2022年安徽省中小學教育教學論文評選多視角切入，巧方法破解——一道安徽江南十校模考題的探究摘要：解三角形是歷年高考必考的知識點，常常以三角形的“四心”作為背景，與轉化等數學思想，一直深受命題者的喜歡，是考試中的熱點問題之一.此類問題方式全、方法多樣，思維各異的主戰場，具有較好的選拔性和區分度，備受各方關注.關鍵詞：基底思維，坐標思維，幾何思維，代數化，大單元教學引 言：解三角形問題一直是高考的必考點和重點，三角形的四心問題一直是此類問題的難點，解決此類問題通常是從幾何的角度分析問題、解決問題，這也是學生經常一貫的思維模式。新課標強調：“教學需要關注同一主線內容的邏輯聯系，關注不同主者在對三角函數復習大單元教學的基礎之上，將知識進行整合，從高三復習模考中遇到的一道江南十校解三角形模考題出發，從向量、坐標以及幾何等不同的角度與學生一起彰顯數學思想方法，從而將知識點形成知識鏈，進行系統化，進一步提升學生的分析問題、解決問題的數學素養，取得了一定的成效，現整理成文，與各位同仁分享.一、問題呈現屆安徽省高三下學期江南十校聯考試題·17）已知三角形ABC的內角B,C的對邊分別為a,b,c，tanC=

sinA .（1）求b的值；c

2-cosA（2）設M和N分別是三角形ABC的重心和內心，若MN||BC且c=2，求a的值.此題第（1）問比較常規，主要考查正、余弦定理的簡單應用，即三角形邊與角的，結合線的平行關系來確定邊的與滲透，處理此類問題可以從基底思維、坐標思維、幾何思維進行分析.從而確定解決12022年安徽省中小學教育教學論文評選質進行形的轉化，都可以達到很好的效果.二、問題破解思維視角一：基底思維方法1：（基底法）

r解析：設三角形ABC的內切圓半徑為r，在邊AB和AC上分別取向量AG=ACr|AC|HH=

，再取向量AP=AB+AH，于是可知|AP|=AB=2cosA，|AN|=r ，|AB|又三角形ABC的面積為S

=1(a，2

2 sinA2

2S

2bccosA2

ABAC 所以|AN|==

，由向量AN=mAP=m(

+)，A a2

|AB| |AC|可得m= ，可得m= ，=

|AP|

a+b+c

故AN= bc

B C b(+)=(

AB+ c

AC，a

|AB| |AC|

aa由AM

1AB

1AC，= +3 3b 1c 1所以MN=AN-AM- )AB- )AC，- = ，a- = ，

a3又根據MN=AC-

AB且MN||BC，可得 c 1 1- b 由c=2,b=2，可得a.c

a+b+c

3 3 a相關的平面向量，再根據向量的模的求解以及共線向量的知識得到參數滿足的等量方程，進而求出邊長a.在此方法過程中，對于基底的選擇沒有一定的標準，不同的基底選擇決定了不同的線性運算，而本題為了方便選擇以AB和AC作為基底，再將幾何圖形直線的平行關系轉化成向量的共線問題，使問題迎刃而解.22022年安徽省中小學教育教學論文評選思維視角二：坐標思維方法2：（坐標法）AE是三角形ABCCE=b=2BE=2DEDE=m，c于是以E為原點，EB為x所在直線垂直的直線為yE(0,0)，D(-m,0)，B(2m,0)，C(-4m,0)-2cosB,2sinB).由點M是三角形

ABC的重心，且

MN||BC，可知12m-2B2sinBEN= EA，從而可得N( , )，

圖（1）3直線AB的方程為y=-

3 3sinB(x-2m)得sinB*x+cosB*y-2msinB，cosB由點N是三角形ABC的內心，可知點N到直線AB距離與到x軸的距離相等，進一步有|2msinB-2sinBcosB+2sinBcosB-2msinB|=|2sinB|，3 3 3于是有|4msinB|=|2sinB|，又asinB，于是可得m=1，3 3 2從而得到a=BC=6a=3.點評：根據題目的已知條件，選擇合適的原點，建立恰當的平面直角坐標系，從坐標視角切入，利用三角形角平分線定理及中線知識，從而確定邊長之間的關系，將各個點用坐標來進行表示，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等這一性質，再結合距離公式，從而將平面幾何問題進行代數化，從代數的角度計算和分析問題，從而求出邊長有時會達到事半功倍的效果.思維視角三：幾何思維方法3：（三角形相似法）MN交AC于GAB于HCN，BN，由于點M,N分別是三角形ABC的重心和內心，且MN||BC，可知角GCN=角BCN=角GNC，得GN=CG，圖（2）32022年安徽省中小學教育教學論文評選又由三角形AGN和三角形ACE相似，可得GN=CG=4；3同理，可得HN=HB=2，于是GH=GN+NH=2，3又由三角形AGH和三角形ABC相似，可得a=BC=3GH=3.2的三角形相似的有關知識，確定圖形中線段的大小，從而得到了所求邊的長度大小.這時也有所涉及.方法4：（角平分線定理法）解析：連接BN，CM，由點M是三角形ABC的重心，且MN||BC，可知AN=AM=2，又點N是角B的平分線，可得BA=AN=2，于是有BE=1，NE DMNE 2同理，可得CE=1AC=2,從而有a=BC=CE+BR=3.2點評：根據題目條件中的三角形的重心性質及平行關系，可以得到邊的比例關系，達到意想不到的效果，在平時復習中需要學生好好地體會與理解.方法5：（等面積轉化法）解析：根據第（1）問，可知b=2且c=2，進一步有b=4，c設三角形ABC的內切圓的半徑為r，則內心N到BC邊的距離為r，又因為MN||BC，所以重心M到BC邊的距離也為r，根據重心的性質，頂點A到BC邊的距離為3r，根據三角形等面積轉化，可得1(a=3ar，從而解得a=3.2 2大小.42022年安徽省中小學教育教學論文評選選擇.三、推廣延伸ABC的內角B,C的對邊分別為a,b,cM和N分別是ABC的重心和內心，若MN||BC，則b,a,c三邊成等差數列.解析：由上述方法四，即角平分線定理法，可知BE=c，CE=b,2 2從而可知a=BC=CE+BR=b+c，故b,a,c三邊成等差數列.2四、解后反思數學的本質是轉化與化歸，通過幾何與代數的轉化降低問題的難度，彰顯思想方法的優越性.在遇到解三角形問題時，我們要深入的理解與熟練掌握以上三種破解此類問題的思想與常規技巧.基底法需要我們選擇合適的向量作為基底，通過平面向量的線性關系來進行分析；坐標法需要我們選擇適當的坐標原點，建立簡便的平面直角坐標系，此過程最關鍵的是要使我們點的坐標便于求解，利用坐標來進行代數運算，將幾何問題代數化；在涉及到一些基本圖形的幾何問題時，往往可以通過幾何圖形進行直觀分析，可以基于大單元教學的思想，靈活的梳理前后知識板塊之間的有效銜接，尋找知識板塊之間的深層次關系，這樣可以很好