排列組合知識構造排列問題在實際生活中經常會碰到這樣的問題，就是要把某些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參加排列的事物有關，并且與各事物所在的先后次序有關．普通地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一種排列．根據排列的定義，兩個排列相似，指的是兩個排列的元素完全相似，并且元素的排列次序也相似．如果兩個排列中，元素不完全相似，它們是不同的排列；如果兩個排列中，即使元素完全相似，但元素的排列次序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計算排列的總個數．從個不同的元素中取出()個元素的全部排列的個數，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數，我們把它記做．根據排列的定義，做一種元素的排列由個環節完畢：環節：從個不同的元素中任取一種元素排在第一位，有種辦法；環節：從剩余的()個元素中任取一種元素排在第二位，有()種辦法；……環節：從剩余的個元素中任取一種元素排在第個位置，有(種)辦法；由乘法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數是，即，這里，，且等號右邊從開始，背面每個因數比前一種因數小，共有個因數相乘．排列數普通地，對于的狀況，排列數公式變為．表達從個不同元素中取個元素排成一列所構成排列的排列數．這種個排列全部取出的排列，叫做個不同元素的全排列．式子右邊是從開始，背面每一種因數比前一種因數小，始終乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還能夠寫為：，其中．在排列問題中，有時候會規定某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的辦法數量，能夠將這些物體當作一種整體捆綁在一起進行計算．組合問題日常生活中有諸多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同窗中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組辦法的問題．普通地，從個不同元素中取出個()元素構成一組不計較組內各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一種組合．從排列和組合的定義能夠懂得，排列與元素的次序有關，而組合與次序無關．如果兩個組合中的元素完全相似，那么不管元素的次序如何，都是相似的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相似時，才是不同的組合．從個不同元素中取出個元素()的全部組合的個數，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數．記作．普通地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數可分成下列兩步：第一步：從個不同元素中取出個元素構成一組，共有種辦法；第二步：將每一種組合中的個元素進行全排列，共有種排法．根據乘法原理，得到．因此，組合數．這個公式就是組合數公式．組合數的重要性質普通地，組合數有下面的重要性質：()這個公式的直觀意義是：表達從個元素中取出個元素構成一組的全部分組辦法．表達從個元素中取出()個元素構成一組的全部分組辦法．顯然，從個元素中選出個元素的分組辦法恰是從個元素中選個元素剩余的()個元素的分組辦法．例如，從人中選人開會的辦法和從人中選出人不去開會的辦法是同樣多的，即．規定，．插板法普通用來解決求分解一定數量的無差別物體的辦法的總數，使用插板法普通有三個規定：①所要分解的物體普通是相似的：②所要分解的物體必須全部分完：③參加分物體的組最少都分到1個物體，不能有沒分到物體的組出現．在有些題目中，已知條件與上面的三個規定并不一定完全相符，對此應當對已知條件進行適宜的變形，使得它與普通的規定相符，再合用插板法．使用插板法普通有以下三種類型：個人分個東西，規定每個人最少有一種．這個時候我們只需要把全部的東西排成一排，在其中的個空隙中放上個插板，因此分法的數目為．個人分個東西，規定每個人最少有個．這個時候，我們先發給每個人個，還剩余個東西，這個時候，我們把剩余的東西按照類型⑴來解決就能夠了．因此分法的數目為．個人分個東西，允許有人沒有分到．這個時候，我們不妨先借來個東西，每個人多發1個，這樣就和類型⑴同樣了，但是這時候物品總數變成了個，因此分法的數目為．例題精講4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果規定2個女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？4男2女6個人站成一排合影留念，規定2個女的緊挨著有多少種不同的排法？將A、B、C、D、E、F、G七位同窗在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰．請問共有多少種不同的排列辦法？ 6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只規定童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？四年級三班舉辦六一小朋友節聯歡活動．整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品構成．請問：如果規定同類型的節目持續表演，那么共有多少種不同的出場次序？8人圍圓桌會餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾個坐法？a，b，c，d，e五個人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法？一臺晚會上有個演唱節目和個舞蹈節目．求：⑴當個舞蹈節目要排在一起時，有多少不同的安排節目的次序？⑵當規定每個舞蹈節目之間最少安排個演唱節目時，一共有多少不同的安排節目的次序？由個不同的獨唱節目和個不同的合唱節目構成一臺晚會，規定任意兩個合唱節目不相鄰，開始和最后一種節目必須是合唱，則這臺晚會節目的編排辦法共有多少種？有10粒糖，分三天吃完，每天最少吃一粒，共有多少種不同的吃法？小紅有10塊糖，每天最少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？10只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有的盤子空著．請問一共有多少種不同的放法？將個相似的蘋果放到個不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法。把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，能夠有多少種不同的分法？三所學校組織一次聯歡晚會，共表演14個節目，如果每校最少表演3個節目，那么這三所學校表演節目數的不同狀況共有多少種？(1)小明有10塊糖，每天最少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法?(2)小明有10塊糖，每天最少吃1塊，8天或8天之內吃完，共有多少種吃法?有10粒糖，每天最少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？公路上有編號為，，，…，的十只路燈，為節省用電又能看清路面，能夠把其中的三只燈關掉，但又不能同時關掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關掉的狀況下，求滿足條件的關燈辦法有多少種？學校新修建的一條道路上有盞路燈，為了節省用電而又不影響正常的照明，能夠熄滅其中盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的盞燈，那么熄燈的辦法共有多少種？在四位數中，各位數字之和是4的四位數有多少？不不大于不大于3000的四位數中數字和等于9的數共有多少個？全部三位數中，與456相加產生進位的數有多少個？從1到這個正整數中，共有幾個數與四位數8866相加時，最少發生一次進位？課堂檢測某小組有12個同窗，其中男少先隊員有3人，女少先隊員有人，全組同窗站成一排，規定女少先隊員都排一起，而男少先隊員不排在一起，這樣的排法有多少種？把7支完全相似的鉛筆分給甲、乙、丙3個人，每人最少1支，問有多少種辦法？在三位數中，最少出現一種6的偶數有多少個？家庭作業將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，規定三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法。學校合唱團要從個班中補充名同窗，每個班最少名，共有多少種抽調辦法？能被3整除且最少有一種數字是6的四位數有個。學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生．某次比賽后他