數量關系．解析：，；，；，.【解析】【分析】（1）①如圖①知，得可求出解.②由圖②知得可求出解.（2）①由圖③折疊知，可推出，即可求出解.②由圖④中折疊知，可推出，即可求出解.（3）如圖⑤-1、⑤-2中分別由折疊可知，、，即可求得、.【詳解】解：（1）①如圖①中，，，，故答案為.②如圖②中，，，故答案為.（2）①如圖③中由折疊可知，，，，，；②如圖④中根據折疊可知，，，，，，；（3）如圖⑤-1中，由折疊可知，，；如圖⑤-2中，由折疊可知，，.【點睛】本題考查了圖形的變換中折疊屬全等變換，圖形的角度及邊長不變及一些角度的計算問題，突出考查學生的觀察能力、思維能力以及動手操作能力，本題是代數、幾何知識的綜合運用典型題目.14．在中，，是直線上一點，在直線上，且．（1）如圖1，當D在上，在延長線上時，求證：；（2）如圖2，當為等邊三角形時，是的延長線上一點，在上時，作，求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線交于點，連，過點作于點，當，時，求的長度．解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）3【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質和外角的性質即可得到結論；（2）過E作EF∥AC交AB于F，根據已知條件得到△ABC是等邊三角形，推出△BEF是等邊三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根據全等三角形的性質即可得到結論；（3）連接AF，證明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再證明DH=AH=CF=3．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF與△CAD中，，∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）連接AF，如圖3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=AF=CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形和直角三角形的性質，三角形的外角的性質，等邊三角形的判定和性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．15．在中，，，是的角平分線，于點.（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點是線段上的一點（不與點重合），以為一邊，在下方作，交延長線于點.求證：；（3）如圖3，點是線段上的點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點.直接寫出，與數量之間的關系.解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）結論：，證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據直角三角形的性質得出，再根據角平分線的性質可得，然后根據三角形的判定定理與性質可得，最后根據等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），延長ED使得，連接MF，先根據直角三角形的性質、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質、角的和差得出，然后根據三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證；（3）如圖（見解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質、角的和差得出，然后根據三角形全等的判定與性質、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長ED使得，連接MF，是的角平分線，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結論：，證明過程如下：如圖，延長BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點睛】本題考查了直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，較難的是題（2）和（3），通過作輔助線，構造一個等邊三角形是解題關鍵．二、選擇題16．若，則（）A． B． C． D．解析：D【解析】【分析】根據選項進行一一排除即可得出正確答案.【詳解】解：A中、，可得，故A錯；B中、，可得出，故B錯；C中、，可得出，故C錯；D中、，交叉相乘得到，故D對.故答案為：D.【點睛】本題考查等式的性質及比例的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.17．有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列各式成立的是（）A．a＞b B．﹣ab＜0 C．|a|＜|b| D．a＜﹣b解析：D【解析】【分析】根據各點在數軸上的位置得出a、b兩點到原點距離的大小，進而可得出結論．【詳解】解：∵由圖可知a＜0＜b，∴ab＜0，即-ab＞0又∵|a|＞|b|，∴a＜﹣b．故選：D．