“直線與平面垂直的判定”的教學實踐及其反思陶維林章建躍執筆“中學教學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計研究”課題組于2007年5月11日~14日在浙江省臺州市黃巖中學召開了第四次研討會。會前指定了五位教師根據“中學數學核心概念、思想方法教學設計框架結構（實行搞）”，以“直線谷平面垂直的判定”和“算法的概念”為題，進行精心的教學設計，有的設計還經過集體討論。討論會上，先由五位教師上課（實施教學設計），然后課題組以教學設計實施過程為載體，分析和評價教學過程，并反饋到教學設計環節，提出改進教學設計的方案。“直線谷平面垂直的判定”由三位教師執教。我們采取比較的方式，在分階段回顧三堂課的基礎上，對教學設計和實施進行反思。在不改變愿意的前提下，我們對教師的語言做了適當精簡。1課題的引入三位教師采用了個不相同的引入方式。1.1教師甲的引入教師：同學們，空間一條直線與平面有哪幾種位置關系？學生1邊演示邊敘述，得到直線與平面的三種位置關系。教師：直線與平面內，得到直線與平面平行已研究過，直線與平面相交的位置關系成為今天要研究的問題。在日常生活中，你見過哪些可以抽象成直線與平面相交的位置關系（的形象）？請舉例說明。學生：日光燈的掉線與天花板相交；房子的柱子與天花板相交；插在碗里的筷子與（平的）碗底相交。教師：同學們想象力非常豐富，在生活中確實有許多可以抽象成直線與平面相交的例子。再比如，教室中的墻角線（兩個墻面的交線）與地面。（展示圖片）小區中的某些建筑，撐船師傅的竹竿與水平面都給我們以直線與平面相交的形象。古詩詞中描寫某些自然景觀，如“大漠孤煙直”，“一行鷺上青天”的詩句，這些都給我們以直線與平面相交的形象。（展示操場上旗桿圖片）旗桿與地面所在的平面也相交。在直線與平面相交的模型中（位置關系中），你認為哪種相交最特殊？學生：直線與平面垂直。教師：今天我們就研究這種關系（板書出示課題）1.2教師乙的引入教師：（用PPT呈現龍卷風圖片）同學們剛進教室看到這樣一副壯麗的圖片，我不禁想到唐代詩人王維的詩句“大漠孤煙直”。在廣袤無垠的沙漠上一般炊煙沖天而起給沙漠帶來無限生機。欣賞這一美妙畫面之后是否想到立體幾何中什么與什么的關系。學生：（齊聲）線與面垂直。教師：線與面垂直，很好。說明同學們既有豐富的想象力又有很好的理性思維。請想一想在日常生活中，有沒有這種線與面垂直的其他例子。學生：看電視時，視線與畫面；電線干直立與地面垂直。教師：這樣的例子很多，比如大橋橋柱與水面。正是因為生活中有許多線與面垂直關系，所以，在幾何中有必要對線面垂直做進一步研究。這堂課就來學習直線與平面垂直（板書出示課題）1.3教師丙的引入教師：前面我們研究了直線與平面平等的判定與性質，今天我們要研究直線與平面的其他位置關系。展示天安門廣場上的國旗及旗桿。這里先請大學看一幅圖片，天安門廣場的紅旗迎風飄揚。再看另一幅圖片，一橋飛架南北，天塹變通途。請大學回答下面問題。問題1：請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關系？學生眾：垂直。教師：從數學的角度看，就是什么與什么的垂直。學生眾：線與面。教師：你還能舉出一些類似的例子嗎？想一想（教師同時出示課題）。學生1：音箱的邊緣與地面。學生2：立竿見影，竿與地面垂直。教師又展示跨欄與跳高架的圖片，說明跨欄的支架與地面、跳高架立竿與地面是垂直關系。請大家將旗桿與地面這種位置關系畫出相應的幾何圖形。學生畫圖，教師在圖板上畫出圖1。教師：為什么畫成這樣呢？這樣直觀性強，將直線畫得與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。教師：接著前面內容的學習，下面我們要學習直線與平面垂直的定義、判定與性質。1.4不同引入方式的比較與思考應當說，三位教師的引入各有特色。教師甲在直線與平面位置關系的系統中，以“在這些相交關系中，你認為哪種相交最特殊？”引出課題，并伴以學生的動手操作、舉例、想象和語言敘述。這一設計的特點是：注意知識的系統與聯系；強調學生生活經驗的作用。