安徽定遠啟明中學2023-2024學年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.182．數列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.3．下列事件：①連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數是（）A.1 B.2C.3 D.44．如圖，是函數的部分圖象，且關于直線對稱，則（）A. B.C. D.5．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是A. B.C. D.6．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.7．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交8．已知圓，為圓外的任意一點，過點引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點．在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.9．已知f(x)是定義在R上的函數，且f(2)=2,，則f(x)＞x的解集是（）A. B.C. D.10．曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等11．已知雙曲線的離心率為，左焦點為F，實軸右端點為A，虛軸上端點為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形12．在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（）A.外心 B.內心C.重心 D.垂心二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.14．過點且與直線垂直的直線方程為______15．設為曲線上一點，，，若，則__________16．已知數列滿足，記，則______；數列的通項公式為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質舉措，優化作業布置，減少家庭作業時間．現為調查學生的家庭作業時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業時間的中位數（中位數結果保留一位小數）；（2）現用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率18．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）已知等比數列的公比，且，是的等差中項.數列的前n項和為，滿足，.（1）求和的通項公式；（2）設，求的前2n項和.20．（12分）設橢圓的左、右焦點分別為，.點滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程.21．（12分）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過，，三點，求橢圓E的標準方程22．（10分）在正方體中，E，F分別是，的中點（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用給定的通項公式直接計算即得.【詳解】因數列的通項公式為，則有，所以.故選：D2、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.3、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點這一事件可能發生也可能不發生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發生也可能不發生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B4、C【解析】先根據條件確定為函數的極大值點，得到的值，再根據圖像的單調性和導數幾何意義得到和的正負即可判斷.【詳解】根據題意得，為函數部分函數的極大值點，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據導數的幾何意義，所以，又因為函數在單調遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據導數的幾何意義所以.即.故選：C.5、C【解析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.6、A【解析】根據三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側面積與圓環的面積之和【詳解】根據三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A7、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據共線定理即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎題.8、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環，利用圓的面積公式可求得結果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質可知，，又因為且，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環，故在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.9、D【解析】構造，結合已知有在R上遞增且，原不等式等價于，利用單調性求解集.【詳解】令，由題設知：，即在R上遞增，又，所以f(x)＞x等價于，即.故選：D10、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點在軸上，長軸長10，短軸長為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8對照選項，則正確故選：【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題11、A【解析】根據三邊的關系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A12、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內心.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進而求得表面積，結合不等式，即可求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當且僅當時，即時最小，即用料最省，此時，可得.故答案為：.14、【解析】先設出與直線垂直的直線方程，再把代入進行求解.【詳解】設與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.故答案為：15、4【解析】化簡曲線方程，得到雙曲線的一支，結合雙曲線定義求出結果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點，且分別為該雙曲線的左、右焦點，則，.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時要先化簡曲線方程，然后再結合雙曲線定義求出結果，較為基礎16、①.②..【解析】結合遞推公式計算出，即可求出的值；證得數列是以3為首項，2為公比的等比數列，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此數列是以3為首項，2為公比的等比數列，則，即，故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；這名學生完成家庭作業時間的中位數約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數為，利用頻率分布直方圖中位數定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數，從而列出所有樣本點，再根據題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業時間的中位數約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率18、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結果【詳解】（1）因為數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.19、（1），（）（2）【解析】（1）等差數列和等比數列的基本量的計算，根據條件列出方程，并解方程即可；（2）數列根據的奇偶分段表示，奇數項通過乘公比錯位相減法克求得前項和，偶數項則是通過裂項求和.【小問1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當時，，當時，，經檢驗，時，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問2詳解】由（1）可知，當n為奇數時，，當n為偶數時，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.20、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點的坐標滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因為，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關鍵是找到關于a，b，c的等量關系，第二問的關鍵是聯立直線與橢圓方程求出交點坐標，利用距離公式建立等量關系，求出c是求出橢圓方程的關鍵.21、【解析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定系數法求出橢圓方程；【詳解】解：（1）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程為2