指數冪運算與冪函數指數冪運算與冪函數學習目標學習目標第7講冪運算與冪函數 學習目標掌握分式指數冪的概念，理解分數指數冪的運算性質．掌握根式的概念，能進行分數指數冪與根式的互化．通過實例，了解冪函數的概念．了解幾種不同類型冪函數的圖象和變化情況．會應用冪函數的性質解決一些簡單問題．直擊課堂直擊課堂指數冪運算與冪函數-直擊課堂知識引航第7講冪運算與冪函數 知識引航冪的概念的形成是相當曲折和緩慢的．我國古代，冪字至少有10種不同的寫法，最簡單的是“冖”．“冪”用巾來覆蓋．《說文解字》解釋說：“冖，覆也，從一下垂也．”用一塊方形的布蓋東西，四角垂下來，就成“冖”的形狀．將這意義加以引申，凡是方形的東西也可叫做冪．再進一步推廣，矩形面積或兩數的積(特別是一個數自乘的結果)也叫做冪．這種推廣是從劉徽開始的．劉徽在263年為《九章算術》作注，在“方田”章求矩形面積法則下面寫道：“此謂田冪”．他還說，長和寬相乘的積叫冪．這是在數學文獻中第一次出現冪．在“勾股”章中，劉徽表述勾股定理為：“勾股冪合以成弦冪．”邊自乘的結果或正方形面積．300冪字．1607年，利馬竇和徐光啟合譯歐幾里得《幾何原本》，在譯本中徐光啟重新使用了冪字．他說：“自乘之數曰冪．”這是第一次給冪這個概念下定義．另一方面，冪的概念的形成還受到國外的影響．1591年，法國數學家韋達的代數名著《分析方法入門》中曾經用拉丁文字表達“冪”，以后譯成英文相當于“power”．1935年，我國出版《數學名詞》，把“power”譯成“冪”，這個術語從此才算確定下來．模塊1：指數冪運算素材 knowledgecombing第7講冪運算與冪函數 模塊一 指數冪運算【知識點睛】整數指數冪整數指數冪的法則m n

mn mn

m?n

m mm①a ?a=

；②(a)=a ；③ =an

(a=

=a

．(m,n為整數)零指數冪和負整數指數冪規定如下：a0=1(a=0),a?n分數指數冪(1)方根概念的推廣：

1(a=0,n∈N+)an如果存在實數x，使得xn=a(a∈R,n>1,n∈N+)，那么x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a開n次方，稱作開方運算．【注意】當na有意義時，na叫做根式，n叫做根指數．當a0時：0的任何次方根都是0n00．當a 0時：為偶數時：a>0：次方根有兩個na,?na；②a<0：無偶次方根．n為奇數時：n次方根na唯一存在，正負與a相同．(2)na)na(n1nN+)(當為偶數時，必須有a0，否則沒有意義)；當為奇數時，nana；當n為偶數時，nan=∣a∣．若加上限制條件a0，此時對任意nN+，都有na)n=nana．1正分數指數冪1n an= a(a>0)；an=(na)m=nam(a>0,m,n∈N+，m，互質n =負分數指數冪=na?n

1(a>0,m,n∈manm

+，m，n互質)有理數指數冪的運算法則(a0b0rsQ)①aras=ar+s；②(as)r=ars無理數指數冪(閱讀)

=(ar)s；③(ab)r=arbr．通過上面分數指數冪的學習，我們將指數的取值范圍由整數推廣到了有理數，那么當指數是無理數時，我們又應當如何理解它？比如52．我們現在還不能給出無理指數冪嚴格的定義，只能通過一個具體的例子進行感性的認識．52是一個確定的實數，我們可以通過

2的不足近似值與過剩近似值去近似的去計算它的值，如下：由上表我們知道，當

2的過剩近似值從大于

2的方向逼近

2時，52的近似值從大于52的方向逼近52；當 2的不足近似值從小

2的方向逼近

2時，52的近似值從小于52的方向逼近52．一般地，當a>0，α是無理數時，aα都有意義，且有理指數冪的運算法則在無理數指數冪中仍然成立．于是，對于實數指數冪，我們有：當a0，α為任意實數值時，實數指數冪aα都有意義．有理指數冪的運算法則在實數指數冪中則仍然成立．1例題111化簡或求值：(a?b)0(a=b)．1 ?32化簡或求值：?2) ．33化簡或求值：(2x)?3(x=0)．考法：【達標測試】式變式88C.D.?83B.1A.74)2?)的值為(231?31?) ?(341(?2)+(?2)+(?1( 2計算：4+20? 1( 16

