第十九講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

-------------------------------------------------------------------------------------------漫畫中的分?jǐn)?shù)有、和，它們的分子都是1．這樣分?jǐn)?shù)我們稱之為單位分?jǐn)?shù)．每個分?jǐn)?shù)都可以拆成若干個分母不同的單位分?jǐn)?shù)之和，比如：，，．我們來研究一下兩個單位分?jǐn)?shù)的和與差有什么性質(zhì)．看下面的例子．我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)果的分母都是單位分?jǐn)?shù)分母的乘積，分子一個是單位分?jǐn)?shù)分母的和，另一個是單位分?jǐn)?shù)分母的乘積．那反過來，如果一個分?jǐn)?shù)可以寫成或者的形式，我們就可以把這個分?jǐn)?shù)拆成兩個單位分?jǐn)?shù)的和或者差．這個拆分的過程叫做“裂和”和“裂差”．裂和：；裂差：．在以前的學(xué)習(xí)中，我們接觸了很多分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧．這些技巧雖然強(qiáng)大，但能夠用來處理分?jǐn)?shù)數(shù)列的并不太多．這一講，我們將要接觸一類分?jǐn)?shù)數(shù)列的問題，利用裂項(xiàng)的技巧，可以將這類看似很復(fù)雜的題目輕松的解決．-------------------------------------------------------------------------------------------例題1．（1）計算：；

（2）計算：．「分析」觀察題中的式子，如果按常規(guī)的方法把它們通分，會相當(dāng)繁瑣．觀察各項(xiàng)分母，每一項(xiàng)都是兩個自然數(shù)的乘積，而分子都是分母兩個乘數(shù)的差，那么我們能不能利用分?jǐn)?shù)拆分的方式將算式做一個變形，使運(yùn)算變的簡單呢？練習(xí)1．（1）計算：；

（2）計算：．-------------------------------------------------------------------------------------------利用裂項(xiàng)，將算式中的分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱郑蛊渲幸徊糠挚梢韵嗷サ窒梢赃_(dá)到簡化計算的效果．但裂項(xiàng)并非萬能，只有具備一定特點(diǎn)的算式才能裂項(xiàng)．因此，大家在學(xué)習(xí)裂項(xiàng)時，必須注意以下幾點(diǎn)：（1）要弄清具有何種特征的算式可以裂項(xiàng)；（2）要根據(jù)題目的具體情況，靈活選用合適的裂項(xiàng)方法，切忌生搬硬套；（3）裂項(xiàng)相消之后究竟哪些項(xiàng)消去了，哪些項(xiàng)留下來了，必須一清二楚．只有把握住這三點(diǎn)，才能準(zhǔn)確的把握這一技巧．希望大家在下面的學(xué)習(xí)中細(xì)心體會．-------------------------------------------------------------------------------------------例題2．（1）計算：；

（2）計算：．「分析」我們發(fā)現(xiàn)，每個分?jǐn)?shù)的分母還是兩個自然數(shù)的乘積，但是分子卻不是這兩個自然數(shù)的差．這樣的情況我們應(yīng)該怎么去拆分分?jǐn)?shù)呢？

練習(xí)2．（1）計算：；

（2）計算：．

例題3．計算：．「分析」觀察各項(xiàng)分母，是連續(xù)奇數(shù)順次首尾相連的形式．但與前面兩題不同的是，本題各項(xiàng)分子并不相同，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，，，…，，現(xiàn)在分子等于分母中兩個乘數(shù)的和，那我們能不能像例題1一樣，對算式進(jìn)行拆分呢？

練習(xí)3．計算：．

-------------------------------------------------------------------------------------------通過前面的例題，同學(xué)們知道對于很有特點(diǎn)的分?jǐn)?shù)算式，是可以采用裂項(xiàng)的方式來簡化計算的．請同學(xué)們觀察下面的算式，能從中發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律呢？-------------------------------------------------------------------------------------------例題4．（1）；