這樣容易喚起在“直線與平面平行”的學習形成的經驗，從而明確“研究什么”和“怎樣研究”，使學習的自覺性得到提高。教師乙利用一張生活圖片提出“是否想到在立體幾何中的什么與什么的關系”，由于“誘導”過分明顯，學生就不假思索地齊聲回答“線面垂直”。雖然有后面的師生分別舉例，但課題引入任務由這一句話已經完成。雖然這一引入有單刀直入、開門見山的特點，但學生對看圖片的意圖、當前學習內容與已有知識與方法的聯系與借鑒等很難覺察到。另外，“線面垂直”的說法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙兩位教師用的“大漠孤煙直”的情境不能很好地反映當前學習內容的本質，不是一個好情境。教師丙的引導語：“前面我們研究了直線與平面平行的判定與性質，今天我們要研究直線與平面的其他位置關系”以及圖，目的都是直指“要研究直線與平面垂直”。這樣引入也稍嫌太快，學生對于“要學什么”“為什么要學”和“如何學”等的感知都不充分，要學的內容已有經驗的銜接不夠自然。良好的開端是成功的一半，課題引入是課堂教學的重要一環。教學設計中，應當重點考慮：如何利用新舊知識的聯系與發展，以及學生相關的生活經驗，創設問題情境，以自然、親切地引出學習內容；如果在課題引入中融入“學什么、為什么、怎么學”的成分。2定義的形成過程2.1教師甲的教學過程教師：怎樣給直線與平面垂直下定義呢？請同學們回憶直線與直線垂直是如何定義的？學生：直線與直線成90°，稱這兩條直線互相垂直。教師：兩條直線垂直可以分為兩條直線“相交垂直”和“異面垂直”。而“異面垂直”是轉化為“相交垂直”來研究的，實際上是把空間問題轉化為平面問題。按照這樣的思路能否將“線面垂直”的問題轉化為“線線垂直”的問題呢？請大家結合對下列問題的思考給出直線與平面垂直的定義。（結合圖片）陽光下，一條旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角是多少度呢？（圖2）學生眾：90°。教師：旗桿所在的直線與影子所在的直線相互垂直。那么，隨著太陽的移動影子也會發生移動，在這個過程中，旗桿所在的直線與影子所在的直線位置關系是否會發生變化？學生眾：不會。教師：那么，說明旗桿AB所在的直線與地面上任意一條過點B的直線始終垂直。平面上不過點B的直線是否與旗桿AB也垂直呢？學生眾：垂直。教師：為什么？學生：把平移過去（經過點B），存在一條過點B的影子與旗桿AB垂直。教師：很好。這說明，地面上與不經過點B的其他直線也是垂直的，也說明，旗桿所在的直線與地面上任意一條直線都垂直。那么，你能用語言來概括直線與平面垂直的定義嗎？學生：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么，我們就說這條直線與平面是互相垂直。教師：很好。我們借用“線線垂直”來定義“線面垂直”。教師用幻燈片顯示直線與平面垂直的定義，要求學生用圖形語言、符號語言表示直線與平面垂直關系。2.2教師乙的教學過程教師：研究直線與平面垂直，我們首先要弄清：到底怎樣才算直線與平面垂直呢？（開、閉教室的門）問：“在門打開的過程中，門軸與接近地面的這條邊保持什么關系？”學生眾：垂直。又通過教具說明旗桿與地面上的影子保持垂直。門邊與下面的（不同位置的）邊緣、旗桿與（不同位置的）影子都是相交的。（借助教具）在平面內，有的直線與旗桿不相交，它和旗桿是否也是垂直關系？學生眾：是的。教師：為什么？我們可以將它平移到過旗桿的根部。這就為我們提供了線面垂直的定義。板書線面垂直的定義，給出畫法以及垂線、垂面、垂足的意義。2.3教師丙的教學過程教師：接下來，我們要研究直線與平面垂直的定義、判定和性質。首先我們看直線與平面垂直的定義。展示圖片，提出思考題：如果定義一條直線和一個平面垂直？在我們前面學習的“線面平行”的位置關系中，我們將“線面平行”關系轉化為“線線平行”這樣的位置關系考查，體現了“平面化”和“降維”的思維。現在我們要研究直線與平面垂直，也可以將它轉化為直線與平面同的直線的位置關系問題。