第1頁**共14頁《概率論與數理統計》筆記一、課程導讀“概率論與數理統計”是討論隨機現象的規律性的一門學科在自然界,在人們的實踐活動中，所遇到的現象一般可以分為兩類：確定性現象

隨機現象

確定性現象

在肯定的條件下，必定會消滅某種確定的結果。例如,向上拋一枚硬幣，由于受到地心引力的作用,硬幣上升到某一高度后必定會下落．我們把這類現象稱為確定性現象（或必定現象）．同樣，任何物體沒有受到外力作用時，必定保持其原有的靜止或等速運動狀態;導線通電后，必定會發熱;等等也都是確定性現象。

隨機現象

在肯定的條件下，可能會消滅各種不同的結果,也就是說，在完全相同的條件下，進行一系列觀測或實驗，卻未必消滅相同的結果.例如，拋擲一枚硬幣，當硬幣落在地面上時，可能是正面（有國徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬幣落地前我們不能預知畢竟哪一面朝上．我們把這類現象稱為隨機現象(或偶然現象)．同樣,自動機床加工制造一個零件,可能是合格品，也可能是不合格品;射擊運動員一次射擊,可能擊中10環，也可能擊中9環8環……甚至脫靶;等等也都是隨機現象。

統計規律性對隨機現象,從表面上看,由于人們事先不能知道會消滅哪一種結果，似乎是不行捉摸的；其實不然．人們通過實踐觀察到并且證明白，在相同的條件下，對隨機現象進行大量的重復試驗(觀測）,其結果總能呈現出某種規律性．例如，多次重復拋一枚硬幣,正面朝上和反面朝上的次數幾乎相等；對某個靶進行多次射擊，雖然各次彈著點不完全相同,但這些點卻按肯定的規律分布；等等．我們把隨機現象的這種規律性稱為統計規律性．

應用例子

摸球游戲中誰是真正的贏家在街頭巷尾常見一類“摸球游戲”．游戲是這樣的：一袋中裝有16個大小、外形相同，光滑程度全都的玻璃球。其中８個紅色、8個白色.游戲者從中一次摸出8個，8個球中．當紅白兩種顏色消滅以下比數時．摸球者可得到相應的“嘉獎”或“懲罰”:

結果（比數)A（８：0）B（7:1)C（６：２)D（５：3)E（4：4)獎金（元）１010。50.２-2注：表中“—２"表示受罰2元解:此游戲（實為賭博），從表面上看格外有吸引力,5種可能消滅的結果.有４種可得獎．且最高獎達1０元.而只有一種情況受罰.罰金只是２元.因此就吸引了很多人格外是奇怪???的青少年參加．結果卻是受罰的多,何以如此呢？其實．這就是概率知識的簡略應用:現在是從16個球中任取8個。全部可能的取法為種.即基本領件總數有限.又由于是任意抽取．保證了等可能性．是典型的古典概型問題．由古典概率計算公式.很容易得到上述5種結果．其對應的概率分別是:假設進行了1000次摸球試驗，5種情況平均消滅的次數分別為:０、10、12２、４87、3８１次，經營游戲者預期可得2×381-（１0×0+1×1０＋0。５×１22＋0。2×487）＝593.６（元）．這個例子的結論可能會使我們大吃一驚,然而正是在這一驚之中。獲得了對古典概率更簡略、更生動的知識.

戲院設座問題乙兩戲院在競爭5００名觀眾，假設每個觀眾完全任意地選擇一個戲院,且觀眾之間選擇戲院是彼此獨立的,問每個戲院至少應該設多少個座位才能保證觀眾因缺少座位而離開的概率小于5％?

解由于兩個戲院的情況相同,故只需考慮甲戲院即可.設甲戲院需設m個座位,定義

，i=1,2，…，500

依題意，若用x表示選擇甲戲院的觀眾總數,則，問題化為求ｍ使由于E(xｉ）＝D（ｘi）＝0．5，由中心極限定理近似地故，查標準正態分布表知，從而解得，即每個戲院至少應該設多少26９個座位.各章的重點難點第一章大事與概率

古典概率

全概率公式與貝葉斯公式（＊)

獨立試驗序列其次章離散型隨機變量

離散隨機變量的概率分布

分布函數

常用分布：超幾何分布Ｈ(n,Ｍ，Ｎ）、二項分布B（n，p）、泊松分布P（λ）

隨機變量的數學期望與方差的概念及性質第三章連續型隨機變量

連續隨機變量的概率密度、均勻分布U［a，ｂ]、指數分布e（λ）、正態分布N（μ,σ２)

