24.2.2

直線和圓的位置關系第二十四章

圓人教版九年級數學上第1課時

直線和圓的位置關系點和圓的位置關系有幾種？d

<

rd

=

rd

>

r

用數量關系如何來判斷呢？(設

OP

=

d

)知識回顧(1)點在圓內(2)點在圓上(3)點在圓外rdrrPPPOOOdd觀賞視頻點擊視頻開始播放問題1

如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那你能根據直線和圓的公共點個數想象一下，直線和圓有幾種位置關系嗎？用定義判斷直線與圓的位置關系問題2

請同學在紙上畫一條直線

l，把圓塊的邊緣看作圓，在紙上移動圓塊，你能發現直線和圓的公共點個數的變化情況嗎？公共點個數最少時有幾個？最多時有幾個？l02●●●圖形

公共點個數

直線與圓的位置關系

公共點名稱

直線名稱2個交點割線1個切點切線0個相離相切相交位置關系公共點個數填一填直線和圓有唯一的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線（如圖中的直線

l），這個唯一的公共點叫做切點（如圖中的點

A）.AlO知識要點

直線與圓最多有兩個公共點.（

）②

若直線與圓相交，則直線上的點都在圓上.（

）③

若

A是☉O

上一點，則直線

AB

與☉O

相切.（

）④

若

C為☉O外一點，則過點

C的直線與☉O相交或相離.

（

）⑤

直線

a

和☉O

有公共點，則直線

a

與☉O

相交.（

）√××××判一判問題1

剛才同學們用圓塊移近直線的過程中，除了發現公共點的個數發生了變化外，還有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數量關系呢？相關知識：

點到直線的距離是指從直線外一點(A)到直線(l)的垂線段(OA)的長度.lAO用數量關系判斷直線與圓的位置關系圓心到直線的距離在發生變化；首先距離大于半徑，而后距離等于半徑，最后距離小于半徑.

怎樣用圓心到直線的距離

d來判定直線

l與⊙O的位置關系呢？O思考：dl直線和圓相交d<r直線和圓相切d=r直線和圓相離d>rrd∟rd∟rd數形結合：位置關系數量關系用圓心

O到直線的距離

d

與圓的半徑

r

的大小來判定：OOO直線與圓的位置關系的性質與判定的區別：位置關系

數量關系.公共點個數要點歸納1.已知圓的半徑為

6cm，設直線和圓心的距離為

d.(3)若

d=8cm，則直線與圓______，直線與圓有____個公共點.

(2)若

d=6cm，則直線與圓______，直線與圓有____個公共點；(1)若

d=4cm，則直線與圓

，直線與圓有____個公共點；相交相切相離210練一練(3)若

AB

和⊙O

相交，則

.2.已知⊙O的半徑為

5cm，圓心

O

與直線

AB

的距離為

d，根據條件填寫

d的范圍：(1)若

AB和⊙O

相離，則

；

(2)若

AB

和⊙O

相切，則

；d＞5cmd=

5cm0cm≤d＜5cm

例1

在Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3cm，BC

=

4cm，以

C

為圓心，r

為半徑的圓與直線

AB

有怎樣的位置關系？為什么？(1)r

=

2cm；(2)

r

=

2.4cm；(3)

r

=

3cm．BCA43分析：要判定

AB與⊙C

的位置關系，只要知道圓心

C

到

AB

的距離

d

與

r的大小關系.已知

r，只需求出

C

到

AB

的距離

d.D典例精析解：過

C作

CD⊥AB，垂足為

D.在△ABC中，根據三角形的面積公式有即圓心

C到

AB

的距離

d

=

2.4cm.(1)當

r=2cm時，有

d>r，因此⊙C

和

AB

相離；BCA43Dd注：斜邊上的高等于兩直角邊長的乘積除以斜邊長.(2)當

r=2.4cm時，有

d=r，因此⊙C和

AB相切；BCA43Dd(3)當

r

=

3cm

時，有

d<r，因此⊙C

和

AB

相交.BCA43Dd變式題：

1.Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

為圓心畫圓，當半徑

r

為何值時，圓

C與線段

AB

沒有公共點？當0cm＜r＜2.4cm

或r＞4cm時，⊙C

與線段

AB

沒有公共點.ABCD45332.Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

為圓心畫圓，當半徑

r

為何值時，圓

C與線段

AB

有一個公共點？當半徑

r

為何值時，圓

C與線段

AB

有兩個公共點？當

r=2.4cm或3cm＜r≤4cm

時，⊙C

與線段

AB

有一個公共點；當2.4cm＜r≤3cm時，⊙C

與線段AB

有兩公共點.ABCD4533直線與圓的位置關系定義性質判定相離相切相交公共點的個數d與

r的數量關系定義法性質法特別提醒：若圖中沒有

d要先作出該垂線段相離:0個;相切:1個;相交:2個相離：d>r相切：d=r相交：d<r0個：相離；1個：相切；2個：相交d>r：相離；d=r：相切；d<r：相交24.2.2

