大學數學第1章函數.pptx第2章微積分的基礎.pptx第3章變化率和局部線性化.pptx第4章變量的累加——積分.pptx第5章進1步的應用——從微分到微分方程.pptx第6章處理線性關系的數學——線性代數.pptx全套可編輯PPT課件

函數是微積分研究的對象，要學習微積分，首先要了解函數.大家對于函數的基本概念應該都是熟悉的，所以本章僅對函數作一個概括，給出一些理解性的論述.第一章

微積分研究的對象——函數§1表示變量因果關系的函數§2函數的實例§1表示變量因果關系的函數一、函數的概念二、區間與鄰域三、函數的表示四、反函數五、基本初等函數和初等函數六、函數的基本性質世間出現的各種變量之間，有些是有聯系的，有些則沒有.我們熟悉的一元函數就是兩個變量的相互關系，如圓的面積公式半徑定了，面積自然定了.就稱為因變量，產生

S的法則(公),就稱為對應法則.

在一般情形下，對應法則用表示.因此這個變量就稱為自變量，

的變化是由于的變化引起的，表達的就是變量之間的因果關系，是用來描述事物（變量）關系變化的工具.函數一、函數的概念定義1其中變量在數集中取值.則稱

y是x的函數（或稱f是數集D上的函數），與,設有兩個變量如果對于每個

，變量都能按照一個確定的對應法則有唯一的值與它對應，記作這里是自變量，是因變量，因變量的取值范圍稱為值域.的取值范圍稱為函數的定義域，一個函數由它的定義域和對應法則唯一確定，值域并不是一個函數的獨立要素.函數的英語名稱是“function”，所以習慣用

f表示函數.函數的表達式是函數對應法則的代數解釋.一個函數可以與直角坐標中的一條曲線的圖形如右圖所示.函數相對應，圖像，這就是對應法則的幾何解釋.這條曲線稱為該函數的圖形或分產生的催化劑.

勒奈·笛卡爾（ReneDescartes）一條幾何曲線可以用某個函數來表示，立了解析幾何.（圖形）的相互轉化，極大地促進了數學的發展，這是笛卡爾創立直角坐標系后的事情.笛卡爾將代數和幾何結合在一起，建代數（公式）和幾何是一個劃時代的貢獻.直角坐標系的建立是近代數學的起點，為微積分的創立打下了基礎，是微積這些區間統稱為有限區間，設a,b是兩個實數，且

實數集稱為開區間，記為實數集稱為閉區間，記為[a,b].

類似的還有左開右閉區間左閉右開區間是這幾種區間的長度.其中a,b稱為這些區間的端點，二、區間與鄰域除了有限區間，還有無限區間：全體實數.鄰域在今后學習中要經常用到，必須掌握.鄰域是一種特殊的區間.是實數，設稱數集為點a的鄰域，記作a是這個鄰域的中心，是鄰域的半徑.稱為點a的去心鄰域，記作顯然也就是將鄰域中心去掉后的實數集.例1

試確定下列函數的定義域：解（1）要使有意義，必須分母不為零，（1）（2）即所以的定義域是（2）易知中第一項的定義域是第二項的定義域為即f(x)的定義域為數關系.1.解析法（或稱公式法）.這是在以往的學習中，大家比較熟悉的函數表示法，即函數的兩個變量之間的關系用一個公式來表示.如線性函數冪函數三角函數等等.有時兩個變量盡管有聯系，但卻很難找出一個公式來表示它們之間的函數關系，這是就需要用其他方式來表示變量之間的函三、函數的表示2.數值法（表格法）.數值法是將兩個變量之間的對應關系通過數值對應的形式表示函數的方法.如下表是2010年上海世博會某天（9月8日）入園人數與時間的關系，顯然這是一個用數值（表格）表示的函數關系.在科學實驗中，兩個變量之間的函數關系，通常只能通過數值方法來表示.(單位：千人)時間t910111213141618202224入園人數01411902022092142242412492502503.圖形法.圖形法是通過圖形來表示函數：在一個直角坐標中的一條曲線，當任何垂直于x軸的直線與該曲線最多只有一個交點時，這條曲線就表示一個函數：其定義域D是曲線在x軸上的投影在定義域中任取一點的直線與曲線交于唯一的一過點與x軸垂直點的縱坐標就是點的對應值.都是數值形態的.通過上面的討論，可知函數通常有三種表示方法：解析法（公式法），數值法（表格法）和圖形法.在計算機飛速發展的今天，數值法越來越顯示出它的重要性.而且在我們日常生活和社會人文科學中碰到的函數關系，很多都是數值形態的.如國民經濟的統計數據，人口與消費等等，體的對應.公式法的優點：函數關系明確，便于數學推導，在理論研究上非常重要.圖形法的優點：形象，便于宏觀觀察，容易看出函數的變化趨勢，但不像公式法那樣精確.至于要求一點的函數值那就就只能根據圖形估計了.圖形法的優點恰是公式法的缺點，圖形法的短處又恰是公式法的長處.數值法的優點：表中列出的那些點的函數值非常明確，關系清楚，便于查找.如三角函數表，對數表等.對應但缺少整即

例2某市出租車計費標準為：3千米以內14元，大于3千米小于（含）15千米，每千米2.5元，超過15千米，每千米3.8元.試列出行駛距離x與車費y的函數關系式.解當時，當時，當時，試舉出一個日常生活中分段函數的例子.這種在自變量不同的取值范圍用不同的公式來表示的函數，稱為分段函數.記作自變量與因變量之間的關系是相對的，如圓的面積公式面積是半徑的函數，而將面積S作為自變量時，定義2對應D

的值域是則這個對應法則定義了在數集W上的一個函數，這個函數稱為將半徑r是當作自變量時，半徑r

是S的函數：設函數在數集D

上有定義，如果對任何在D

中有唯一的數x

，使在D上的反函數，四、反函數習慣上用x

表示自變量，y

表示因變量.將反函數中兩個變量位置互換一下，是D

.容易驗證：反函數的圖形與直接反之亦然.得到以后說函數的反函數就是指其定義域是函數的圖形是關于直線對稱的.這是因為若點在曲線上，則在曲線上，所以，曲線與是關對稱.于直線值域因為對但是在解求反函數的方法是：再將x,y互換即可.于是再互換x

y，得到要求的反函數例3二次函數在其定義域中沒有反函數，于任何有兩個值與之對應.上，有反函數在上，有反函數例4求函數的反函數.先從解出x，得到先解出x，得從上面的討論知道,函數種類有很多,的只能用表格和圖形表示.在所有能用公式表示的函數中，有六類我們常見的函數稱為基本初等函數.有些能用公式表示,有應的函數值總是常數