分布函數

二維隨機變量的分布（聯合分布)

邊際分布

隨機變量函數的數學期望

常用分布的數學期望與方差

相關矩與相關系數

隨機變量的和的分布

切比雪夫不等式第四章大數定律與中心極限定理

大數定律（辛欽定理、伯努里定理)

中心極限定理（列維定理、德莫威爾-拉普拉斯定理)第五章數理統計的基本知識

總體與樣本的概念

常用統計量:樣本均值、樣本方差、修正樣本方差

數理統計中的常用分布:χ2分布、ｔ分布、F分布(＊)

正態總體的統計量分布：定理1~定理4第六章點估量

參數的矩估量:

極大似然法

無偏估量第七章假設檢驗

正態總體均值的假設檢驗

正態總體標準差的假設檢驗

正態總體均值的區間估量

正態總體方差的區間估量(未知μ）二、

學習方法指導

本課程是討論隨機現象的統計規律性的數學學科。由于討論對象，所以在學習方法上與分析數學、線性代數等其它課程有很大不同。在學習過程中，會遇到較多的、獨特的概念和分析方法,初學者可能會感到很不習慣,入門會有肯定困難,但是只要肯于鉆研并掌握較好的學習方法,多數同學不僅能達到考核的基本要求，而且還會產生較大的學習愛好。這是由于概率論與數理統計與社會生活實際的聯系十分緊密,應用格外廣泛,因而容易激發人們的愛好。下面,結合本課程的特點，介紹某些行之有效的學習方法供同學參考。1。學習概率論的基本概念時,首先要注意這些概念的統計背景。概率論部分的基本概念比較多，格外從其次章“隨機變量及其分布"開頭，似乎“高難動作”一個接著一個來.如果對基本概不能很好理解，勢必影響自學的信心.實際上，概率論的很多基本概念來源于統計實踐，因此弄清其統計背景乃是入門的向導。例如，概率來源于頻率，它是大量獨立重復試驗時頻率的穩定值.因此，頻率是概率的先導。而概率又是頻率的抽象和進展.進而可理解概率的某些基本特性也是相應的頻率特性的高度概括和抽象。又如,連續隨機變量的概率密度的統計背景是統計直方圖；隨機變量的分布函數實質上是一種“累計概率”，它來源于統計中的閱歷分布函數；而隨機變量的期望概念則是樣本均值的抽象，在供應了頻率分布的前提下，樣本均值實際上是一種加權平均值(“權”就是頻數）,而離散隨機變量的期望恰恰是這種加權平均值概念的提升和推廣，即將頻率提升為概率，將有限推廣到無限等等。

２．重視概念的甄別，即弄清某些容易混淆的概念之間的區分。

在概率論中存在很多容易混淆的概念，如果不能認真區分,仔細加以甄別，就不能正確理解這些重要概念,在應用時就會產生各種各樣的錯誤。

互不相容大事與相互獨立大事是最容易混淆的一對概念“互不相容”是指兩個大事不能同時發生.而“相互獨立”則是指一個大事發生與否對另一大事發生的概率沒有影響。

隨機變量的獨立性與不相關性是兩個既有區分又有聯系的概念。兩個隨機變量

相互獨立不相關

條件概率Ｐ（Ａ｜B)與乘積概率P(AB）也是容易混淆的一對概念條件概率是已知某大事發生條件下,另一大事發生的概率,而乘積概率中所涉及的大事都沒有“已經發生”的假定。兩者的關系為P（ＡB）=P（B)P（A|B）

３．擅長識別一些重要的概率模型并能正確進行計算是提高分析和解決概率實際問題能力的關鍵。

在概率論中有很多經長期實踐概括出的重要概率模型（簡稱“概型”）,同學必須了解其背景、特點和適用范圍，要熟記計算公式，以便能正確應用.例如：

（１）古典概型：一類具有有限個“等可能"發生的基本領件的概率模型。

(2)完備大事組模型：若干個兩兩互不相容的大事在一次試驗中有且僅有一個發生的一類概率模型。它主要用于某些簡潔大事的計算—-全概率公式，以及某些條件概率的計算-—貝葉斯公式。(３)貝努利概型與二項分布模型：貝努利概型是關于獨立重復試驗序列的一類重要的概率模型,其特點是各個重復試驗是獨立進行的，且每次試驗中僅有兩個對立的結果：大事A發生或不發生,則在ｎ次獨立重復試驗中，大事Ａ恰好發生m次的概率為

