安徽省屯溪一中2023-2024學年數學高二上期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．現要完成下列兩項調查：①從某社區70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況．這兩項調查宜采用的抽樣方法是（）A①簡單隨機抽樣，②分層抽樣 B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣C.①②都用簡單隨機抽樣 D.①②都用分層抽樣2．已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B.0C.1 D.23．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.64．大數學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數學發現的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發現球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.5．執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.366．已知，數列，，，與，，，，都是等差數列，則的值是（）A. B.C. D.7．設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.328．已知為虛數單位，復數是純虛數，則（）A B.4C.3 D.29．拋物線的準線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.10．橢圓上的一點M到其左焦點的距離為2，N是的中點，則等于（）A.1 B.2C.4 D.811．定義在R上的函數與函數在上具有相同的單調性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知點是橢圓方程上的動點，、是直線上的兩個動點，且滿足，則（）A.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有一個B.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有兩個C.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有三個D.存在實數使為等腰直角三角形的點有無數個二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數為______（用數字作答）14．等差數列的前項和為，已知，則__.15．若，則__________16．已知點P是橢圓上的一點，點，則的最小值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c已知c?cosB+（b-2a）cosC=0（1）求角C的大小（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面積18．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點，并且，E為劣弧上的一點，且，.（1）若E為劣弧的中點，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點（靠近點），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.19．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.20．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值21．（12分）已知命題p：函數有零點；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數a的取值范圍22．（10分）在中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求b的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】通過簡單隨機抽樣和分層抽樣的定義辨析得到選項【詳解】在①中，由于購買能力與收入有關，應該采用分層抽樣；在②中，由于個體沒有明顯差別，而且數目較少，應該采用簡單隨機抽樣故選：B2、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C3、C【解析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C4、C【解析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C5、B【解析】執行程序框圖，第一次循環，，滿足；第二次循環，，滿足；第三次循環，，不滿足，輸出，故選B.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.6、A【解析】根據等差數列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數列，，，和，，，，各自都成等差數列，，，，故選:A7、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據的面積為，可得值，根據，結合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯立，解得故聯立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.8、C【解析】化簡復數得，由其為純虛數求參數a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數，∴，解得：，則，故選：C9、C【解析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標準方程為，準線方程為，又準線方程是，所以，所以.故選：C10、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.11、B【解析】判定函數單調性，再利用導數結合函數在的單調性列式計算作答.【詳解】由函數得：，當且僅當時取“=”，則在R上單調遞減，于是得函數在上單調遞減，即，，即，而在上單調遞減，當時，，則，所以k的取值范圍是.故選：B12、B【解析】求出點到直線的距離的取值范圍，對點是否為直角頂點進行分類討論，確定、的等量關系，綜合可得出結論.【詳解】設點，則點到直線的距離為.因為橢圓與直線均關于原點對稱，①若為直角頂點，則.當時，此時，不可能是等腰直角三角形；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有兩個；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有四個；②若不是直角頂點，則.當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點不存在；當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形非直角頂點有四個.綜上所述，當時，滿足是等腰直角三角形的點有八個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有六個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有四個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形的點不存在.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解析】由已知按區域分四步，然后給，，，區域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區域分四步：第一步區域有4種選擇，第二步區域有3種選擇，第三步區域有2種選擇，第四步區域也有2種選擇，則由分步計數原理可得共有種，故答案為：4814、【解析】根據等差數列的求和公式和等差數列的性質即可求出.【詳解】因為等差數列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬于基礎題.15、【解析】分別令和，再將兩個等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點睛】本題考查偶數項系數和的計算，一般令和，通過對等式相加減求得，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】設，表示出，消去y，利用二次函數求最值即可.【詳解】設，則.所以當x=1時，最小.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】(1)由題意首先利用正弦定理邊化角，據此求得，則角C的大小是；(2)由題意結合余弦定理可得，然后利用面積公式可求得△ABC的面積為.試題解析：（1）∵c?cosB+（b-2a）cosC=0，由正弦定理化簡可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，∵0＜A＜π，∴sinA≠0.∴cosC=.∵0＜C＜π，∴C=.（2）由（1）可知：C=.∵c=2，a+b=ab，即a2b2=a2+b2+2ab.由余弦定理cosC==，∴ab=（ab）2-2ab-c2.可得：ab=4.那么：△ABC的面積S=absinC=.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導出平面，，，由此能證明平面（2）推導出，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點，，，平面，平面【小問2詳解】解：解：為劣弧的三等分點（靠近點，為底面圓的直徑，為圓上一點，并且，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，設二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數方程華為普通方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）首先聯立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數方程，（為參數）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.20、，因此.,當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【解析】解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當時，，當時，，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元21、（1）；（2）.【解析】（1）根據二次函數的性質求p為真時a的取值范圍，根據的性質判斷與有交點求q為真時a的取值范圍，進而求p，q均為真時a的取值范圍.（2）根據復合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得