下面來看問題2（PPT顯示）：（1）如圖2，陽光下，觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面上的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在的直線有什么位置關系？（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線有什么位置關系？演示在不同時刻時，旗桿所在直線與影子所在直線的位置關系。學生眾：垂直。教師：旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線垂直，能說說理由嗎？學生：將直線平移到與AB相交。教師：這就體現了將兩條異面直線的問題轉化為共面直線的問題。直線是平面內的任意一條，由此可以得到什么結論呢？學生：如果一條直線與平面垂直，那么這條直線與平面內的任意一條直線都垂直。問題3：通過上述觀察分析，你認為應該如何定義直線與平面垂直？學生：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面。教師：板書直線與平面垂直的定義，并辨析“任意一條”是否可以換成“無數條”。2.4不同教學過程的比較與思考本環節涉及如下幾個問題：定義的教學時間、典型實例的使用特別是提出什么問題、概括定義的過程中師生活動的安排、數學思想方法的滲透、定義辨析活動的內容和過程等。2.4.1關于定義的得出過程教師甲注意利用學生已有的知識基礎、生活經驗，并注意研究方法的引導。把“異面直線垂直”轉化為“相交直線垂直”是可以借鑒的經驗，教師通過提示，不僅引導了思考方向，而且也滲透了類比、化歸、降維等數學思維方法。怎樣的“線線垂直”可以導致“線面垂直”？教師構建了“旗桿與變動的影子的關系”的情境，在學生得出“旗桿與變動的影子都垂直”之后，提問“地面上不是影子的直線是否與旗桿也垂直”？學生由“異面直線垂直”轉化為“相交直線垂直”的經驗，采用平移的方法（空間問題轉化為平面問題的最常用方法），得出“也垂直”的結論。在充分認知“旗桿和地面上任意一條直線都垂直”之后，再給直線與平面垂直下定義就比較自然了。這一過程既是學生對定義的充分感知過程，也是體會定義合理性的過程。在教師甲的教學中，一開始讓學生回憶直線與直線垂直的定義是一個不恰當的環節，因為它容易把學生的思路引到“當直線與平面成90°時，直線與平面垂直”。雖然可以再追問“如何刻畫直線與平面成90°”，但這是一個學生“夠不著”的問題。所以，直接讓學生回憶直線與直線垂直的研究方法更好，因為它是與本節內容直接相關的知識“生長點”。教師丙也注意到思想方法的引導。回顧“線面平行”位置關系研究中曾將“線面平行”關系轉化為“線線平行”，體現了“平面化”和“降維”的思想，并指出“要研究直線與平面垂直，也可以轉化為直線與平面內的直線垂直的問題。”然后也利用了“旗桿與影子的關系”這一情境，引導學生感知直線與平面垂直的特征，并讓學生自己下定義。教師乙的過程比較簡單。由教師自己舉出直線與平面垂直的實際事例（“門軸問題”與“旗桿問題”），由教師自己指明可以將其他直線平移到過旗桿底部的位置。因為采用了“告訴”的方法進行定義教學，因此很快（約3分鐘）完成直線與平面垂直的定義。顯然，這樣的教學大大壓縮了定義的形成過程，定義過程中體現的數學思想方法沒有得到挖掘，學生的生活經驗、已有知識的作用都沒有得到充分發揮，概念的概括過程不充分，知識之間的聯系性也建立的不牢固。特別是，學生的思維停留在模仿、機械記憶的層次上，自主性得不到發揮。實際上，教師在提出“到底怎樣才算直線與平面垂直呢？”以后，應該讓學生談談自己對“直線與平面垂直”的直觀感受，通過例子說明直線與平面垂直的內涵，讓他們參與到概念的概括過程中來。與其他兩位教師比較，教師乙在引導學生感知直線與平面垂直關系特征時所用的時間較少。這一現象有代表性，即當前的數學課堂中，教師不舍得在概念、定義的發生發展過程上花時間，認為這樣“太虛”，不如讓學生多做幾道題目實在。因而概念教學常常用“一個定義三項注意”的方式，告訴學生定義的內容，強調幾個注意事項（例如，這里強調“要注意，必須是‘任意’的”），然后就講例題、做練習。