蘇州市重點中學2023年數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，2．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.3．某企業為節能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.4．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，5．均勻壓縮是物理學一種常見現象.在平面直角坐標系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.6．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.7．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發布中國共產黨成立100周年慶祝活動標識（圖1），標識由黨徽、數字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現中國共產黨團結帶領中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為的相交大圓，分別內含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區域內隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.8．考試停課復習期間，小王同學計劃將一天中的7節課全部用來復習4門不同的考試科目，每門科目復習1或2節課，則不同的復習安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151209．已知數列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.910．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.2011．五行學說是中華民族創造的哲學思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關系的概率是（）A. B.C. D.12．設是虛數單位，則復數對應的點在平面內位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，滿足，直線與圓有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.14．寫出一個數列的通項公式____________，使它同時滿足下列條件：①，②，其中是數列的前項和.（寫出滿足條件的一個答案即可）15．如圖莖葉圖記錄了A、兩名營業員五天的銷售量，若A的銷售量的平均數比的銷售量的平均數多1，則A營業員銷售量的方差為___________.16．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉一周，所得的圓柱體積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓的標準方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：18．（12分）設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，.（1）求B的大小（2）若，，求b.19．（12分）設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由20．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.21．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A,B兩點，且時，求直線l的方程.22．（10分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據全稱命題與特稱命題互為否定的關系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據全稱命題與特稱命題的關系，可得命題,，則，，故選A【點睛】本題主要考查了含有一個量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關系是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題2、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.3、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.4、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.5、C【解析】設單位圓上一點為，經過題設變換后坐標為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設，單位圓上一點坐標為，經過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應坐標為，∴，則，故中，可得：.故選：C.6、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因為，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C7、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B8、C【解析】，先安排復習節的科目，然后安排其余科目，由此計算出不同的復習安排方法數.【詳解】第步，門科目選門，安排節課，方法數有種，第步，安排其余科目，每門科目節課，方法數有種，所以不同的復習安排方法有種.故選：C9、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數列的通項公式后，再解不等式.【詳解】因為，兩邊取倒數，得，整理為：，，所以數列是首項為1，公差為4的等差數列，，，因為，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故選：B10、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查11、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數，再計算其中兩種元素恰是相生關系的基本事件數，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C12、A【解析】計算出復數即可得出結果.【詳解】由于，對應的點的坐標為，在第一象限，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過點作于，過點作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關于、的齊次不等式，結合可求得的取值范圍.【詳解】過點作于，過點作于，因為，所以，又因為，所以，故，又因為，且，所以，因此，所以，又因為直線與圓有公共點，所以，故，即，則，所以，又因為雙曲線的離心率，所以.故答案為：.14、(答案合理即可)【解析】當時滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當時滿足條件①②，證明如下：因為，所以；當時，；當時，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).15、44【解析】先根據題意求出x的值，進而利用方差公式求出A營業員銷售量的方差.【詳解】由A的平均數比的平均數多1知，A的總量比的總量多5，所以，A的平均數為17，方差為.故答案為：4416、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結合離心率可知，進而可求出，即可求出標準方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進行聯立，設，，結合韋達定理可得，從而由斜率的計算公式對進行整理化簡從而可證明.【詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標準方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設，，則．又因為，，所以【點睛】關鍵點睛:本題第二問的關鍵是聯立直線和橢圓的方程后，結合韋達定理，用表示交點橫坐標的和與積，從而代入進行整理化簡.18、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，可得，進而可求出和角；（2）利用余弦定理，可得，即可求出.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又因為B為銳角，所以（2）由余弦定理，可得，解得【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的運用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設有，結合（1）求雙曲線參數，寫出雙曲線方程即可；②由題設可設為，，，聯立雙曲線方程結合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設為，，，聯立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關鍵點點睛：第二問的②，設直線為，聯立直線與雙曲線，應用韋達定理求，，，，進而根據、的方程求，坐標，再由圓的性質及向量垂直的坐標表示求定點坐標.20、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質證明出；（2）利用等體積轉換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因為平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小問2詳解】設AC與BD的交點為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因為菱形ABCD的邊長為4且，所以.因為矩形BDFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距離為.21、（1）；（2）或.【解析】（1）根據圓心到直線的距離d等于圓的半徑r即可求得答案；（2）由并結合（1）即可求得答案.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑,若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：.【小問2