直線和圓的位置關系第二十四章

圓人教版九年級數學上第2課時

切線的判定與性質知識回顧圖形

公共點個數

直線與圓的位置關系

公共點名稱

直線名稱2個交點割線1個切點切線0個相離相切相交位置關系公共點個數情境引入轉動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的.

生活中常看到切線的實例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學完這節課，你就都會明白.ABC問題：已知圓

O上一點

A，怎樣根據圓的切線定義過點

A

作圓

O

的切線？觀察：（1）圓心

O

到直線

AB

的距離和圓的

半徑有什么數量關系?（2）二者位置有什么關系？為什么？切線的判定定理O

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC⊥OA于ABC為⊙O的切線ABC切線的判定定理應用格式O要點歸納

在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？(1)不是，因為沒有垂直.(2)(3)不是，因為沒有經過半徑的外端點

A.判一判注意O.AO.ABAO(1)(2)(3)判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線；2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即

d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點歸納OO例1

如圖，線段

AB是☉O的直徑，直線

AC與

AB交于點

A，∠ABC=45°，且

AB=AC.求證：AC是☉O的切線.分析：直線AC經過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AC即可.證明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，即

AB⊥AC.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB例2

已知直線

AB

經過

⊙O

上的點

C，并且

OA

=

OB，

CA

=

CB.求證：直線

AB

是

⊙O

的切線.OBAC證明：連接

OC.∵OA

＝

OB，CA

＝

CB，∴OC

是等腰△OAB

底邊

AB

上的中線.

∴OC⊥AB.

∵OC

是

⊙O

的半徑，∴AB

是

⊙O

的切線.分析：由于

AB

過⊙O

上的點

C，所以連接

OC，只要

證明

AB⊥OC

即可.

當已知直線過圓上的一點時，連接圓心和該點得到圓的半徑，然后證明直線與這條半徑垂直，即可得出已知直線為圓的切線.方法總結例3

如圖，在Rt△ABC

中，∠ABC=90°，∠BAC的平分線交

BC于

D，以

D為圓心，DB長為半徑作⊙D．求證：AC是⊙O的切線．BCDAE證明：如圖，過

D作

DE⊥AC于

E.∵∠ABC

=90°，∴DB⊥AB.又∵

AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB=r.∴AC是⊙O的切線.

當未提及直線與圓有公共點時，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段等于半徑，即可得出已知直線為圓的切線.方法總結(1)

有交點，連半徑，證垂直；證切線時輔助線的添加方法要點歸納(2)

無交點，作垂直，證半徑.例3例2思考：如圖，如果直線

l是⊙O

的切線，點

A

為切點，那么

OA

與

l

垂直嗎？AlO∵直線

l是⊙O

的切線，A

是切點，∴直線

l⊥OA.切線的性質定理切線的性質

圓的切線垂直于經過切點的半徑．應用格式（1）假設

AB與

CD

不垂直，過點

O作

OM⊥CD，垂足為

M；理由是：直徑

AB與直線

CD要么垂直，要么不垂直.（2）則

OM＜OA，即圓心到直線

CD

的

距離小于⊙O

的半徑，因此，CD

與⊙O

相交.

這與已知條件“直線

與⊙O

相切”相矛盾；CDBOA（3）所以假設不成立，故

AB

與

CD

垂直.M證法：反證法性質定理的證明例4

如圖，PA

是⊙O

的切線，切點為

A，PO

的延長線交⊙O

于點

B，連接

AB.若∠B

=

25°，求∠P

的度數.BOPA解：如圖，連接

OA.∵PA

是⊙O

的切線，∵∠AOP=2∠B

=50°，∴∠P

=90°

-

50°

=40°.∴∠OAP=90°.1.如圖①，在⊙O中，OA、OB為半徑，直線

MN與⊙O相切于點

B.若∠ABN=30°，則∠AOB=

°.

2.如圖②，AB為⊙O的直徑，D為

AB延長線上一點，DC與⊙O相切于點

C，∠DAC=30°.

