2.1

認識一元二次方程

第二章

一元二次方程第1課時

一元二次方程復習引入沒有未知數1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代數式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我們學過哪些方程？含有未知數的等式叫做方程.

我們學過的方程有一元一次方程，二元一次方程(組)及分式方程，其中前兩種方程屬于整式方程.3.什么叫一元一次方程？

含有一個未知數，且未知數的次數是

1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么是一元二次方程呢？一元二次方程的相關概念問題1：幼兒園某教室矩形地面的長為

8m，寬為

5m，現準備在地面正中間鋪設一塊面積為

18m2

的地毯

，四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同，你能求出這個寬度嗎？解：如果設所求的寬為x

m，那么地面中央長方形地毯圖案的長為

m，寬為

m，根據題意，可得方程：(8-2x)(5-2x)xx(8–2x)xx(5–2x)(8-

2x)(

5-

2x)=18.化簡：2x2-

13x+11=0

.①該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？問題2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續整數，使前三個數的平方和等于后兩個數的平方和嗎？解：如果設五個連續整數中的第一個數為

x，那么后面四個數依次可表示為：

，

，

，

.

根據題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？解：由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動

xm，那么滑動后梯子底端距墻

m，根據題意，可得方程：問題3：如圖，一個長為

10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為

8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數的個數和最高次數各是多少？①2x2-

13x+11=0；②x2-8x

-20＝0；③x2+12

x

-

15=0.1.只含有一個未知數；

2.未知數的最高次數是2；3.整式方程．觀察與思考方程①、②、③都不是一元一次方程.那么這三個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:只含有一個未知數

x的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a，b，c為常數，a≠0).其中，ax2

稱為二次項，a

稱為二次項系數；bx

稱為一次項，b

稱為一次項系數；

c

稱為常數項.知識要點一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式

想一想為什么一般形式

ax2+bx+c=0中要限制

a

≠

0？b，c可以為0嗎？當

a=0時，bx＋c=0，當

a≠0，b=0

時，ax2＋c=0，當

a≠0，c

=0

時，ax2＋bx=0，當

a≠0，b

=c

=0

時，ax2

=0，總結：只要滿足

a≠0即可，b，c

可以為任意實數.不符合定義；符合定義；符合定義；符合定義．典例精析例1

下列選項中，是關于

x

的一元二次方程的是（

）C不是整式方程含兩個未知數化簡為

x2-3x+2=0化簡為

-1=

12x+

9

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；若是，則進一步化簡整理再做判斷.提示判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

××××

××(1)x2+x=36注意：未限定

a≠0例2a為何值時，下列方程為關于

x的一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)將方程整理，得

(a-2)x2

-

x=0，所以當

a

-

2≠0，即

a

≠

2時，原方程是一元二次方程.

(2)由

|a|+1=2，且

a

-

1≠0知，當

a=-1時，原方程是關于

x的一元二次方程.

方法點撥：根據一元二次方程的定義求參數的值時，按照未知數的最高次數等于2，列出關于參數的方程，再排除使二次項系數等于0的參數值即可求解．變式方程(2a－4)x2?2bx+a=0，

（1）在什么條件下此方程為關于

x的一元二次方程？（2）在什么條件下此方程為關于

x的一元一次方程？解：(1)當2a?4≠0，即

a≠2時，是關于

x的一元二次方程；(2)當

a=2且

b≠0時，是關于

x的一元一次方程．一元一次方程一元二次方程一般式相同點不同點思考：一元一次方程與一元二次方程有什么區別與聯系？ax+

b=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)都是整式方程，且只含有一個未知數未知數最高次數是1未知數最高次數是2

例3

將方程

3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程一般形式，并分別指出它的二次項、一次項和常數項及它們的系數.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2

-

8x

-

10=0.

其中二次項是

3x2，系數是

3；一次項是

-8x，系數是

-8；常數項是

-10.系數和項均包含前面的符號.注意視頻：一元二次方程一般式點擊視頻開始播放

1.

下列哪些是一元二次方程？是不是是不是不是是3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x

-

4)=x2；3y2=(3y+1)(y

-

2)；x2=x3+x2

-

1；3x2=5x

-

1.2.填空：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項-21313-540-53-23.關于

x

的方程(k2?1)x2＋

2(k?1)x＋2k＋

2＝0，當

k

時，是一元二次方程．當

k

時，是一元一次方程．≠±1＝?14.(1)如圖，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm.現在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑

x(cm)應滿足的方程（其中

π

取3）；解：由挖去的圓的半徑為

xcm，則它的面積為

3x2

cm2.整理，得根據題意，得200cm150cm(2)如圖，據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率

x應滿足的方程.解：由該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為

x，整理，得根據題意，得一元二次方程概念是整式方程；含一個未知數；最高次數是

2.一般形式ax2

+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的前提條件2.1

認識一元二次方程第二章

一元二次方程第2課時

一元二次方程的解及其估算問1：一元二次方程有哪些特點？①只含有一個未知數；

②未知數的最高次數是2；

③整式方程問2：一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a，b，c為常數，

a≠0)復習引入一元二次方程的根一元二次方程的根

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：下面哪些數是方程x2–x–6=0

的解？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：3和

-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個解(根).