【點睛】本題考查的是數軸，熟知數軸上兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．18．某車間有名工人，每人每天能生產螺栓個或螺母個.若要使每天生產的螺栓和螺母按配套，則分配幾人生產螺栓?設分配名工人生產螺栓，其他工人生產螺母，所列方程正確的是（）A． B．C． D．解析：D【解析】【分析】設分配x名工人生產螺栓，則（26-x）名生產螺母，根據每天生產的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【詳解】解：設分配x名工人生產螺栓，則（26-x）名生產螺母，∵要使每天生產的螺栓和螺母按1：2配套，每人每天能生產螺栓12個或螺母18個，∴可得2×12x=18（26-x）．故選：D．【點睛】本題考查了根據實際問題抽象一元一次方程，要保證配套，則生產的螺母的數量是生產的螺栓數量的2倍，所以列方程的時候，應是螺栓數量的2倍=螺母數量．19．已知線段AB的長為4，點C為AB的中點，則線段AC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：B【解析】【分析】根據線段中點的性質，可得AC的長．【詳解】解：由線段中點的性質，得AC＝AB＝2．故選B．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質．20．對于方程，去分母后得到的方程是（）A． B． C． D．解析：D【解析】【分析】方程兩邊同乘以6即可求解.【詳解】，方程兩邊同乘以6可得，2x-6=3（1+2x）.故選D.【點睛】本題考查了一元一次方程的解法—去分母，方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數是去分母的基本方法.21．如圖，直線與直線相交于點,,若過點作,則的度數為()A． B．C．或 D．或解析：D【解析】【分析】由題意分兩種情況過點作,利用垂直定義以及對頂角相等進行分析計算得出選項.【詳解】解：過點作,如圖：由可知，從而由垂直定義求得=90°-40°或90°+40°，即有的度數為或.故選D.【點睛】本題考查了垂直定義以及對頂角的應用，主要考查學生的計算能力．22．如圖是小明制作的一張數字卡片，在此卡片上可以用一個正方形圈出個位置的個數(如，，，，，，，，，，，，，，，).若用這樣的正方形圈出這張數字卡片上的個數，則圈出的個數的和不可能為下列數中的()A． B．C． D．解析：C【解析】【分析】由題意設第一列第一行的數為x，依次表示每個數，并相加進行分析得出選項.【詳解】解：設第一列第一行的數為x，第一行四個數分別為，第二行四個數分別為，第三行四個數分別為，第四行四個數分別為，16個數相加得到，當相加數為208時x為1，當相加數為480時x為18，相加數為496時x為19，相加數為592時x為25，由數字卡片可知，x為19時，不滿足條件.故選C.【點睛】本題考查列代數式求解問題，理解題意設未知數并列出方程進行分析即可.23．下列選項中，運算正確的是（）A． B．C． D．解析：B【解析】【分析】根據整式的加減法法則即可得答案.【詳解】A.5x-3x=2x，故該選項計算錯誤，不符合題意，B.，計算正確，符合題意，C.-2a+3a=a，故該選項計算錯誤，不符合題意，D.2a與3b不是同類項，不能合并，故該選項計算錯誤，不符合題意，故選：B.【點睛】本題考查整式的加減，熟練掌握合并同類項法則是解題關鍵.24．某班30位同學，在綠色護植活動中共種樹72棵，已知女生每人種2棵，男生每人種3棵，設女生有人，則可列方程（）A． B．C． D．解析：A【解析】【分析】設女生x人，男生就有（30-x）人，再表示出男、女生各種樹的棵數，根據題中等量關系式：男生種樹棵數+女生種樹棵數=72棵，列方程解答即可．【詳解】設女生x人，∵共有學生30名，∴男生有（30-x）名，∵女生每人種2棵，男生每人種3棵，∴女生種樹2x棵，男生植樹3（30-x）棵，∵共種樹72棵，∴2x+3(30-x)=72，故選：A.【點睛】本題考查一元一次方程的應用，正確找準數量間的相等關系是解題關鍵.25．若多項式是完全平方式，則常數m的值為()A．3 B．-3 C．±3 D．+6解析：C【解析】【分析】利用完全平方式的結構特征即可求出m的值．【詳解】解：∵多項式是完全平方式，∴2m＝±6，解得：m＝±3，故選：C．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解本題的關鍵．26．已知關于，的方程組，則下列結論中：①當時，方程組的解是；②當，的值互為相反數時，；③不存在一個實數使得；④若，則正確的個數有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：D【解析】【分析】①把a=10代入方程組求出解,即可做出判斷;②根據題意得到x+y=0,代入方程組求出a的值,即可做出判斷;③假如x=y,得到a無解,本選項正確;④根據題中等式得到x-3a=5,代入方程組求出a的值,即可做出判斷【詳解】①把a=10代入方程組得解得,本選項正確②由x與y互為相反數,得到x+y=0,即y=-x代入方程組得解得:a=20,本選項正確③若x=y,則有,可得a=a-5,矛盾,故不存在一個實數a使得x=y,本選項正確④方程組解得由題意得:x-3a=5把代入得25-a-3a=5解得a=5本選項正確則正確的選項有四個故選D【點睛】此題考查二元一次方程組的解，掌握運算法則是解題關鍵27．已知線段AB＝10cm，直線AB上有一點C，且BC＝4cm，M是線段AC的中點，則AM的長（）