C

.1.常值函數：即不論自變量取何值，其對（C

是常數），理數.2.冪函數：是實數.中學階段的冪函數要求是有當時，就是熟知的二次函數Oyx11Oxy當時，為時，是反比例函數0yx特別當時，3.指數函數：0yx(0,1)0yx(1,0)對數函數是指數函數的反函數，4.對數函數：當時，就是非常重要的自然對數函數5.三角函數：0yx0yx12-2-16.反三角函數：0yx1-10yx0yx1-10yx所看到的函數絕大部分都是初等函數.這6類函數經過有限次的加減乘除以及復合運算，產生的函數如果能用一個公式表示，就稱為初等函數.在現階段我們什么是函數的復合運算？有時兩個變量之間的關系不那么直接，需要通過第三個變量聯系起來，如在物體的自由落體中，動能E

與時間t

之間的關系就是要通過速度v

獲得：物體的質量是m

，速度又是時所以動能E

就成了時間t

的函數這個過程，就是函數的復合，中間出現過的變量v

稱為中間變量.動能與速度的關系是間的函數稱為由函數與復合得到的復合函數，復合函數實際上是通過若干個中間變量，最終將兩個不直接相關的變量（自變量和因變量）建立起函數關系.則這兩個函數就可以復合成通常稱f

為外層函數，稱g

為內層函數.一般情況下，對于兩個函數如果的值域與的定義域有公共部分，是由基本初等函數函數復合而成的；函數是由例5復合而成.分段函數：例6第二個函數常稱為符號函數.它們的圖像分別是：1-1yxO分段函數一般是不能用一個公式表示的，因此不是初等函數.但也有例外.例7

是分段函數，所以是初等函數.例8世界上有兩個溫度標準：華氏度和攝氏度.其中x

表示華氏度，y

表示攝氏度.有了這個公式，你就不會被華氏溫度搞糊涂了.但可以用表示，這兩個溫度標準之間的關系是一步熟悉和學習微積分是有很大好處的.函數的基本性質是指有界性，單調性，奇偶性和周期性.不是每個函數都會有這些性質，但了解這些性質對我們今后進六、函數的基本性質注意，定義中的M

只要存在就行，并沒有要求是最小的.1.有界與無界函數有界性是一個很重要的性質，所謂有界，就是指這個函數的值域可以包含在某個閉區間中.如果存在一個正數則稱函數f

是數集D

上的有界函數，或稱f

在D

上有界.否則就稱f

在D

上無界.定義2設函數在數集D

上有定義，使函數的值域即對所有的成立，使得無界是有界的反面，函數f

在D

上無界就是再大的閉區間也無法將該函數的值域包含在內，總有例外.數學化的表述就是：對于任何無論怎樣大的正數M，個x

與M有關），總有（下標M是指這宋朝葉紹翁的詩《游園不值》中的詩句再大的園子(閉區間)也無法將所有的從文學的意境表達了無界的含義：詩的(某個函數值)跑到園子的外面.“春色滿園關不住，一枝紅杏出墻來.”春色（函數值）關住，比喻如此恰切,其意境把枯燥的數學語言形象化了.總有一枝紅杏也無法將其全部包含.

內是有界函數，數，因為當自變量x

無限接近于0時，其函數值會無限地增大，再大的閉區間（y軸上，值域）例9正弦函數和余弦函數在其定義域因為對一切的都有反比例函數在上是有界函因為當時，而在上則是無界的，可見，函數的有界性與所考慮的自變量的取值范圍有關，范圍上無界，在小范圍內可能就有界了！函數在區間上有界的幾何解釋是：函數在區間之間.上的圖形位于兩條直線與在大例10

判斷下列函數的有界性：（1）（2）

M

只要存在即可，并不要求是最好的，或最小的.解一個函數是否有界，就看是否能找到一個正數M

，使得對一切在討論范圍的x

，有（1）因為所以驗證如下：就有（2）觀察的圖像，可以判斷出在區間上無界.對任意（不論多大），只要取上無界.所以，在區間問題在其定義域上是否有界？不斷增加（或減少）就可以了.

2.單調增加與單調減少函數的單調增加（或減少）是指當自變量變大時，對應的函數值也在變大(或變小).函數單調增加和減少統稱為函數單調性.如果一個函數的定義域是有限集，這個函數就可以列成表格.函數是否單調，只要把自變量由小到大排列起來，看函數值是否40年來我國國民生產總值（簡稱GDP）年度數據見表，例11上面的方法就不好用了.

從表中看到，隨著時間的增加,GDP也增加，顯然是單調增加函數.由于只有有限個數據，一個個地比較就可以判斷了，沒什么困難.但是如果定義域是一個區間，就無法將一個區間的實數按大小排起來，怎么檢驗“自變量變大時，對應的函數值也在變大”這個條件呢？年份19781980198519901995200020052010201520162017GDP(億元)362445178964185485848789468183868397983689052743585827122顯示了數學語言的簡潔而且嚴密.在D上嚴格單調增加（或單調增加）.少）.在這里，完成了對“自變量變大時，對應的函數值也在變大”的檢驗，設函數在數集D

上有定義，如果對于任意兩點當時，有(或則稱函數如果對于任意兩點當時，有(或則稱函數在D上嚴格單調減少（或單調減用“任意兩點當時，有”少.在其定yx1O與有界性類似，與自變量的取值范圍有關.例12通過函數的圖像，容易看出，線性函數

義域上嚴格單調增加；指數函數在其定義域上嚴格單調增加；在閉區間上嚴格單調減如二次函數在上單上則不具有單調性.而在整個定義域函數的單調性也調增加，上單調減少，在3.奇偶性和周期性設函數f

在數集D

上有定義，

D關于原點對稱.如果可見，奇函數的圖像是關于原點對稱的，而偶函數的圖像是關于

y

軸對稱的.則稱f

為D

上的偶函數；如果則稱f

為D

上的奇函數.設函數f

的定義域為D

.則稱f

為周期函數，

T

稱為周期.一般所說的周期都是指最小正周期，如果對一切成立，使得成立的最小正數t

稱為f

的最小正周期.如的周期是等等.的周期是問題如何說明函數在某區間上不具有單調性？§2函數的實例這與復利是同一性質的問題.例1復利問題.銀行要對存貸款計算利息，是金融學中的一個基本問題.計息方法有多種，最常見的有單利計息和復利計息.所謂復利計息，就是每個計息期滿后，隨后的計息期將前一計息期得到的利息加上原有本金一起作為本次計息期的本金，俗稱“利滾利”.這好比一對兔子，經過一段妊娠期之后，會生出一對小兔子出來.此后，大兔子繼續生小兔，小兔子又會生小小兔，小小兔還會生小小小兔子…….試問經過一段時間之后，將會有多少對兔子？公式一般銀行計息周期是以年為單位的，即每年計息一次.設年金加利息的和）為因此，經過連續n