實踐表明，這樣的教學是得不償失的，對學生把握和應用概念都產生了不利影響，因為在學生沒有基本把握概念內涵的時候就要求學生用概念解決問題，結果只能是機械模仿，不可能有理想的解題質量和效率。2.4.2關于定義的辨析過程在討論定義的過程中，教科書安排了一個“思考：一條直線與一個平面垂直的意義是什么？”并在“邊空”提出“如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否垂直于這個平面？”其目的是用以辨析直線與平面垂直的內涵，使學生形成正確的直線與平面垂直的概念。幾位教師對這一問題的處理不盡相同。定義形成后，教師甲提問：定義中的“任意一條”能否用“無數條”替換？這個問題接連幾個學生都不能回答。教師提示可以舉反例，學生也未能舉出。這說明學生對定義的內涵仍沒有完全把握，定義形成的過程并不夠完善。教師乙在直線與平面垂直的判定定理出現之后作為練習提出：我們知道，一條直線與平面垂直，則這條直線與平面內的任意一條直線都垂直。那么，如果一條直線與平面不垂直，是不是這條直線與平面內的直線都不垂直？教師丙放在定義形成之后，辨析“任意一條”與“無數條”問題，從而引入一條直線與平面垂直需要怎樣的兩條，為判定定理的引出服務。雖然定義的理解需要一個過程，在后續學生中應當安排回顧、辨析的機會，但是定義的教學必須安排辨析過程。所以，教師乙的定義教學過程是不全面的。另外，幾位教師安排的辨析過程都不充分。2.4.3總體分析從上述教學過程可以看到，利用典型事例引導學生直觀感知直線與平面垂直的特征，然后概括得出定義，再對定義進行辨析，是教學的基本環節。其中，教師的教學行為對學生把握概念的內涵有關鍵性影響。這里具體表現在兩方面：第一，例子由誰來舉。我們看到，三位教師都自己先舉例。實際上，如果先讓學生舉例，并說說自己理解的“直線與平面垂直的含義”，然后教師查漏補缺，引導學生概括出概念，這樣做的話，學生不僅有充分的直觀感知活動，而且還有合情推理、邏輯思維的機會，學生對概念本質的把握自然就更深刻了。我們常常聽到教師抱怨“直觀感知、操作確認”的幾何課不好上，學生的活動難安排，削弱了邏輯思維，但從上面的討論可以看到，關鍵還是教師的教學行為是否恰當。第二，定義的辨析如何安排。中學數學中的定義一般都是“充分必要條件”，對定義的辨析，一方面是對“關鍵詞”的辨析，也就是對內涵的理解，例如能否把“任意”換成“無數”；另一方面就是從“充分必要條件”進行辨析，這里要設法讓學生關注“如果一條直線與一個平面垂直，那么它與平面內的所有（或任意一條）直線是否都垂直？”和“如果直線與平面內的所有（任意一條）直線垂直，能斷定這條直線與平面垂直嗎？”顯然，三位教師在教學設計中，只關注了前一方面，因此對定義的辨析不全面。３“判定定理”的教學“課標”要求“通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理”。為此，教科書安排了“探究；請同學們用一塊三角形紙板做實驗；如圖3，過的定點翻折紙片，得到折痕，將翻折的紙片豎直的放置在桌面上（、與桌面接觸）。（1）折痕與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使得折痕與桌面所在的平面垂直？”圖4圖4圖3圖3經過實驗學生會明白，問題（1）的答案是“不一定”；也正是因為“不一定”，所以要回答問題（2）“如何翻折”，這正是判定直線與平面垂直的條件。接著，教科書又設置了“思考：（1）有人說，折痕所在的直線與桌面所在的平面上的一條直線垂直，就可以判斷垂直，你同意他的說法嗎？（2）如圖4，由折痕，翻折之后垂直關系不變，即，由此你能得到什么結論？”這個活動的安排也體現了學生在操作中辨析、思考折紙過程的教學本質，操作結果體現的幾何要素（線、面）的相互關系。因此，“操作確認”中不僅有合情推理的要求，也有邏輯推理的要求，教學活動思維更全面了。三位教師對“實驗”“思考”有不同的處理。３.１教師甲的處理教師：“定義”通常可以作為判定的依據。如果用“定義”判定直線是否與平面垂直，你們說方便不方便？學生眾：不方便。教師；不方便在哪里？學生眾：任意一條（難窮盡）。教師：要檢驗一條直線與平面內每一條直線都垂直很難做到，所以，我們有必要尋找更為簡便可行的方法來判定直線是否與平面垂直。