黑龍江省大慶大慶十中、二中、二十三中、二十八中2023-2024學年高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.2．已知函數在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.3．已知是橢圓右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.4．對于兩個平面、，“內有無數多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝06．已知等差數列的前項和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或107．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.128．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數為（）A. B.C. D.不能確定9．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.12．我國古代的數學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當取到最大值時，___________.14．已知直線過點，，且是直線的一個方向向量，則__________.15．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員，面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態的情況，從全市抽取2000名人員進行調查，統計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據調查結果繪制的頻率分布直方圖（1）根據上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發言，求小組中至少有1人發言的概率？16．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請填入所有正確說法的序號）①當時，的周長為定值②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點P，使得④當時，有且僅有一個點P，使得平面三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側的兩點，且，共線，求四邊形的面積的最大值18．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為，過點的直線與拋物線只有一個公共點.（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.19．（12分）如圖，扇形AOB的半徑為2，圓心角，點C為弧AB上一點，平面AOB且，點且，面MOC（1）求證：平面平面POB；（2）求平面POA與平面MOC所成二面角的正弦值的大小20．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.21．（12分）已知拋物線，直線交于、兩點，且當時，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實數，使得.22．（10分）已知數列的前項和為，且滿足，，成等比數列，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】首先由點的坐標滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關系轉化為斜率關系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.2、B【解析】首先求出函數的導函數，依題意可得，即可求出參數的值，從而得到函數解析式，再根據導函數得到函數單調性，即可求出函數的極值點，從而求出函數的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調遞增，在上單調遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B3、A【解析】結合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設左焦點為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A4、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有無數多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有無數多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、D【解析】設切點為，則切線的斜率為，然后根據條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設切點為，因為，所以切線的斜率為因為曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D6、B【解析】根據題意可知等差數列是，單調遞減數列，其中，由此可知，據此即可求出結果.【詳解】在等差數列中，所以，所以，即，又等差數列中，公差，所以等差數列是單調遞減數列，所以，所以等差數列的前項和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.7、C【解析】設兩條直線方程，與拋物線聯立，求出弦長的表達式，根據基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點坐標為，設直線：，直線：，聯立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C8、B【解析】利用余弦定理結合橢圓的定義可求得、，即可得出結論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數為.故選：B.9、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則由，，，得，解得，則設平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A10、A【解析】根據離心率及a，b，c的關系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A11、D【解析】根據漸近線方程求得關系，結合離心率的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.12、C【解析】根據等比數列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數成等比數列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由三角形面積公式得出，設，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設，則，可得，由基本不等式可得，當且僅當時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【點睛】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因為是直線的一個方向向量，所以，所以，所以.故答案為：15、（1）平均時長為，中位數為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數，中位數的公式即可求解；（2）先根據分層抽樣求出每一組抽取的人數，再列舉抽取總事件個數，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數為，，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數為【小問2詳解】解：組的人數為人，設抽取的人數為，組的人數為人，設抽取的人數為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，，，將中的標記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、②④【解析】①結合得到P在線段上，結合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內一點，①，當時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉化等思路進行解決.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）延長，交橢圓C于點．設出直線的方程并與橢圓方程聯立，化簡寫出根與系數關系，根據對稱性求得四邊形的面積的表達式，利用換元法，結合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因為過且垂直于長軸的弦長為1，所以，所以所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】因為，共線，所以延長，交橢圓C于點．設，由（1）可知，可設直線的方程為聯立，消去x可得，所以，由對稱性可知設與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因為，當且僅當時取等號，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問題，求解策略是：首先結合弦長公式、點到直線距離公式等求得面積的表達式；然后利用基本不等式、二次函數的性質等知識來求得最值.18、（1）；（2）或或.【解析】(1)根據給定條件結合p的幾何意義，直接求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設出其方程，再與拋物線C的方程聯立，再討論計算，l斜率不存在時驗證作答.【小問1詳解】因拋物線的焦點到準線的距離為，于是得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線為，由消去y并整理得：，當時，，點是直線與拋物線唯一公共點，因此，，直線方程為，當時，，此時直線與拋物線相切，直線方程為，當直線的斜率不存在時，y軸與拋物線有唯一公共點，直線方程為，所以直線方程為為或或.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，設與相交于點，連接MN，利用余弦定理可求得，，的長度，進而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立恰當空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，從而即可得答案【小問1詳解】證明：連接，設與相交于點，連接MN，平面，在平面內，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面內，，又，平面，又平面，平面平面；【小問2詳解】解：由（1）可知直線，，兩兩互相垂直，所以以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，設平面的一個法向量為，則，可取；設平面的一個法向量為，則，可取，，平面與平面所成二面角的正弦值為20、（1）(,).（2）【解析】（1）根據條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數解析式，最后根據二次函數性質求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當=時,取得最小值.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，考查基本分析求解能力，屬