個計息期的到期本利和就是下面的復利計息利率為r

，本金為A

，本利和（本一年以后的利息為于是第二個計息期以為本金，到期的本利和為樣的結果.如果每年不是計息一次，而是計息t

次（如三個月的定期存款，每年計息4次），于是原n

個計息期就變成了nt

個計息期，而這樣復利公式就變成了以后還會看到，當t

越來越大趨于無窮時，上面的公式會是怎每個計息期的利率則是80%，例2測定生物體年齡.減，碳12是非放射性物質.活性物體（生物或植物）通過與外界的相互作用（吸納食物、呼吸等）獲得碳14，恰好補償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數.但生物死亡后由于碳14無法得到補充，會隨時間的增長而逐漸衰減.因此碳14測定技術已經成為考古學的常用技術手段，它是數學應用的結果.現已測知一古墓中遺體所含碳14的數量為原有碳14數量的試求遺體的死亡年代.碳14()是放射性物質，隨時間而衰解科學研究已經證實，放射性物質的衰減速度與該物質的含量成比例，并且符合指數函數的變化規律.數關系就是衰減系數k

是這樣確定的：從化學知識知道，5730年，因此有設遺體當初死亡時的含量為在t

時的含量為衰減的比例系數為常數k

，于是含量與時間的函即經過5730年后其含量會減少一半，的半衰期是即兩邊取對數，得故墓中遺體已經死亡了約1846年，即古應該是漢朝人.將用于本題，已知代入得取對數用計算器計算得（年）.量與時間之間的函數關系：于是得到含該國人口將達到2億.例3人口模型.假設在一定時期內，某國的年人口增長率（即出生率減去死亡率）是一個常數r

，以此類推，第n

年的人口為題）.將達到2億.解設n

年后人口達到2億，將具體數據代入上述公式，得取對數約35年后，則第二年的人口就是即如果第一年的人口為（可以看到人口問題與復利問題也是同一性質的問問多少年后，該國人口設該國原有人口為1億，r=2%,無內在的原因？馬爾薩斯（Malthus，英國，1766-1834）根據上述模型提出了著名的馬爾薩斯人口理論.不過上述模型僅適用于生物種群（動物、魚類、細菌）生存環境寬松的情況，當生存環境惡化（如食物短缺）時此模型就不適用了.例2和例3的最終結果都歸結到以e為底的指數函數（在第二章可以看到例1最終也歸結為以e為底的指數函數），其中有當r

很小時，有于是人口函數模型還可以寫成如果可以請寫出具體表達式.思考題1.復合函數可以是分段函數嗎？問f(x)是否可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和？2.設f(x)

在開區間上有定義，“極”、“限”二字，在我國古代就有了.今天人們把“極限”連起來，將不可逾越的數值稱為極限，因此“挑戰極限”成了當今的流行用語.1859年清代數學家李善蘭（1811～1882）和英國傳教士偉列亞力翻譯《代微積拾級》時，將“limit”翻譯為“極限”，用以表示變量的變化趨勢，極限也就成為了數學名詞.第二章微積分的基礎——極限§1數列極限的初步認識§2數列極限的數學定義§3數列極限的性質§4函數極限與函數的連續性第一講

數列極限的概念§1數列極限的初步認識《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日去其半，萬世不竭”常常作為極限的例子.這個“棰”的剩下部分的長度用數學符號表示，就是數列當時間n

的不斷增加并趨向于無窮大時，盡管它剩下部分的長度總不會是零，但會無限地接近0，最后的歸宿就是0.這非常形象地描述了一個無限變化的過程.

稱為數列，一般根據某個規則按照自然數順序排成一列的無限多個實數其中稱為該數列的通項,數列可以簡記為則稱a

是數列的極限，其極限是0.有極限的數列稱為收斂數列，沒有極限的數列稱為發散數列.如果數列的通項隨著n

增大而能無限接近某個固定常數a，稱這個數列是收斂的，記作如上面“一尺之棰”的數列例3這個數列雖然不像例1那樣是單調減少地逼近極限，但還是有極限的，其極限是1，盡管數列的通項不斷在1的兩邊振蕩，一會兒大，一會兒小.例4

數列沒有極限.通項通項為當時，所以沒有極限.例1例2始終在1與-1之間振動，數列通項極限數列通項圓周率π也可以是一有理數列的極限.對數列極限，作以下討論.（1）有理數組成的收斂數列，極限值可能是有理數，也可能是無理數.其極限是0.則可以看成是其不足近似組成的有理數列{1.4,1.41,1.414,1,4142,···，}的極限.這個數列雖然寫不出通項，如由有理數構成的數列又如無理數卻知道它無限接近實數（2）由例3，數列收斂時，數列的通項不必單調增加或單調減少地逼近極限；同樣，收斂數列的各項也不必一定是后一項總比前一項更靠近極限值，但是最后的總趨勢還是趨向極限值.例如數列的極限是0，但是各項離極限0的距離忽大忽小，第3項1/4離0近，第4項1/3反而離0遠些，不過它的總體趨勢還是趨向于0.

（3）不要忘記常數列，常數列總是有極限的.

