3.2

用頻率估計概率第三章概率的進一步認識

舊知回顧1．甲、乙玩轉盤游戲時，把質地相同的兩個轉盤A、B平均分成2份和3份，并在每一份內標有數字如圖．若同時轉動兩個轉盤各一次，當轉盤停止后，指針所在區域的數字之和為偶數的概率是______2．在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓的圖案，現將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為(

)A.

B.

C.

D.D自學互研用頻率估計概率問題1投擲一枚質地均勻的硬幣時，結果正面向上的概率是多大？答：問題2周末，縣體育館有一場精彩的籃球比賽，小亮手中有一張球票，小強和小明都是班上的籃球迷，兩人都想去，小亮很為難，不知給誰，請大家幫小亮想個辦法解決這個問題．方案_________________________________________________________________________________反面朝上，小明獲得球票．投擲硬幣，若正面朝上，小強獲得球票；若問題3為什么要用投擲硬幣的方法呢？理由：____________________________________________________________________________________________________________這樣做公平．能保證小強和小明得到球票的可能性一樣大，即得票概率相同．如果擲硬幣機會均等，若投擲10次硬幣，是否一定是5次正面向上？投擲50次、100次、400次……？問題4活動1

擲硬幣試驗(1)拋擲一枚均勻硬幣400次，每隔50次記錄“正面朝上”的次數，并算出“正面朝上”的頻率，完成下表：累計拋擲次數50100150200250300350400“正面朝上”的頻數“正面朝上”的頻率2346781021231501752000.460.460.520.510.490.500.500.50(2)根據上表的數據，在下圖中畫統計圖表示“正面朝上”的頻率.頻率試驗次數試驗次數越多頻率越接近0.5，即頻率穩定于概率.頻率試驗次數(3)在上圖中，用紅筆畫出表示頻率為的直線，你發現了什么？(4)下表是歷史上一些數學家所做的擲硬幣的試驗數據，這些數據支持你發現的規律嗎？試驗者拋擲次數n“正面向上”次數m“正面向上”頻率()棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005支持歸納總結

通過大量重復試驗，可以用隨機事件發生的頻率來估計該事件發生的概率.活動2從一定高度落下的圖釘，著地時會有哪些可能的結果？其中頂帽著地的可能性大嗎？做做試驗來解決這個問題.圖釘落地的試驗試驗累計次數20406080100120140160180200釘帽著地的次數(頻數)91936506168778495109釘帽著地的頻率(%)4547.56062.561575552.55354.5試驗累計次數220240260280300320340360380400釘帽著地的次數(頻數)122135143155162177194203215224釘帽著地的頻率(%)5556.25555554555756.456.656(1)選取20名同學，每位學生依次使圖釘從高處落下20次，并根據試驗結果填寫下表.56.5(%)(2)根據上表畫出統計圖表示“頂帽著地”的頻率.(3)這個試驗說明了什么問題.在圖釘落地試驗中，“釘帽著地”的頻率隨著試驗次數的增加，穩定在常數56.5%附近.歸納總結

一般地，在大量重復試驗中，隨機事件A發生的頻率(這里n是實驗總次數，它必須相當大，m是在n次試驗中隨機事件A發生的次數）會穩定到某個常數p.于是，我們用P這個常數表示事件A發生的概率，即

P（A）=p.合作探究《紅樓夢》第62回中有這樣的情節：當下又值寶玉生日已到，原來寶琴也是這日，二人相同……襲人笑道：“這是他來給你拜壽．今兒也是他的生日，你也該給他拜壽．”寶玉聽了，喜的忙作下揖去，說：“原來今兒也是姐姐的芳誕．”平兒還福不迭……探春忙問：“原來邢妹妹也是今兒，我怎么就忘了．”……探春笑道：“倒有些意思，一年十二個月，月月有幾人生日．人多了，便這等巧了，也有三個一日，兩個一日的……”(1)400位同學中，一定有2人的生日相同(可以不同年)嗎？有什么依據嗎？(2)300位同學中，一定有2人的生日相同(可以不同年)嗎？(3)