2．2例題2②②3(?2)3．③ ．④4(?8)4．⑤ ?y)2．⑥3?π)3．)1計算：①(5?325．考法：【達標測試】式變式1已知a<1，則4?化簡的結果是( )78%4A. 4a?1B.?4a?1C. 1?4aD.?1?4a3例題3．81．8114?3162?12①273= ；②25 = ；③( ) = ；④1212=1計算下列各式．635D.?232C.?221B.?21A.?2)23?22化為分數指數冪的形式為(3化簡：a

32?a163a6

=( )49%a?23考法：【達標測試】1式變式55D.15C.45B.16A.3)4?112)2?(0.01)0.5=(5?2032)+2 ×(1計算：(2化簡?3

b>0,b>的結果為( )56%ab241434?14模塊2：冪函數的概念素材 knowledgecombing第第7講冪運算與冪函數 模塊二冪函數的概念【知識點睛】冪函數的概念一般地，形如y=xα,α∈R的函數稱為冪函數，其中α為常數．冪函數的特征xα的系數為1；xα的底數是自變量x，指數α為常數；4例題4．．其中是冪函數的有4⑤y3x；⑥yax(a為常數x)4．23x；④y=x+1；x12①y=x；②y=()；③y=51下列函數：考法：【達標測試】式變式1請判斷下列函數是冪函數的有 個．①y=?1)2；②y=2x；③y=2x2；④y=?x；⑤y=(?x)2．55%例題5 nn?3是冪函數，求m、n的值．1m?2)xm?1+22m+21已知y=(考法：【達標測試】變式 ))1已知函數f3xm2?4m+3，當取(2?22或?21模塊3：冪函數的圖象與性質素材 knowledgecombing第7講冪運算與冪函數 模塊三 冪函數的圖象與性質1【知識點睛】11y=xα(α=1,2,3,2,1)的圖象12冪函數y=xα(α=1,2,3, ,1)的性質12冪函數的圖象和性質：(1)所有的冪函數在區間(0,+∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．若α0，則冪函數的圖象過原點，并且在區間[0上是增函數．若α0，則冪函數在區間(0上是減函數，在第一象限內，當x從右邊趨于0時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸；當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸．(4)冪函數的奇偶性：設冪函數y=xα(α

=q,p,q∈Z且p,q互質)，p若p,q同時為奇數，則冪函數y=xα是奇函數．若p為奇數，q為偶數，則冪函數y=xα是偶函數．若p為偶數，則q為奇數，此時冪函數y=xα既不是奇函數也不是偶函數．畫冪函數圖象的步驟確定定義域；判斷函數在第一象限的單調性；畫出第一象限的圖象；根據奇偶性補出剩余圖象．6例題6mm>n>pm>p>nn>p>mp>n>m)1冪函數y=xm,y=xn,y=xp的圖象如圖所示，以下結論正確的是(考法：【達標測試】式變式1已知冪函數y=xα中的α分別為

13,2,

，則它們對應的圖象依次是( )80%C2,C1,C3C1,C3,C2C3,C2,C1C1,C2,C37例題751函數y=x4的圖象是( )47%A.B.C.D.變式 41函數y=x3的圖象是( )A.B.C.D.模塊4：課堂總結素材 knowledgecombing指數冪運算與冪函數指數冪運算與冪函數-課堂總結模塊5：秋季你會遇見8例題8．．4 ?4a?a+a?3)+a?2?3)?22?11已知a>0，且a?a =3，求值+a ；②素材 knowledgecombing指數冪運算與冪函數指數冪運算與冪函數-秋季你會遇見【點石成金】暑期我們學習的冪運算，只是進行簡單的運算，秋季會涉及到代數變形技巧，利用到平方和公式等，需要我們對問題進行分析變形到題目中已知條件，進行化簡求值！模塊6：理科大視野理科大視野為了更好地了解世界，人們常常用數學（例如，使用函數或方程）來描述某種特定現象.這種數學模型是現實世界現象的理想化，但永遠不會是完全精確的表示，盡管任何模型都有其局限性，但是好的模型能夠提供有價值的結果和結論理科大視野為了更好地了解世界，人們常常用數學（例如，使用函數或方程）來描述某種特定現象.這種數學模型是現實世界現象的理想化，但永遠不會是完全精確的表示，盡管任何模型都有其局限性，但是好的模型能夠提供有價值的結果和結論.在對現實對象進行建模時，人們常常對預測未來某個時刻變量的值感興趣.變量可能是人口、房地產的價值或患有一種傳染病的人數.數學模型常常能夠幫助人們更好地了解一種行為或規劃未來.可以把數學模型看做為了研究一種特定的實際系統或人們感興趣的行為而設計的數學結構.從模型中，人們能得到有關該行為的數學結論，而闡明這些結論有助于決策規