例如，常數列1，1，···，1，···的極限就是1本身.（4）收斂數列的極限是唯一的，但是不同的數列卻可以有相同的極限.例如，0可以是下列數列的極限：0,0，···，0，···本節要用數學語言來給出極限的嚴格定義，數學符號的.看看數學家是如何§2數列極限的數學定義將極限的“無限接近”這種可以意會，難以言傳的說法精確成定義1

a

是一個實數，如果對任意給定都存在自然數N，當n>N時，總有記作設是一個實數數列，（無論多么小），的正數則稱a

是數列的極限，或是收斂的.此時也稱數列定義中用加、減、絕對值，大于小于這樣的“算術”運算和符號，將“無限增大”、“無限接近”靜態化和有限化了.動態的、無限的極限過程，有限的詞語揭開了“無限”的面紗，非常精確，彰顯了數學的魅力.例1用定義驗證如下：為了使得只要把N取為10000，上述不等式就成立了.再給小一點，有問題，只要將N取成10000000，當n>N時，同樣有不等式驗證數列的極限是1.任給一個很小的正數（比如），由于是任意給定的，比如那也沒因此，到！），當n>N時，一定有不等式成立.你無論給出多么小的正數（總能取只要取正整數的極限是1.這就驗證了數列學化的表示，莊子《內篇?養生主》：“吾生也有涯，而知也無涯.以有涯隨無涯，殆已”.意思是人生是有限的，知識是無限的，如果什么都想知道，事事最求完美，那必然要失敗的.莊子這句話有些頹廢，人的一生雖然不能窮盡所有知識，但是人的創造性思維，卻能跨越無限，用可以操作的有限來表達無限.極限的這一定義，是牛頓-萊布尼茨發現微積分后，經過很多數學家近200年的不斷完善、總結得到的.正是其嚴格且簡潔的數奠定了微積分發展的基礎.第二講

數列極限的性質有了一個數學概念之后，為了對這個概念有進一步的了解，就應該來討論概念的性質.極限也是如此.§3數列極限的性質性質一（唯一性）

性質二（四則運算）若數列收斂，則其極限是唯一的.如果則有2）乘法法則3）除法法則當時，1）加減法則4）如果k

是常數，則5）性質3（有界性）如果存在一個正數M，使得對一切正整數n

，注1當然沒有.所以這個性質有時用來判斷數列發散（沒有極限）是有用的.是無界數列，所以沒有極限.如果數列收斂，則是有界數列.都有則稱數列是有界數列.如果數列無界，它會有極限嗎？如數列問題無界數列用數學語言怎么表達？可參照函數無界的定義.性質4（保不等式性）且對所有的正整數即對應項大的數列，極限也大，這比較容易理解.更通俗的說法是，非負的數列，其極限也是非負的.每一項都是非負，所以其極限不可能是負的.設n

，有則又有：如果且則比如但沒有極限！注2

所以有界只是數列收斂的必要條件.如數列有界，從數列有界卻不能得出收斂，接近于a

還能到哪里去？性質5（迫斂性）則設數列和極限都是a

，若數列滿足：存在當時，有由于隨著n

的增加而無限接近于a

，被夾在中間的不無限性質6

單調有界的數列一定有極限.是單調增加和單調減少的總稱，單調增加（減少）是指：數列的后一項總比前一項大（小），即對一切的正整數n

，這個性質用圖示更容易理解：數列一項比一項大，能超過M

，數列單調，有數列是單調增加的且有上界M，因此必定有極限但又不可以用來證明某些數列的收斂性.有極限的數列一定是有界的，但是有極限的數列不一定是單調的，所以，單調有界只是數列收斂的充分條件，比如數列數要稱為“自然對數”.用字母e表示它的極限，即：這是一個非常著名的極限，在中學時就認識以e為底的自然對數：原來這個e不是隨意想出來的！以后還會看到，這個e實在是自然界創造的，所以以e為底的對例1可以證明數列是單調增加且有界的，其極限存在.第三講

數列極限舉例解所以解例2計算根據性質二，以及例3計算因為而因此，例4解計算解這個極限不能直接用運算法則（性質二）計算.于是例5計算為此先用同除分子分母，解與上例類似，用n

同除分子分母，所以例6求極限因為解有例7用同乘分子分母，解則有根據性質5，得例8求極限設容易看到解

對任意正整數n

，有所以數列是單調增加的.根據數學歸納法得知，對一切正整數n

，是有界的，例9證明有極限，并求這個極限.數列的通項是又由于設則有且即數列又所以數列有極限，設明顯有上式兩邊同時取極限，因此得到對兩邊平方，得注意解得或者由于故其極限（性質四），所以第四講

函數極限概念與性質微積分是用極限方法研究函數的性質.這一節討論函數的極限和連續性，看看數學是如何表達連綿不斷的“連續性”.

§4函數極限與函數的連續性一、函數極限二、無窮小量三、等價無窮小量和高階無窮小量四、函數的連續性五、連續函數的性質與存在性定理先看一個例子.一、函數極限數列可以看成是一種特殊的函數，所以函數極限與數列極限有相似之處，但又有不同，因為函數的自變量是連續變化的.極限.所以下面重點討論為了對這類函數極限有一個感性認識，因此，函數除了有時的極限，時的極限與數列極限沒有本質的區別，時函數的極限問題.還有x

趨向于一個有限值的例1函數值的變化趨勢.可以看到，當x

無限接近1時，函數f(x)的值就會無限接近2，考察當自變量x

趨于1時，函數而2恰好是f(x)在的函數值：x0.90.950.990.99911.0011.011.051.11.91.951.991.99922.0012.012.052.1所以，當時，

f(x)的極限為記為例2同樣考察當自變量x

趨于1時的極限.所以當x

無限接近1時，盡管函數g(x)在但是并不妨礙其函數值無限接近2，函數與例1中函數不同之處在于定義域不一樣.當時，與上例中的函數一致.處沒有定義，因此x0.90.950.990.99911.0011.011.051.11.91.951.991.999無定義2.0012.012.052.1函數f(x)和g(x)的圖形如圖所示.還有其他原因嗎？上面兩個例子告訴我們，關心的是函數f(x)變化趨勢，問題是，除了邏輯上的原因，在考察函數f(x)當的極限時，與f(x)在是否有定義沒有關系.我們為什么要討論函數在有限值處是否有極限？平均速度為

v

的值就無平均速度v

的值就無限接近考察位移函數從時刻到時刻x

的平均速度，當時，所以當x無限接近時，限接近從直觀上看，當x

無限接近時，在處的瞬時速度.因此在時刻的瞬時速度為的極限是有實際價值的.所以求x

趨向于一個有限值也可定義1

如果當自變量x

函數f(x)的值可以無限接近某個確定的常數A，函數f(x)有極限A，或稱A是函數記為自變量的方式，可以以任何方式從兩邊同時靠近以從小于或大于的方向以任何方式靠近設函數在的一個空心鄰域上有定義，無限接近時，則稱當自變量x

趨于時，f(x)在點的極限，或函數

f(x)的值無限接近某個確定的常數A，函數

f(x)有右極限A，記為函數

f(x)的值無限接近某個確定的常數A，函數

f(x)有左極限A，記為如果當自變量且無限接近時，則稱當自變量x

趨于時，或稱A是函數

f(x)在點的右極限，或如果當自變量且無限接近時，則稱當自變量x

趨于時，或稱A是函數

f(x)在點的左極限，或定理1定理1’的充分必要條件是的充分必要條件是函數極限也有與數列極限類似的性質，如極限的唯一性、四則運算性質等.四則運算給求函數極限帶來很多方便.上述法則對其他類型的極限也一樣成立.則有設（1）（2）（3）當時，（4）對于任何常數c