于是，就想到要減少直線的條數，最理想的是減少到一條。“一條直線與平面內的一條直線垂直，這條直線就與這個平面垂直”可以嗎？學生眾：不可以。教師：可以減少到幾條呢？學生眾：兩條。教師：（仍注意從思考方法上引導）請大家拿出三角形紙片，我們來做實驗。（教師邊演示邊說明如何做實驗）任意翻折得到一條折痕，然后把紙片豎立放在桌面上，下面的兩條邊緊貼桌面，觀察折痕是否與桌面垂直？學生活動，教師巡視。學生：不垂直。教師：為什么你認為這條折痕與桌面不存在呢？學生：這條直線與桌面所成的角不是。（涉及未定義的“直線與平面所成角”的概念，教師引導不當，使學生的觀察指向不明，說明實驗的目的——要解決什么問題不太明確）教師：（替學生解釋）他的意思是這條折痕與這條直線（）不成。因為直線與平面垂直意味著這條直線與平面內的任意一條直線都垂直。那么怎樣翻折才能使這條折痕與桌面垂直？學生繼續活動。教師巡視，看到一名學生以上的高度為折痕，拿過來展示，并幫助解釋，這是使折痕后下面的兩邊重合（圖５）；看到另一名學生以圖６的方式翻折，也拿過來展示，并幫助學生解釋，折痕與垂直。（這里，教師給出的折法的解釋是不當的，應當讓學生自己解釋）圖6圖5圖6圖5教師：你認為，使折痕與桌面所在的平面垂直的關鍵因素或這兩種折法共同特征是什么？學生：，。教師：你認為它們是垂直的？學生：下面兩條邊（指、）重合。教師：“重合”為什么就說明直線，呢？學生：的一半是。教師：我們如果把折痕抽象成一條直線，把下面的兩條直線，那么，你認為直線與平面垂直的條件是什么？學生：一條直線如果與平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直（圖７）。圖8圖7圖8圖7教師：（展示圖８）直線不經過直線、的交點，但是仍然保證、，是否也有？學生用“可以平移”說明結論成立。教師：只要保持與平面內的兩條相交直線垂直就可以了，至于是否與這兩條直線有公共點沒有關系。你能給出直線與平面垂直的判定定理嗎？學生：一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直。教師板書判定定理，說明判定定理只要求平面內有兩條相交直線與該平面垂直即可，比定義要方便得多。點出關鍵之處：線不在多，相交就行：。指出用定義判定直線和平面垂直與用判定定理判定直線和平面垂直的共同點都是由“線線垂直”得到“線面垂直”，這是空間問題轉化為平面問題的思想方法。３.２教師乙的處理教師：我們要考查一條直線與一個平面就要考查這條直線與平面內的直線是否都垂直，但是平面內的直線有無數條，我們不可能對無窮多條的直線是否與這條直線垂直做一一驗證，怎么辦？學生：任意取一條。教師：同學們看，這條直線不與平面垂直吧（教師用教具演示，表示平面的一條斜線），但我在這個平面內任意取一條直線，與這條直線（平面的斜線）垂直，這條直線與平面并不垂直。因為前面學習過的直線與平面平行的判定，平面外的一條直線只要與平面內的一條直線平行，那么這條直線就與平面平行，因此，這名同學的想法可能受這個定理的影響。一條直線不行，我們來考慮兩條。如果平面內的兩條直線是平行的，都與這條直線垂直，還是不能保證這條直線與平面垂直吧，那么我們就考慮兩條相交的直線。我這里有一個三角形的紙片，這樣折一下（折痕不垂直于底邊），然后把折后的紙片放在桌面上，這條折痕與平面是什么關系？垂直嗎？學生眾：不垂直。教師：你有沒有辦法將三角形紙片折一下，使折后放在桌面上折痕與桌面垂直呢？同學們試驗一下。學生活動，教師巡視。提問一學生：“你是怎么折的？”學生：作一條高線，沿著高線折（圖9）。教師：這就為我們判定直線與平面垂直提供了依據。由于高線AD與邊BC垂直，翻折后折痕AD仍然與底邊所分成的兩部分DB、DC保持垂直，同時AD與BD、DC都相交，BD與DC也相交。如果BD與DC是相交的，另外一條直線與它們不是相交的，能不能保證這條直線與平面垂直？學生眾：能。教師：可以把它們平移成為前一種情形。這就為我們判定直線與平面垂直提供了一個依據。板書直線與平面垂直的判定定理。3.3教師丙的處理教師：我們如何檢驗學校廣場上的旗桿是否與地面垂直？