必備知識預案自診【知識梳理】

1.等差數列的概念一般地,如果數列{an}從第

項起,每一項與它的前一項之差都等于

,即

恒成立,則稱{an}為等差數列,其中d稱為等差數列的

.

2.等差數列的通項公式及其推廣若等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=

.該式可推廣為an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

2同一個常數dan+1-an=d

公差

a1+(n-1)d3.等差數列通項公式與函數的關系an=a1+(n-1)d可化為an=nd+a1-d的形式.如果記f(x)=dx+a1-d,則an=f(n),而且(1)當公差d=0時,f(x)是常數函數,此時數列{an}是常數列(因此,公差為0的等差數列是常數列);(2)當公差d≠0時,f(x)是一次函數,而且f(x)的增減性依賴于公差d的符號,因此,當d>0時,{an}是遞增數列;當d<0時,{an}是遞減數列.這也說明,當用直角坐標系中的點來表示等差數列時,所有的點一定在一條直線上.4.等差中項如果x,A,y是等差數列,那么稱A為x與y的

,且A=

.

在一個等差數列中,中間的每一項(既不是首項也不是末項的項)都是它的前一項與后一項的等差中項.5.等差數列的性質一般地,如果{an}是等差數列,而且正整數s,t,p,q滿足s+t=p+q,則as+at=

.

①特別地,當p+q=2s時,ap+aq=2as.②對有窮等差數列,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的

,即等差中項

ap+aq

和

6.等差數列的前n項和公式

已知量首項、末項與項數首項、公差與項數求和公式Sn=

Sn=

7.等差數列前n項和Sn的性質(1)等差數列{an}中,其前n項和為Sn,則{an}中連續的n項和構成的數列Sn,

,S3n-S2n,

,…構成等差數列.

(2)數列{an}是等差數列?Sn=

(A,B為常數).

S2n-SnS4n-S3n

An2+Bn常用結論【考點自診】

1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列是等差數列.(

)(2)已知數列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數),則數列{an}一定是等差數列.(

)(3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為關于n的一次函數.(

)(4)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈

N*

,都有2an+1=an+an+2.(

)(5)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的.(

)(6)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數.(

)×√×√√×2.設數列{an}是等差數列,其前n項和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于(

)A.31 B.32 C.33 D.34答案

B

3.(多選)(2021山東威海高三一模)等差數列{an}的前n項和記為Sn,若a1>0,S10=S20,則(

)A.d<0 B.a16<0C.Sn≤S15 D.當且僅當n≥32時,Sn<0答案

ABC

解析因為S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因為a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正確;S31==31a16<0,故D錯誤.故選ABC.4.(2019全國3,理14)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a1≠0,a2=3a1,則

=

.

答案

4

5.(2019北京,理10)設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=

,Sn的最小值為

.

答案

0

-10

解析

在等差數列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差數列{an}的性質得當n≤5時,an≤0,當n≥6時,an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為-10.關鍵能力學案突破考點1等差數列中基本量的求解【例1】

(1)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6(2)若等差數列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)(2020全國2,文14)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

答案

(1)C

(2)B

(3)25

解析(1)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵數列{an}為等差數列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法2)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴等差數列的公差為d=am+1-am=3-2=1.(方法3)∵數列{an}為等差數列,且前n項和為Sn,(3)設等差數列{an}的公差為d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.∴S10=10a1+d=-20+45=25.解題心得1.等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解.2.等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現了用方程組解決問題的思想.3.減少運算量的設元的技巧,若三個數成等差數列,可設這三個數分別為a-d,a,a+d;若四個數成等差數列,可設這四個數分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d.對點訓練1(1)設等差數列{an}的前n項和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=(

)A.9 B.10 C.11 D.15(2)(2019江蘇,8)已知數列{an}(n∈N*)是等差數列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是

.

答案

(1)B

(2)16

(2)∵{an}為等差數列,設公差為d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.考點2等差數列的判定與證明(1)證明

當n≥2時,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,變式發散(1)本例條件不變,判斷數列{an}是否為等差數列,并說明理由.(2)將本例條件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=”變為“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,問題不變,試求解.(2)①證明

當n≥2時,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,

對點訓練2(2017全國1,文17)設Sn為等比數列{an}的前n項和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數列.考點3等差數列的性質及應用 (多考向探究)考向1

等差數列項的性質及應用【例3】

(1)在等差數列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,則數列{an}的前9項的和S9等于(

)A.66 B.99 C.144 D.297答案

(1)B

(2)BC

解析(1)由等差數列的性質得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,(2)由題意可得,因為數列{an}是等差數列,所以設數列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d,則a2n=a1+(2n-1)d,對點訓練3(2020貴州貴陽普通中學期末檢測)在等差數列{an}中,若a2+a8=8,則(a3+a7)2-a5=(

)A.60 B.56 C.12 D.4答案

A

解析∵在等差數列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故選A.考向2

等差數列前n項和的性質答案

(1)C

(2)A