，任何正整數k

，有第五講

函數極限舉例例3例4

f(x)的右極限即因此根據定理1，例5設函數當即設則當時，當時，f(x)的左極限當時，函數f(x)沒有極限.對于冪函數（是實數），有例6所以根據極限四則運算性質，有例7解于是求函數當時的極限.解因為計算極限先用同除分子、分母，使得分子分母均有極限，于是

解因此不能直接用運算法則，例8計算由于與均不存在，當時，有解通過代數變換使之能使用運算法則：例9計算即這是一個分式的極限，因此不能用極限的四則運算來求這個極限.通過實驗的方法，利用函數計算器計算可知：當x越來越接近0時，例10重要極限當時，分子、分母都趨于0，（注意這里的x

是弧度！），的值越來越接近1有了這個極限，就可以求一些有用的極限了.n

只能取自然數，因此是朝正的方向趨向無窮大；而x

是實數，因此可以朝正和負兩個方向遠離坐標原點而趨于無窮大.但它們的極限都是e.同樣可以利用這個極限做一些計算.如例11重要極限這里與數列極限的有些差別.解

最后，給出函數極限的數學化定義.例12計算還可以變形為重要極限定義2

A是一個確定的實數.總存在實記為設函數f(x)在的空心鄰域上有定義，如果對任意給定的正數(無論多么小)，數使得當時，總有成立，則稱函數f(x)在處有極限A，第六講

無窮小量，等價無窮小量二、無窮小量在所有極限過程中，極限為0的變量有著非常特殊的地位.極限為零的變量（函數）f(x)稱為無窮小量.就稱f(x)量.即如果(或)時，為(或)時的無窮小下面是幾個無窮小量的例.而又如就不是無窮小量了.特別地，常數中只有零才是無窮小量.可見，是否是無窮小量不僅與變量（函數）本身有關，還與極限過程有關.還有，無窮小量是一個變量的變化過程，不能與很小的常數混為一談.根據無窮小量定義，因為所以當時，是無窮小量；所以當時，不再是無窮小量.當是無窮小量，而當時，x

是時的無窮小量.問題無窮小量是極限的一種，所以比照極限運算法則，首先有性質1有限個無窮小量代數和仍是無窮小量；性質2有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量.正是由于無窮小量是極限為零的變量，于是就得到了一個非常有用的運算性質：性質3無窮小量與有界（變）量的乘積仍是無窮小量.無窮小量有除法運算法則嗎？為什么？例13計算：解根據性質3，有（1）（2）（1）因為所以（2）因為而在鄰域中有界，存在的話，請分別求出這兩個極限.無窮小量與極限之間有下列關系定理2使得問題當時，極限是否存在？的充要條件是存在時的無窮小量證也就是說無窮小量是有不同量級的.三、等價無窮小量和高階無窮小量但卻有由此可知，雖然都是無窮小量，但是趨于0的速度還是有快有慢，甚至相差很大，由已知，當時，都是無窮小量，可得下面等價無窮小量：定義3無窮小量；根據前面的例子，設（其他極限過程也一樣）.（1）如果則稱當時，是比高階的無窮小量，記作（2）如果則稱當時，是與同階的無窮小量，特別當時，稱當時，是與等價的記作解因為例14當時，所以當時，第七講

函數的連續性四、函數的連續性為了便于理解連續，先看兩個不連續的例子.例15設從函數的圖形看出，函數是由兩個的，當x從小于0和大于0分別趨于0時，f(x)的左右極限不同，并函數(和)拼接而成處發生了斷裂(有一個跳躍).且都不等于函數圖形在例16將例2中函數g(x)做一個小的改造：盡管處也有定義，這樣函數就在處有定義了，這時有并且在1這點但是處也是間斷的.函數的圖形在一般地說，凡是在一點處，如果函數值在自變量趨向該點時沒有極限，或者有極限其值卻不等于該點的函數值，那就是不連續了.

現在可以正面描述函數的連續性了：定義4如果當即設函數f(x)在點的一個鄰域有定義，時，則稱f(x)在點連續.如果函數f(x)在點不連續，則稱是f(x)的一個間斷點.的極限存在并且等于該點的函數值如果設函數f(x)在區間(或)上有定義，(或)，右連續（或左連續）.則稱函數f(x)在點根據極限與左、右極限的關系.有定理3函數f(x)在點左右都連續.函數f(x)在點連續的充分必要條件是：連續函數.如果函數f(x)在開區間(a,b)的每一點都連續，則稱f(x)在(a,b)上連續，或稱f(x)是(a,b)上的連續函數.如果f(x)在閉區間[a,b]中間的每一點都連續，在左端點a右連續，在右端點b左連續，則稱f(x)在閉區間[a,b]上連續，或稱f(x)是[a,b]上的連續函數.如果函數在其定義域的每一點都是連續的，就稱這個函數為設則與等價，與等價.首先，基本初等函數是其定義域上的連續函數.定義4'定義4'更能反映函數連續的本質：當自變量變化很小時，函數值的變化也很小，什么樣的函數是連續的？函數f(x)在點連續又有了一個等價的定義.函數f(x)在上有定義，則稱f(x)在點連續.并且隨而趨于0.若這樣函數的四則運算和復合運算是產生初等函數的基本方法.定理4則和在處也連續.設函數f(x)，g(x)都在點處連續，補充定理（反函數的連續性）則的反函數是(開)區間

設是開區間上嚴格單調增加(或減少)的連續上嚴格單調增加(或減少)的連續函數.其值域為函數,定理5且為設函數在處有極限函數在處連續，則復合函數在處極限存在，上面的極限式可以理解為：連續就是極限運算與函數運算可以交換，即且特別當在處連續時，復合函數在處也連續，初等函數在其有定義的區間上是連續的.這樣我們就得到了結論：第八講

連續性舉例即例17求極限解由于分子分母都是初等函數，因此例18所以在任并且當時，分母不等于0，所以在處連續，由于多項式是初等函數，意處連續，解例19同樣對于有理函數（其中P(x)，Q(x)是多項式），在任何使的實數處連續，所以例20

求極限函數是連續的，所以解由此可得，例21求極限函數是連續的，所以當時，與x是等價的無窮小量，即于是就得到了連續復利公式例22繼續討論利率，由第一節例1知，當采用復利計息法，并且每年計息t