例4

已知

a

是方程x2+2x－2=0

的一個實數根，求2a2

+4a+2022

的值.解：由題意得方法點撥：求代數式的值，先把已知解代入，再注意觀察，有時需用到整體思想——求解時，將所求代數式中的某一部分看作一個整體，再將這個整體代入求值.2.已知關于

x

的一元二次方程

x2

+

ax

+

a

=

0

的一個根是

3，求

a

的值.解：由題意把

x

=

3

代入方程

x2

+

ax

+

a

=

0，得32

+

3a

+

a

=

0，即

4a

=

-9.1.已知方程

5x2+mx

-

6=0

的一個根為4，則

m的值為練一練_______．一元二次方程解的估算問題1：在上一課中，我們知道四周未鋪地毯部分的寬度

x滿足方程(8-

2x)(5

-

2x)=18，你能求出這個寬度嗎？(1)x

可能小于

0

嗎？說說你的理由．(2)x可能大于

4

嗎？可能大于

2.5

嗎？說說你的理由.不能，因為x代表寬度，小于

0不符合實際.（3）完成下表：x00.511.52(8-2x)(5-2x)（4）你知道地毯花邊的寬

x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴進行交流．410182840(1)小明認為底端也滑動了

1m，他的說法正確嗎？為什么？(2)底端滑動的距離可能是

2m

嗎？可能是

3m

嗎？為什么？問題2：在上一課中，梯子的底端滑動的距離

x滿足方程x2+

12x

-

15=0.10m8m1mxm你能猜出滑動距離

x的大致范圍嗎？下面是小亮的求解過程：x0

0.5

11.52…x2

+12x-15-

15-8.75-25.2513…可知

x取值的大致范圍是:1＜x＜1.5.進一步計算：故

1.1＜x＜1.2，因此

x整數部分是

1，十分位部分是

1．x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76用“兩邊夾”思想解一元二次方程的步驟：①在未知數

x

的取值范圍內排除一部分取值；②根據題意所列的具體情況再次進行排除；③對列出能反映未知數和方程的值的表格進行再次篩選；④最終得出未知數的最小取值范圍或具體數據.

規律方法

上述求解是利用了“兩邊夾”的思想歸納總結

例2一名跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練，在正常情況下，運動員必需在距水面5m以前完成規定的翻騰動作，并且調整好入水姿勢，否則就容易出現失誤.假設運動員起跳后的運動時間

t(s)和運動員距水面的高度

h(m)滿足關系:h＝10＋2.5t－5t2.那么他最多有多長時間完成規定動作？5＝10＋2.5t－5t2.2t2－t－2＝0.即解：根據題意得列表如下：由此看出，可以使

2t2

-

t

-

2

的值為0的

t

的范圍是1.2＜t＜1.3.故可知運動員完成規定動作最多有

1.3s.t…1.11.21.31.4…2t2

-

t-

2……

-0.68-0.320.080.52t…0123…2t2

-

t-

2……所以

1＜t＜2.進一步列表如下：-2-14131.請求出一元二次方程

x2

-2x

-1=0的正數根（精確到0.1）.解：（1）列表.依次取

x=0，1，2，3…由上表可發現，當

2＜x＜3時，-1＜

x2-

2x-1

＜2；x0123…x2

-

2x-1

-1-2-12…（2）繼續列表，依次取

x=

2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…由表發現，當

2.4＜x＜2.5時，-

0.04＜x2

-

2x

-

1＜0.25；（3）取

x=

2.45，則

x2

-

2x

-

1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45.∴x≈2.4.x2.22.32.42.5…x2

-

2x

-

1

-

0.79-

0.31-

0.040.25…2.根據題意，列出方程，并估算方程的解：一面積為120m2

的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？解：設苗圃的寬為

xm，則長為(x

+

2)m，根據題意得：x·(x+2)=120.即x2

+2x-120=0.120m2(x+2)mxm根據題意

x的取值范圍大致是

0＜x＜11.由上可知，x的取值范圍大致是

0＜x＜11.解方程

x2

+2x-120=0.完成下表(在

0＜x＜11這個范圍內取值計算，逐步逼近):x……x2+

2x–

12