2024屆云南省丘北縣第二中學數學高二上期末監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.42．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在3．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.4．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－135．下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．數學家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.7．若等比數列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.8．函數的定義域為，其導函數的圖像如圖所示，則函數極值點的個數為（）A.2 B.3C.4 D.59．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.10．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要11．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>012．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，若存在實數使得成立，則的取值范圍是__________.14．展開式的常數項是________15．已知等差數列的公差不為零，若，，成等比數列，則______.16．已知雙曲線的右焦點為，過點作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點.若，則雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和為，且（1）證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使得包括與在內的這個數成等差數列，其公差為，求數列的前n項和18．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）19．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，直線過與交于兩點，的周長為8（1）求的方程；（2）過作直線交于兩點，且向量與方向相同，求四邊形面積的取值范圍21．（12分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由22．（10分）設等差數列的前n項和為，已知（1）求數列通項公式；（2）設，數列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數，例如．當時，求n的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.2、A【解析】應用直線與圓的相離關系可得，再由余弦定理及三角形內角的性質即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.3、A【解析】利用空間向量的三角形法則可得，結合平行六面體的性質分析解答【詳解】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A4、A【解析】根據兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得.故選：A.5、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據不等式性質說明C成立.【詳解】當時，滿足，但不成立，所以A錯；當時，滿足，但不成立，所以B錯；當時，滿足，但不成立，所以D錯；因為所以，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.6、B【解析】根據的三個頂點坐標，先求解出重心的坐標，然后再根據三個點坐標求解任意兩條垂直平分線的方程，聯立方程，即可算出外心的坐標，最后根據重心和外心的坐標使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標為，則線段的垂直平分線的方程為．聯立，解得，則的外心坐標為，故的歐拉線方程是，即故選：B.7、B【解析】利用成等比數列來求得.【詳解】依題意，等比數列的前n項和，，，所以.故選：B8、C【解析】根據給定的導函數的圖象，結合函數的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設導函數的圖象與軸的交點分別為，根據函數的極值的定義可知在該點處的左右兩側的導數符號相反，可得為函數的極大值點，為函數的極小值點，所以函數極值點的個數為4個.故選：C.9、C【解析】求出基本事件總數與正、副隊長不在同一組的基本事件個數，即可求出答案.【詳解】基本事件總數為正、副隊長不在同一組的基本事件個數為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.10、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B11、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B12、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將變形為，令，，分別研究其單調性及值域，使問題轉化為即可.【詳解】由題，，令，則，由，得，由，得，所以在遞減，在遞增，所以，令，則，由，得，由，得，所以在遞增，在遞減，所以，若存在實數使得成立，即存在實數使得成立，即存在實數使得恒成立所以，即，解得，所以取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將所求問題轉為存在實數使得恒成立，結合的值域進一步轉化為存在實數使得恒成立，再只需即可.14、【解析】求出的通項公式，令的指數為0，即可求解.【詳解】的通項公式是，，依題意，令，所以的展開式中的常數項為.故答案為：.15、0【解析】設等差數列的公差為，，根據，，成等比數列，得到，再根據等差數列的通項公式可得結果.【詳解】設等差數列的公差為，，因為，，成等比數列，所以，所以，整理得，因為，所以，所以.故答案為：0.【點睛】本題考查了等比中項，考查了等差數列通項公式基本量運算，屬于基礎題.16、【解析】按題意求得，兩點坐標，以代數式表達出條件，即可得到關于的關系式，進而解得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據公式得到，得到，再根據等比數列公式得到答案.（2）根據等差數列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當時，，得到；當時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數列是首項為，公比為的等比數列，，即，驗證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據三角形面積公式可得，從而可得結果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點O到直線l的距離，所以，解得，即【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系的相關問題，意在考查綜合利用所學知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點A作原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點A為原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，而且，則，，設平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件直接求出半焦距，及長半軸長即可作答.(2)根據給定條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，設出直線l的方程，與橢圓C的方程聯立，借助韋達定理、對勾函數性質計算作答.【小問1詳解】依題意，橢圓半焦距，由橢圓定義知，的周長，解得，，因此橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，由消去并整理得：，則，，因與方向相同，即，又橢圓是以原點O為對稱中心的中心對稱圖形，于是得，即四邊形為平行四邊形，其面積，則，令，則，則，顯然在上單調遞增，則當時，，即，從而可得，所以四邊形面積的取值范圍為.【點睛】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積21、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公式并結合韋達定理計算即可推理作答.【小問1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，即，而半焦距，即有短半軸長，所以橢圓C的標準方程為：【小問2詳解】依題意，設直線l方程為，由消去x并整理得，設，，則，，假定存在點，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當時，，，當時，，，所以存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與