次的話，則n

年后一元本金的本利和為當時，因為是連續函數，底的對數稱為“自然對數”也就十分自然了.實際上，自然界中任何“立即產生立即結算”的現象，都有與連續復利相同的函數模型，如細菌的繁殖，放射性物質的衰減，生物的增長等的數學模型均為以為e底的指數函數，因此將以e為補充例子1求極限因此，解令且當時，于是即補充例子2求極限解于是從第六講的例7得到經驗,這個極限由分子分母最高次數項的系數確定.根據初等數學知識,分子分母的最高次數都是60次,補充例子3已知解

所以，補充例子4設下例函數是定義域上的連續函數，求

a

的值.解

由在處連續,得到因此第九講

連續函數的性質與存在性定理數學中卻是十分有用的.五、連續函數的性質與存在性定理閉區間上連續函數有兩個非常重要的性質，這就是最大值最小值定理和介值性定理.這兩個定理在數學上被稱為“存在性定理”，也就是只知其存在，但不知存在于何處，盡管不十分完美，在定理6（最大、最小值定理）如果f(x)在閉區間[a,b]上連續，有即f(x)還無法判定.則至少存在兩個點使得對所有的這里和分別是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，的函數值在處達到最大值，在處在哪里，和但究竟取到最小值，最小值，如如果函數

在[a,b]上有間斷點，其函數值就不一定有最大、在上

有間斷點，容易看到其函數值既沒有最大值，也沒有最小值.如果函數

在開區間(a,b)上連續，定理結論還會成立嗎？問題定理7（介值性定理）當函數

f(x)在閉區間[a,b]上連續，且（不妨設）,對于任何一個介于f(a)與f(b)

之間的實數c，至少存在一點使得a這種“存在性”問題在中學數學也碰到過，如抽屜原理：果放在N個抽屜里（M>N），那么一定存在一個抽屜，其中至少有兩個蘋果.其他科學領域也有同樣的情況.有些科學論斷，確定某事物和某現象的存在，卻不能指出存在的地方，這些論斷仍然具有重要的科學價值.例如：根據臨床實驗，知道幾種藥物服用后肯定有效，但是哪一種最有效，還說不清楚；生東北虎存在，但是具體在哪里，還不能肯定.通過野外調查，肯定東北大興安嶺某區域有野M個蘋或者說出具體的原因.但是，賈島（779-843年，唐朝詩人）的詩《尋隱者不遇》：“松下問童子，言師采藥去；只在此山中，云深不知處”.在人文意境上對存在性定理做了非常生動的描賈島并非數學家，但是細細品味，覺得其詩的意境，簡直是為數學而作：他就在山中,但具體在山中的哪里,卻不知道了!高中數學教材中有二分法求根問題，是根肯定存在，這個根，存在性定理起了關鍵的作用！述.老藥師在哪里？求根的前提然后通過不斷試驗來逐步逼近例23內至少有一個實根.證明方程在區間我們知道，一元二次方程有求根公式，而當方程次數大于或等于5時，就沒有統一的求根公式了.瓦,19世紀法國數學家)理論得出的結論.雖然還無法得知根的確切位置，卻可以知道根是否存在.證設則f(x)在[0,1]上連續，于是有根據介值性定理，至少存在一點使得即c是方程在區間(0,1)內的一個實根.這是用著名的“伽羅瓦”(伽羅但是有了介值性定理，并且f(0)=1>0，思考題1.以下論斷是否正確？請說明理由，并給出正確的計算方法.2.如果一個數列的極限為3，我們改變數列中的前一萬項的值，這個數列是否還有極限？如果有，極限是多少？3.芝諾“追烏龜”悖論.論述如下：阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄.他和烏龜賽跑,速度為烏龜十倍.烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜.到100米時,烏龜已經又向前爬了10喀琉斯必須繼續追.阿喀琉斯只能再追向那個1米.因為在競賽中,追者首先必須到達被追者的出發點,當阿喀琉斯追于是,一個新的起點產生了,阿米.爬的這10米時,烏龜又向前爬了1米,而當他追到烏龜就這樣,烏龜會制造出無窮個起點,它總能在起點與自己之間制造阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！這個論斷明顯有悖常理，請分析究竟錯在哪里，嘗試用學到的極限知識分析說明.出一個距離,不管這個距離有多小,但只要烏龜不停地奮力向前爬,

微積分的誕生開創了人類科學的黃金時代，成為人類理性精神勝利的標志.通常認為變速運動的瞬時速度問題，曲線的切線問題以及求函數的極值問題是導致微分學產生的三大原因.這三個問題的實質都是“變化率”，因此我們就從變化率談起.第三章變化率和局部線性化——導數和微分§1函數的變化率——導數§2函數的局部線性化——微分§3微分中值定理和導數的應用第一講

導數的引入-兩個實例§1函數的變化率——導數中學學習函數，知道當自變量x變化時，函數值f(x)隨

x變化而變化，這是第一層次的問題.化相對于

x的變化是快還是慢？問題，需要用微積分來解決.如果問x變化之后，函數值的變這就是變化率，是高一層次的一、兩個實際例子二、導數的概念三、導數的運算性質四、二階導數一、兩個實際例子1.切線問題曲線的切線是中學就有的概念，我們在日常生活中也是可以用直覺感知的.該也是很難說清楚的.著雨傘旋轉軌跡的切線方向飛去”，相信人們基本能理解這句話的意思.比如，說“旋轉雨傘時，雨滴脫離雨傘瞬間是沿但究竟什么是“切線方向”，沒有數學的幫助，應定點的切線了！那么，什么是切線？與曲線密切接觸程度最高的一條直線.決定一條直線需要兩點，要找的切線首先應通過該定點，一點，在曲線上往往找不到最好的，越靠近該定點一定越好.點B

(稱為動點)，直線(稱為割線)，接近定點時，該直線就成為了過該通俗地講，曲線在某一點A的切線是在該點那么如何求出切線呢？為了得到切線,，先在定點附近取一至于另x0AxyO再過這兩點作一條當這個動點無限BB設曲線C是函數的圖像.