（2）．「分析」第（1）小題都是一些帶分?jǐn)?shù)，可以將整數(shù)部分和小數(shù)部分分開來計算．其中整數(shù)部分就是一個等差數(shù)列，那分?jǐn)?shù)部分呢？雖然第（2）小題每個分?jǐn)?shù)的分母與第（1）小題相同，但分子卻有著不一樣的規(guī)律，而且運(yùn)算符也是加減交錯的．在這種情況下，裂項(xiàng)又該如何進(jìn)行呢？練習(xí)4．（1）；

（2）．

-------------------------------------------------------------------------------------------例4和練4的兩道題，第1題是裂差形式的裂項(xiàng)，第2題是裂和形式的裂項(xiàng)．它們有著共同之處：首先，分母能寫成兩數(shù)相乘的形式，其次，這些乘數(shù)“首尾順次相連”．如果算式中分?jǐn)?shù)之間符號相同，都是加號或者都是減號，那就用裂差；如果算式中分?jǐn)?shù)之間有加號也有減號，那就用裂和．-------------------------------------------------------------------------------------------例題5．（1）；

（2）．「分析」雖然本題的各項(xiàng)分母都具備了裂項(xiàng)的特征，但分子也是算式，很難直接用分母中各乘數(shù)相加減的形式表示出來．這種情況下，我們不妨將前幾個分?jǐn)?shù)算出來，找一下規(guī)律．---------------------------------------------------------------------分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題型非常多，前面我們學(xué)到的只是一些比較基本的類型．下面來看一些較復(fù)雜的題型．-------------------------------------------------------------------------------------------例題6．計算：．「分析」每個分?jǐn)?shù)的分母不再是兩個自然數(shù)的乘積了，而是三個，這樣的情況應(yīng)該怎么處理呢？不妨聯(lián)想一下整數(shù)裂項(xiàng)的處理方法．

南極為什么會有恐龍?jiān)谶@一章里，我們經(jīng)常對分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)和重組．其實(shí)在自然界里，分裂和重組的現(xiàn)象也無處不在．下面就是一個例子．南極洲位于地球的最南端．那里氣溫寒冷，冰雪常年覆蓋，除了企鵝外，我們很難看到其它生物的蹤影．然而你能想象嗎？在如此寒冷的地方，科學(xué)家們居然發(fā)現(xiàn)了恐龍的化石！實(shí)際上，恐龍只適宜生活在溫帶和熱帶，它們是怎么越過大洋，到南極大陸去了呢？要回答這一問題，我們必須先了解一些關(guān)于地球的知識．幾十年前，人們發(fā)現(xiàn)地殼是由一些緊密拼合在一起但又在緩慢運(yùn)動的大板塊構(gòu)成的．可以這樣比喻，板塊背上馱著許多大陸，當(dāng)板塊向一個或另一個方向運(yùn)動時，大陸也隨之一起運(yùn)動．每隔一段時期，板塊會將所有的大陸匯合在一起，地球此時僅由一個主要陸地構(gòu)成，稱為“泛大陸”．當(dāng)板塊繼續(xù)運(yùn)動時，大陸又重新分裂．在四十多億年的地球發(fā)展史中，泛大陸分裂和重組過多次，最后一次完整的泛大陸是在約2.25億年前形成的．早期恐龍?jiān)谀菚r已經(jīng)開始出現(xiàn)，并且有機(jī)會分散到泛大陸的各個地方．大約在兩億年前，泛大陸分裂成四部分．北部就是現(xiàn)在的北美、歐洲和亞洲，南部是由現(xiàn)在的南美和非洲構(gòu)成，最南部是現(xiàn)在的南極洲和澳大利亞，印度是剩余的一小部分．隨著時間的流逝，北美又與亞洲和歐洲分裂開，南美也與非洲相離．（如果看一張地圖，并假定把非洲和南美洲拼合在一起，你就會看到它們拼合得多么天衣無縫！）印度向北移動，并且大約在5000