“我認為咱們班50個同學中很可能就有2個同學的生日相同”，你相信嗎？思考對于問題(1)，“一定”，可以用“抽屜原理”加以解釋．例如，“一年最多366天，400個同學中一定會出現至少2人出生在同月同日，相當于400個物品放到366個抽屜里，一定至少有2個物品放在同一抽屜里——抽屜原理：把m個物品任意放進n個空抽屜(m＞n)，那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物品”．對于問題(3)，表示懷疑，不太相信．對于問題(2)，“不一定”的答案．典例講解例1某籃球隊教練記錄該隊一名主力前鋒練習罰籃的結果如下：練習罰籃次數306090150200300400500罰中次數274578118161239322401罰中頻率0.9000.7500.8670.7870.8050.7970.8050.802（1）填表（精確到0.001）；（2）比賽中該前鋒隊員上籃得分并造成對手犯規，罰籃一次，你能估計這次他能罰中的概率是多少嗎？解：從表中的數據可以發現，隨著練習次數的增加，該前鋒罰籃命中的頻率穩定在0.8左右，所以估計他這次能罰中的概率約為0.8.例2瓷磚生產受燒制時間、溫度、材質的影響，一塊磚坯放在爐中燒制，可能成為合格品，也可能成為次品或廢品，究竟發生哪種結果，在燒制前無法預知，所以這是一種隨機現象.而燒制的結果是“合格品”是一個隨機事件，這個事件的概率稱為“合格品率”.由于燒制結果不是等可能的，我們常用“合格品”的頻率作為“合格品率”的估計.某瓷磚廠對最近出爐的一大批某型號瓷磚進行質量抽檢，結果如下：抽取瓷磚數n10020030040050060080010002000合格品數m951922873854815777709611924合格品率(1)計算上表中合格品率的各頻率(精確到0.001);(2)估計這種瓷磚的合格品率(精確到0.01);(3)若該廠本月生產該型號瓷磚500000塊，試估計合格品數.(1)逐項計算，填表如下：抽取瓷磚數n10020030040050060080010002000合格品數m951922873854815777709611924合格品率0.9500.9600.9570.9630.9620.9620.9630.9610.962(2)觀察上表，可以發現，當抽取的瓷磚數n≥400時，合格品率穩定在0.962的附近，所以我們可取p=0.96作為該型號瓷磚的合格品率的估計.(3)500000×96%=480000(塊)，可以估計該型號合格品數為480000塊.歸納總結頻率與概率的關系事件發生的頻繁程度事件發生的可能性大小

在實際問題中，若事件的概率未知，常用頻率作為它的估計值.頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，做同樣次數或不同次數的重復試驗得到的事件的頻率都可能不同，而概率是一個確定數，是客觀存在的，與每次試驗無關.穩定性大量重復試驗聯系區別頻率概率練一練判斷正誤（1）連續擲一枚質地均勻硬幣10次，結果10次全部是正面，則正面向上的概率是1（2）小明擲硬幣10000次，則正面向上的頻率在0.5附近（3）設一大批燈泡的次品率為0.01，那么從中抽取1000只燈泡，一定有10只次品.錯誤錯誤正確課堂小結頻率估計概率大量重復試驗求非等可能性事件概率列舉法不能適應頻率穩定常數附近統計思想用樣本(頻率)估計總體(概率)一種關系頻率與概率的關系頻率穩定時可看作是概率但概率與頻率無關檢測反饋1．在大量重復試驗中，關于隨機事件發生的頻率與概率，下列說法正確的是(

)A．頻率就是概率B．頻率與試驗次數無關C．概率是隨機的，與頻率無關D．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率D2．一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有6個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在30%，那么可以推算出n大約是(

)A．6

B．10

C．18

D．20D

3．周琦是我國籃壇冉冉升起的一顆新星，他在某段時間內進行定點投籃訓練，其成績如下表：投籃次數1010010000投中次數989