是曲線C上的一個點，是C上靠近A的點過A，B作割線，則割線AB的斜率為當點B沿曲線C移動并無限接近點

A時(即)，如果極限存在，于是過點且以k為斜率的直線AT便是曲線C在點A處的切線.則k就是曲線C在點A處切線AT的斜率.與自變量的增加量比值的極限.只要不等于零，這個比值就不是切線的斜率，義.所以要用割線的斜率無限逼近切線的斜率，其極限位置（即時的極限）就是切線的斜率了.比值的意義是函數在區間而極限則是處的在這里看到，曲線的切線問題最后歸結到函數的增加量上的平均變化率，瞬時變化率.而等于零比值就沒有了意2.瞬時速度問題中學涉及的速度都是平均速度，平均速度實質是將整個過程看成是勻速運動時的速度.的速度時，這就是瞬時速度了.“速度”一條的解釋是：但是，當人們要研究運動在某一時刻什么是瞬時速度呢?《辭海》中描寫物體位置變化的快慢和方向的物理量.物體的位移和時間之比，稱為這段時間內的平均速度.于0），這一比值的極限就稱為物體在該時刻的速度，“瞬時速度”.如果這一時間極短（趨向亦稱現在用辭海中的定義來求出直線運動的瞬時速度.設質點M沿直線運動，其位移s是時間t的函數：當位移

s也有一個增量時間t在處有一個增量這樣質點M從時刻到時刻內的平均速度為若平均速度的極限存在，則其極限稱為質點

M在時刻

時的瞬時速度.由此看到，瞬時速度也是一種變化率.變化率在微分學中就是“導數”.上面兩個例子雖屬不同的范疇（一個是幾何，一個是物理），但要解決的數學問題是一樣的，都是函數關于自變量的變化率問題.因此研究函數的增量與自變量的增量的比值的極限具有重要的實際意義.第二講

導數的概念二、導數的概念定義1當自變量x處有增量（點仍在該鄰域內）時，相應地函數有的某一鄰域內有定義，設函數增量如果與的比值的極限存在，則稱該極限為函數f(x)在點處的導數，記作即也可以記作或如果極限不存在，則稱

f(x)在處不可導.若令則當于是可得

f(x)處導數的等價定義定義2若存在，則稱此極限為處的右（左）導數，記作右導數與左導數統稱為單側導數.根據導數定義及極限存在定理可知：性質存在的充要條件與都存在且相等.若函數f(x)在區間I上每一處都可導（對于端點，只要存在相應的單側導數），則稱f(x)在I上可導，其導數值是一個隨

x變化而變化的函數，稱為導函數，記為或在第二章知道，函數f(x)在點處連續是或者應該與f(x)在點處的導數是有關系的.根據定義，f(x)在點可導時，存在，這樣就有這表明函數f(x)在處可導必定在處連續，簡稱可導必連續.性質如果函數f(x)在點可導，f(x)在點連續.則這個性質說明連續是可導的必要條件：如果函數在某點不連續，則在該點一定不可導.但函數f(x)在點處連續一般不能得出f(x)在處可導.求函數在某一點處的導數.例1解取自變量x在處的增量于是函數有相應的增量所以例2牛頓在《求積術》一文中關于導數（當時稱流數）有如下的論述：設

x均勻地變動一個增量

h，

欲求的導數，在x變成x+h的同時，變成而注意到將它與增量h作比，約去h，得再令增量h等于零，最終的比值變成了牛頓用上面的論證得出的導數是顯然論證不夠嚴格.增量h開始時不是0，所以求比值時可以約去.后來為了得到導數，又令增量h為零，與例1相比，牛頓時代由于極限理論尚未成熟，無法將極限表達清楚，以至于出現了這種對待h招之即來、揮之即去的做法，在邏輯上是站不住腳的，解決了許多科學和工程上的問題.現在我們知道這實際上是一個極限問題，即可.可是在應用上卻屢獲成功，使除了外的其余各項均消失.只要求極限例3

設f(x)在x=1處可導，且求極限解根據導數的定義，注意到，當h→0時，所以有例4常值函數的導數為：例5求三角函數的導數.解類似地，可以得到：于是有例6求對數函數的導數.解類似的方法，可以得到（留作練習）第三講

導數的四則運算

反函數的導數三、導數的運算性質有了導數的定義，就可以進行求導運算了，但是，即便是基本初等函數，求導也不是一件容易的事，為了使求導變得更為簡便，走得更遠，需要研究導數的性質和求導數的運算法則.由于初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算生成的，因此知道了基本初等函數的導數公式及四則運算、復合函數求導法則，初等函數的求導問題就解決了.1.導數的四則運算設函數和都可導，則（1）可導，且.（2）可導，且；特別地，對于常數k，有.；（3）當時，可導，特別地，.定理1

下面對乘法法則進行證明.（2）可導，且；證求下例函數的導數：(1)根據除法法則，有(2)類似地，有解

例7則在點可導,且單調,設為的反函數，或在點的某鄰域內連續、嚴格且補充定理（反函數求導法則）解上的反函數，補充例1

求的導數.所以上的反函數，補充例2求的導數.解所以練習1

求的導數.練習2求的導數.第四講

基本求導公式、例2.基本初等函數的求導公式（1）常值函數的導數；（2）冪函數是實數）（的導數

；（3）指數函數的導數，；（4）對數函數的導數，（5）三角函數的導數（6）反三角函數的導數這些基本求導公式是計算導數的基礎，必須牢記！求下例函數的導數：解(1)根據加法和減法法則，有(2)根據乘法法則，有(1)(2)例8(3)根據除法法則，有(3)(4)(4)解切線的斜率.因此，所求切線的斜率為即曲線經過點(1,1).根據直線的點斜式方程，所求切線的方程為求曲線在處的切線方程.函數在點的導數就曲線上過點的例9

又當化學反應速度.其反應物的濃度C是時反應物因而反應物的間t的函數當時間變量在時刻有一增量時，的濃度也有一相應的改變量濃度從時刻到時刻這段時間間隔內的平均變化率為當時，其極限（如果存在）就是反應物濃度在時刻的瞬時變化率，化學中稱為在時刻的化學反應速度.例10在設某一化學反應，例11

導數不存在的例子：的左、右導數都存在，解因為所以絕對值函數但導數不存在.于是的導數不存在.從圖中可以看出，在原點連續，曲線但沒有切線！在

處因此

f(x)在

處第五講

復合函數求導法，二階導數3.復合函數的求導法則并且可以復合成復合函這個復合函數的求導法則通常稱為鏈法則.另外，例12解數則復合函數也可導，或是對變量u求導，然后再用代替

u

得到的表達式.求的導數.是由，復合而成，設函數與函數都可導，其導數為還要注意公式中的記號，根據鏈法則有例13解（1）可以把這個函數展開成多項式后再進行求導，因此用復合函數求導法：根據鏈法則有麻煩，所以求（1）的導數.（2）是由和復合而成，（2）由復合而成，但會非常例14解所以例15解所以復合函數求導的關鍵是正確分解復合函數.求的導數.是由復合而成，求的導數由復合而成，練習利用復合函數求導法則，求一般冪函數的導數.

