2024屆四川省成都實驗外國語學校數學高二上期末學業質量監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π2．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.13．設為拋物線焦點，直線，點為上任意一點，過點作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定4．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，點是線段的中點，為坐標原點，若，則（）A.3 B.4C.6 D.115．在等差數列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.16．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.7．二項式的展開式中，各項二項式系數的和是（）A.2 B.8C.16 D.328．函數在的最大值是（）A. B.C. D.9．已知是橢圓兩個焦點，P在橢圓上，，且當時，的面積最大，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.10．設為等差數列的前項和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.4811．在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（）A. B.C. D.12．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中項的系數是，則正整數______________.14．在2021件產品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數的數學期望的值是______.15．給定點、、與點，求點到平面的距離______.16．數列的前項和為，若，則=____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答設等差數列的前n項和為，，______；設數列的前n項和為，（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和注：作答前請先指明所選條件，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.19．（12分）如圖，在長方體中，，點E在棱上運動（1）證明：；（2）當E為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時，二面角的大小為？20．（12分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.21．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點為，設過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求線段的長22．（10分）直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進而利用球的表面積計算公式得出結論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數值.【詳解】由題設，，可得或.經驗證不重合，滿足題意，故選：C.3、A【解析】由拋物線方程求出準線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準線為，設，由拋物線的定義可得，因為過點作于，可得，所以，故選：A.4、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因為，所以，因為點分別是線段，的中點，所以是的中位線，所以.故選：A.5、B【解析】根據等差數列下標性質進行求解即可.【詳解】因為是等差數列，所以，故選：B6、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.7、D【解析】根據給定條件利用二項式系數的性質直接計算作答.【詳解】二項式的展開式的各項二項式系數的和是.故選：D8、C【解析】利用函數單調性求解.【詳解】解：因為函數是單調遞增函數，所以函數也是單調遞增函數，所以.故選：C9、A【解析】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標準方程為故選：A10、D【解析】利用等差數列的前項和公式以及等差數列的性質即可求出.【詳解】因為為等差數列的前項和，所以故選：D【點睛】本題考查了等差數列的前項和公式的計算以及等差數列性質的應用，屬于較易題.11、A【解析】以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，然后，列出計算公式進行求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.因為，所以，所以，則點到直線的距離故選：A12、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因為直線在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由已知二項式可得展開式通項為，根據已知條件有，即可求出值.詳解】由題設，，∴，則且為正整數，解得.故答案為：4.14、【解析】設抽到的次品的個數為，則，求出對應的概率即得解.【詳解】解：設抽到的次品的個數為，則，所以所以抽到次品個數的數學期望的值是故答案為：15、【解析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.16、【解析】利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，，（2）【解析】（1）設數列的首項為，公差為d，選①由求解；選②由求解；選③由求解；則，由，利用數列通項與前n項和公式求解；（2）易知，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：設數列的首項為，公差為d，選①得，則，選②得，則，選③得，則，所以數列的通項公式為因為，所以當時，，則當時，，則，所以是以首項為2，公比為2的等比數列，所以【小問2詳解】因為，所以數列的前n項和①②①-②得∴，則18、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據莖葉圖可知1班中位數為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質有、，再根據線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長方體的性質及勾股定理構造方程求即可.【小問1詳解】由題設，連接、，又長方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長方體性質知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時，二面角的大小為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據命題的真假，結合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結果；（2）求得命題為真對應的的范圍，結合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實數k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當p真q假時，或，得，當p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.21、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結合焦點弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點為直線的方程為，即與拋物線方程聯立，得，消，整理得，設其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若