（展示操場上旗桿的圖片）學生：用定義。教師：用定義，我們就要判斷旗桿是否與地面上的任意一條直線都垂直，能做到嗎？學生：不能。教師：為什么不能？學生：直線的條數是無限的。教師：但人的生命是有限的。我們現在不能用定義來解決這個問題，就要尋找新的辦法。首先要解決這個“無限”的問題，就是要轉化為“有限”。有限的情況至少是幾條？學生眾：兩條。教師：兩條就行嗎？學生眾：要相交。教師：平行不行。下面考查相交的情形。（展示跨欄及跳高架圖片）問：觀察跨欄、簡易木架等實物，你認為其豎桿能豎直于地面的原因是什么？由此你能得出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？學生：因為跨欄的支柱與地面上的兩條直線垂直。教師：制作跨欄時，支柱與放在地面上的兩條橫邊都是垂直的。你能由此得到判斷直線與平面垂直的方法嗎？學生：如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。教師：（板書定理）定理中特別要注意的地方在哪里？學生：兩條，相交。教師：直線與平面上的直線不相交呢？學生：平移。3.4不同處理方法的比較與思考教師甲的教學過程可以概括為：感受用定義作判斷不方便，引起探索判定定理的需要——討論平面內的直線減到多少條才合適——折紙實驗——討論不同折法的共同特點——變式（任意兩條相交直線）——獲得判定定理——辨析定理。教學過程設計比較合理，體現了“直觀感知，操作確認”的認知過程。比較遺憾的是：第一，折紙活動中對操作、觀察的目的強調不夠，沒有明確提出“折紙結果所反映的數學本質是什么”的思考任務，因此“感知”“確認”不充分，直接影響了活動的數學思維層次；第二，沒有給學生自己解釋折紙方法的理由和自主辨析定理的機會，采取了代替學生說明理由、“告訴”學生注意事項的做法，這也損害了推理能力（包括邏輯推理能力）的培養。教師乙的教學設計也有“引起探索判定定理的需要——折紙活動——得出定理”的過程，但在教學時基本采取了“我講你聽”的方式，特別是在學生提出“作一條高線，沿著高線折”時，沒有要求學生概括這樣做的本質，而是教師自己提出“這就為我們判定直線與平面垂直提供了依據……”從而使折紙活動的意義大打折扣。我們認為，這是對教科書設置“探究”的意義未能充分理解的表現，結果是學生的活動不充分，“直觀感知，操作確認”未落實，教學目標的達成度也就較低了。教師丙沒有采納教科書設置的“探究”活動，變“直面感知，操作確認”為觀察教師提供的圖片，并經過教師講解而“觀察確認”，因此很快得出判定定理。在給出判定定理后，教師安排學生折紙，這就使“折紙活動”成為驗證判定定理的過程。由于沒有“操作”這一環節，因此學生對定理的感知很不充分，對判定定理的必要體驗沒有建立起來。另外，“操作確認”得出的結論作為定理是需要證明的。在得到判定定理后，教師應當說明“這個定理需要證明！在后續的學習中會給出證明。”總之，在三位教師的教學設計中，對判定定理的“直觀感知，操作確認”都是有安排的。但是由于課堂中沒有讓學生充分展開思維活動，特別是沒有充分挖掘“折紙”活動的數學內涵，沒有明確折紙的目的、“觀察”的角度、“確認”的途徑等，導致學生缺乏從折紙結果概括判定定理的思維過程，因此極大降低了本節課的數學思維水平。4課本例2的教學教科書在得出判定定理后，安排了例2：如圖10，已知∥，⊥，求證⊥。這是判定定理的一個典型應用題，以往教科書把它處理成一個定理。4.1教師甲的教學教師：怎樣證明它？證明垂直于平面只要怎么樣？（這樣的問題指向是非常不明確的）學生：在平面內畫兩條相交直線，證明直線與它們垂直就行。教師與該生邊議論邊板書證明過程。教師：能否用定義來證明呢？只要畫一條，但必須說明這是平面內的任意一條。4.2教師乙的教學教師出示例2，自己讀題目，很快（22秒鐘以后）提問一學生。這名學生正確地解答了問題（在平面內畫出兩條相交直線、）。教師：很好。如果證明直線⊥？根據判定定理，只要在平面內找兩條相交直線；如果根據定義的話，找平面內任意一條直線都與直線超重……教師給學生講解、分析，板書解答，學生觀看。4.3教師丙的教學教師先讓學生板演“求證：與三角形的兩條邊同時