§1.3函數(shù)的極限內(nèi)容回顧（P3911）直線y=A是曲線

y=f(x)

的水平漸近線.當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:(P3810題)當(dāng)時(shí),有函數(shù)極限的性質(zhì):唯一性,局部有界性,保號(hào)性及推論函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系均有的一切數(shù)列{xn}２．利用函數(shù)的極限求數(shù)列的極限.作用:1.證明函數(shù)的極限不存在或不等于無窮大。注:本定理可推廣到各種情況(共24種情況)譬如P42的6，7題

第一章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小§1.4無窮小與無窮大當(dāng)一、無窮小定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)時(shí)為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無窮小

.時(shí)為無窮小.(若xn→0,則稱xn為無窮小量.)(除零以外的任何常數(shù)均不是無窮小!)其中

為時(shí)的無窮小.定理1.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.其中二、無窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)但所以時(shí),不是無窮大!由歸結(jié)原理(P37定理4

)得取

+∞歸結(jié)原理:均有的一切數(shù)列{xn}對(duì)于滿足條件0≠∞例.證明證:得,取當(dāng)時(shí),有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說明:令水平漸近線水平漸近線的定義:…斜漸近線的定義及求法(P76題14)三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.在自變量的同一變化過程中,說明:內(nèi)容小結(jié)1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系！3.無窮小與無窮大的關(guān)系習(xí)題1-4作業(yè)

P42

2(1),(2);7預(yù)習(xí)§1.5無界性已講不是無窮大的證明利用P37定理4P2213（略）因?yàn)閒(x)有上界，所以證：

又因?yàn)閒(x)有下界，所以故取M=所以f(x)有界。證明f(x)有界的充要條件是f(x)既有上界又有下界

P313（2

）證明：取N=則所以

證：＜ε．令得P314已知?jiǎng)t所以

證：因?yàn)樽C明反之不真．取N=所以

注意到但不存在極限．如反之不真．P3１５；6P3１５已知有界，則又因?yàn)?/p>

證：因?yàn)橛薪纾C明：所以

所以

取N=所以

MMP316*當(dāng)時(shí),有因?yàn)閤2k→a，則

當(dāng)時(shí),有又因?yàn)閤2k－