湖北省荊州市松滋第四中學2023年數(shù)學高二上期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下圖是一個“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉時形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點A與點C，點B與點D均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm2．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（）A. B.C.2 D.43．化學中，將構成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應填入的適當?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.5．拋物線上點的橫坐標為4，則到拋物線焦點的距離等于（）A.12 B.10C.8 D.66．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.88．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.9．概率論起源于賭博問題．法國著名數(shù)學家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題：甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者，可獲得全部賭金法郎，當甲贏了局，乙贏了局，不再賭下去時，賭金如何分配？假設每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨立，那么賭金分配比較合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎10．散點圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.211．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構成的數(shù)列的第項，則的值為（）A. B.C. D.12．數(shù)列，則是這個數(shù)列的第（）A.項 B.項C.項 D.項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是_____________.14．數(shù)列中，，則______15．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運年數(shù)x（）為二次函數(shù)的關系（如圖），則每輛客車營運年數(shù)為________時，營運的年平均利潤最大16．若正實數(shù)滿足，則的最大值是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）若在上存在極值點，證明：.19．（12分）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求的值.20．（12分）等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.21．（12分）設函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知橢圓的左，右焦點分別為，三個頂點（左、右頂點和上頂點）構成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個內接平行四邊形的一組對邊分別過點和，如圖，若這個平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個頂點的縱坐標的乘積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對稱性設出點A，B，D坐標，求出坐標，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因為離心率，所以，，故雙曲線方程為，設，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B2、B【解析】由題意可設，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設，設，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，故選：B3、C【解析】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.4、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D5、C【解析】根據(jù)焦半徑公式即可求出【詳解】因為，所以，所以故選：C6、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C7、D【解析】由等比中項轉化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項公式即得解【詳解】設公比為，則由，得，即故，解得故選：D8、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.9、A【解析】利用獨立事件計算出甲、乙各自贏得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏得法郎的概率為，乙贏得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.10、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C11、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.12、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項公式，進而求出是這個數(shù)列的第幾項【詳解】數(shù)列為，故通項公式為，是這個數(shù)列的第項.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接根據(jù)已知寫出圓的標準方程得解.【詳解】解：由題得圓的標準方程為.故答案為：14、1【解析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計算出的值，再利用對數(shù)的運算性質可求得結果【詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因為，，所以，所以，所以所以，故答案為：115、5【解析】首先根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式為，再利用基本不等式求解的最大值即可.【詳解】根據(jù)題意得到：拋物線的頂點為，過點，開口向下，設二次函數(shù)的解析式為，所以，解得，即，則營運的年平均利潤，當且僅當，即時取等號故答案為：5.16、4【解析】由基本不等式及正實數(shù)、滿足，可得的最大值.【詳解】由基本不等式，可得正實數(shù)、滿足，，可得，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求導，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當時，，在區(qū)間上單調遞減，當時，，在區(qū)間上單調遞增，則，所以18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由題得，在，上為單調遞增的函數(shù)，在，上恒成立，分類討論，再次利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（2）由（1）可知，在存在極值點，則且，求得，再兩次求導即可得結論.【小問1詳解】由題得，在，上為單調遞增的函數(shù)，在，上恒成立，設，當時，由，得，在，上為增函數(shù)，則，在,上恒成立，滿足命題，當時，由，得，在上為減函數(shù)，，時，，即，不滿足恒成立，不成立，綜上：的取值范圍為.小問2詳解】證明：由（1）可知，在存在極值點，則且即：要證只需證即證又由（1）可知在上為增函數(shù)，且,成立.要證只需證即證：設則即在上增函數(shù)在為增函數(shù)成立.綜上，成立.19、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，由此求得.（2）先求得，結合兩角差的正弦公式求得.【小問1詳解】，，即，，，.【小問2詳解】由，可得，.20、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數(shù)列的通項公式列出方程組求解即可；（2）由裂項相消求和法得出，再由不等式的性質得出n的最小值.【小問1詳解】設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因為，即，解得n>99，所以n的最小值為100.21、（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數(shù)的單調性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數(shù)討論的單調性并結合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設，，則，則在上單調遞減，故當時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)硏究.22、（1