四、二階導數運動學中，率，因為變速直線運動的速度

v(t)是位移函數

s(t)對時間

t的導數，所以加速度

a(t)

是位移函數對時間

t的導數的導數，也就是說，個可導函數求導之后，需要知道物體的速度，更需要知道運動速度的變化即加速度.是速度v(t)對時間

t的導數，而加速度

a(t)對一有時還需要研究其導函數的導數.記為稱函數導數的導數為的二階導數，或或或，函數的二階導數在點處的值記為例16解解例17設求設求例18解設求解例19設求例20解設求續求導，只要條件滿足，個求導過程可以繼續下去.二階以及二階以上的導數都稱為如果函數的二階導數仍然可導，那么可以對繼這就是函數的三階導數.這高階導數.第六講

微分的概念§2函數的局部線性化——微分在中學數學中稱為一次函數，函數，但是在實際中，到的函數都不會是線性函數，函數復雜得多.那么遇到不簡單的事情怎么辦呢？把它化解成簡單的事情來處理！線性函數，是最簡單的它的圖形是平面上的一條直線.經常碰也就是我們要處理的問題比線性一、微分是函數在局部的線性化由導數的定義，其中一個小的鄰域內有可以將上述極限寫成將其變形為所以當時，是的高階無窮小量：于是在的當很小時，注意到，上式表明，同時記作的線性部分的高階無窮小量部分和稱的線性部分為函數在處的微分，稱函數在處可微，由兩部分組成，函數的增量性部分，因而在點

A附近的曲線段可用切線段來近似代替.函數在一點的微分就是函數增量關于自變量增量的線即在點的微分就是函數在的一個領域內的線性近似：曲線在點

A處的切線的而在點的增量為并且越小，與接近程度就越高，在點處的微分的差是的高階無窮小量縱坐標增量CD就是函數兩者之間得到近似公式微分本質就是函數在局部的線性化.以及用代入，的附近的一個局部范圍內，次函數（即線性函數）來近似，由，(

很小)時，得到當x非常接近可以近似地用一函數即在為了能更好地理解“微分本質就是函數在局部的線性化”這句話的含義，兩者之間幾乎已經看不出差別了.可以看出當非常接近0時，線差距非常小.當在點處的情形放大仔細考察.對函數附近，在與直曲線時，局部線性化的思想在數學中有著非常重要的意義.數學學習的一個重要方法就是“化難為易”，而線性函數（或稱一次函數）是最簡單的函數，將一個難的、復雜的函數在局部變成一個最簡單的線性函數來研究，實際上，這種“線性化”以及類似的方法貫穿于整個數學中.學習數學重要的是要學會運用數學的思想去處理和解決各種問題.能不是一個好方法嗎？區間

I上可微.數的微分，于是微分又可記作如果函數在區間

I上的每一點都是可微的，函數在區間I上任意點

x的微分，記作或，將記為在就稱稱為函即在微分中，所以，即微分的商.于是往往記為自變量的增量從而可以得到.有時也稱導數為“微商”，欣賞無窮小的故事在牛頓創建微積分之前，家運用無窮小進行研究，費馬運用無窮小得出了令人驚奇的正確結論.難以解釋清楚.從古希臘到文藝復興，可是無窮小量是什么？在那時卻圍成的面積最大.這是一個完全正確的命題，沒有人能夠證明其正確.費馬運用無窮小加以論證.人們認為無窮小就是“既是0又不是0的量”.費馬已經有許多數學如法國數學家大家都認為周長一定的矩形以正方形但是，在當時，設矩形的二分之一周長是

a，時面積最大，那么可以猜想費馬認為，約去它，得假設當矩形的兩個鄰邊為又因為是無窮小量，立刻得到結論.只要證明任取無窮小量在變量取得最大值或最小值的地方自變量加一個無窮小量運動都是穩定的.進去函數值不會變化.展開這個式子，得到整理后有因為，看成是0，可以略去，

這段論證在邏輯上確實是有漏洞的，0，可以約去，但是正是因為費馬這些先輩的大膽探索，在本章開始時曾經說過，因之一，一會兒又說等于0.一會兒說無窮小量不是推動了數學的發展，才有微積分的誕生.求最大最小值問題是微分學產生的三個原這個例子支持了這個說法.第七講

基本微分公式與運算法則二、基本微分公式與運算法則只要計算函數的導數，微分運算法則從函數的微分表達式可以看出，1.2.3.要計算函數的微分，再乘以自變量的微分即可.基本初等函數的微分公式1.（C是常數）；2.為任何實數）；（3.4.5.6.例1解計算微分：（1）根據微分的運算法則1，有（2）根據微分的運算法則2，有（2）（1）這是一個復合函數，（3）先求導數.因為所以解法一，解法二，所以先求導數，因為根據微分的運算法則3，（4）有例2解求函數在處，因為，時的微分.當所以例3解請用微分導出近似公式：于是當

x與0很接近時，有代入前式，有當

x非常接近時，有現設而很小時，當有這樣我們就得到：比如，很小時，當有近似公式用同樣的方法，可以得到下面近似公式：于是可以求出，是用線性函數來進行近似的.要用精度更高的多項式函數來近似.而在使用上述近似公式時一定要注意很小這個條件（比如當比較大時，很小時當其精度會大大下降，原因在于這里為了得到更高的近似精度，就需要）,例4經濟學中的邊際問題.產量引起的總成本的增加量，成本的變化量（即邊際成本）是小單位是1，即這種替代得到了廣泛的認同.在實際應用中，設成本函數為（其中

x表示產量），，因此可以用成本函數的導數近似地替代成本函數的增量比如邊際成本，就是每增加一單位其實質是一個微分問題.當產量在原產量的基礎上變動時，由于產量增加量至少是1，的最即所以根據微分定義：更容易計算，一般導數比成本函數的增量第八講

拉格朗日中值定理和

函數的平均變化率§3微分中值定理和導數的應用拉格朗日微分中值定理是局部與整體溝通的橋梁.圖3.6

拉格朗日(JosephLouisLagrange1736─1813)一、拉格朗日中值定理和函數的平均變化率定理1(拉格朗日中值定理)續,使得這個公式稱為拉格朗日公式，它的幾何解釋見圖，上至少有一點的斜率等于曲線