若⊙O的半徑長1cm，則

OD=

cm.60練一練

圖①圖②

利用切線的性質解題時，常需作輔助線，一般連接圓心與切點，構造直角三角形，再利用直角三角形的相關性質解題.方法總結例5

如圖，△ABC

為等腰三角形，O是底邊

BC的中點，腰

AB

與⊙O相切于點

D．求證：AC

是⊙O的切線．分析：判定切線，無切點，則作垂直(OE)，證半徑(OE=OD)；由

AB與⊙O相切于點

D，得

OD⊥AB；再根據等腰三角形的性質以及角平分線的性質，即可得出結論.EBOCDA證明：如圖，連接

OD，OA，過

O作

OE⊥AC于

E.∵⊙O與

AB相切于

D，∴OD⊥AB.又∵△ABC為等腰三角形，O是

BC的中點，∴AO平分∠BAC.∴OE=OD.∵OD是⊙O

的半徑，∴點

O到AC的距離等于⊙O的半徑.∴AC是⊙O的切線．EBOCDA有切線時常用輔助線添加方法見切點，連半徑，得垂直.切線的其他重要結論(1)

經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；(2)經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.要點歸納切線的判定方法定義法數量關系法判定定理1個公共點，則相切d=r，則相切經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性質證切線時常用輔助線添加方法：①有公共點，連半徑，證垂直；②無公共點，作垂直，證半徑.有

1個公共點d=r性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑有切線時常用輔助線添加方法：見切線，連切點，得垂直.24.2.2

直線和圓的位置關系第二十四章

圓人教版九年級數學上第3課時

切線長定理及三角形的內切圓情境引入

同學們玩過抖空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？

問題1

上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線(如下圖所示)，如果點

P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？切線長定理及應用互動探究POBAO.PABP1.切線長的定義：

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．AO①

切線是直線，不能度量；②

切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是

圓外一點和切點，可以度量．2.切線長與切線的區別在哪里？知識要點問題2PA

為☉O的一條切線，沿著直線

PO

對折，設圓上與點

A

重合的點為

B．

OB

是☉O的一條半徑嗎？PB

是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）

PA、PB

有何關系？∠APO

和∠BPO

有何關系？OPAB切線長定理：

過圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.PA、PB分別切

☉O于

A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新

的方法.注意要點歸納BPOAO.P已知：如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點.求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA、PB

是☉O

的兩條切線，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗證AB∴OA⊥PA，OB⊥PB.

若連接兩切點

A、B，AB交

OP于點

M.你又能得出

什么新的結論?請給出證明.解：OP垂直平分

AB.證明：∵

PA，PB是

⊙O的切線，點

A，B是切點，∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.∴

OP垂直平分

AB.M想一想：OPAB例1

已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點E、F、G、H.求證：AB+CD=AD

+BC.證明：∵AB、BC、CD、DA與

⊙O分別相切于點E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即

AB+CD=AD+BC.典例精析變式訓練如圖，四邊形

ABCD

是☉O的外切四邊形，且

AB

=

10，CD

=

15，則四邊形

ABCD

的周長為______．50·ABCDO例4

為了測量一個圓形鐵環的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為

30°

的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環的半徑.若三角板與圓相切且測得

PA

=

5

cm，求鐵環的半徑．OBC解析：取圓的圓心為O，連接

OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在

Rt△OPA

中由勾股定理易求得半徑．在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.即鐵環的半徑為∴OA=2PA=10.解：設鐵環的圓心為O，連接

OP、OA.∴OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.OBC5

∵AP、AB為

⊙O的切線，∴OP=∴∠POA＝30°.

切線長定理包括線段相等和角相等兩個結論，解題時應有選擇地應用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關系的重要依據.方法歸納BPOA

PA、PB是

☉O的兩條切線，A，B是切點，OA=3.（1）若

AP=4，則

OP=

；（2）若∠BPA=60°，則

OP=

.56練一練

小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法互動探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切問題2如何求作一個圓，使它與三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為

r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么

圓心

I應滿足什么條件？(2)在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心

I呢？

圓心

I到三角形三邊的距離相等，都等于

r.為什么呢？三角形三條角平分線交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？圓心

I應是三角形的三條角平分線的交點.已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓

O.做一做MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分線

BM和

CN，交點為

O.2.過點

O作OD⊥BC，垂足為

D.3.以O為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI☉I是△ABC的內切圓，點

I是△ABC的內心，△ABC是☉I的外切三角形.知識要點三角形的內心的性質問題1如圖，☉O是△ABC的內切圓，那么

AO、BO、CO有什么特點？互動探究AO、BO、CO分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACOBACO問題2如圖，☉O是△ABC的內切圓，過點

O分別作

AB、AC、BC的垂線，垂足分別為

E、F、G，那么線段

OE、OF、OG之間有什么數