，其中p=P（A）.(4）泊松分布：物理上存在一種質點流,稱為泊松流,它是由源源不斷的隨機消滅的很多質點構成的一種隨機質點流。例如，電話交換臺所接到的呼喚形成一呼喚流,到某商店去購物的顧客形成一顧客流，經過某塊天空的流星形成流星流,放射性物質不斷放出的質點形成質點流等等。泊松流的主要特征之一就是在任意兩個不相交的時間區間內各自消滅的質點個數是相互獨立的。加上另一些特征，即可導出泊松流的概率模型．

（５）正態分布——最重要的概率模型：依據中心極限定理的意義可知：很多微小的,又相互獨立作用的隨機因素，如果它們同分布，則它們累加起來的總效應必定聽從正態分布.這是正態分布應用最為廣泛的根本緣由.例如人體的身高、體重，測量的誤差等都聽從正態分布。（6)均勻分布——“等可能"取值的連續化模型：如果連續隨機變量僅在某有限區間［ａ,b]內取值,且具有概率密度則稱聽從區間［a,b]上的均勻分布.除以上6種常見的概率模型外,還有指數分布，隨機變量的函數等模型,不再—一列舉,可參看教材有關內容。4．對于某些難度較大的特殊算法要在理解的基礎上進行“典例復算”

同學普遍反映本課程自學較難，除概念抽象外，唯恐一些特殊的計算方法也會帶來不少學習上的困難。要突破這一點，最好的方法是將有關的典型例題讀完后，合上書，認真復算一遍，邊算邊加深理解.例如，關于已知隨機變量的分布列或概率密度，求分布函數的方法.從分布函數的定義

動身，可得出關于離散隨機變量和連續隨機變量分布函數的計算公式，分別為和困難在于這兩個公式的簡略應用.

５．學習數理統計部分,最重要的是要領悟各種統計方法內在的統計思想,其次是要嫻熟掌握操作步驟.

例如,極大似然估量法的主要統計思想是：如果在一次試驗中,某個樣本x1，x２，…,xn一旦消滅，就有理由認為該樣本消滅的概率最大。簡略操作時，只要利用總體的已知分布（其中包含待估的本知參數)構造樣本的聯合分布，即似然函數，再應用微積分的極值原理找出最大值點,即得極大似然估量量。

又如,區間估量實際上是以肯定的把握(置信概率）去估量未知參數所落入的范圍(置信區間）。區間估量方法最主要的統計思想是：設法構造一個與待估未知參數有關的統計量，利用它的抽樣分布,在給定的置信概率下確定臨界值,再作適當的概率恒等變形即可獲得置信區間.簡言之，就是以統計量及其抽樣分布為武器,達到用樣本推斷總體的目的。

數理統計既然是用部分去推斷總體，格外是區間估量和假設檢驗都只是依據一次抽樣所得的樣本值去下結論,這就不行能不犯錯誤，于是就產生了區間估量的牢靠性（置信概率）和假設檢驗的兩類錯誤問題。這就是說,數理統計工作者對實際問題下結論時往往不是簡潔地回答“是”或“非”,而是帶有肯定的犯錯誤的概率。這樣做,既體現了實事求是的科學精神，又鼓勵人們通過不斷實踐，經過多次試驗逐步獲得較為精準和牢靠的結論。同學在學習數理統計這部分內容時應充分領悟和把握統計方法的這一重要特色。

6．在重視基本概念、基本理論和基本方法學習的前提下，也要注意概率統計中專用語言和符號的規范使用.本課程的教學實踐和考試的情況反映出同學的學習效果不容樂觀.很多同學對基本知識和基本技能不能正確理解和掌握。例如,求得的概率是負值或大于1,方差小于０，相關系數大于1等錯誤大有人在；對于“至少發生1個"、“至多發生２個”等概率論專用語言不理解，從而不能正確表達大事;計算概率時,對有關大事Ａ,”B，C等或有關隨機變量X，Y等的含義不事先設定；正態分布計算中對一般的正態變量不作“標準化變換”;關于大事或隨機變量獨立性的判定或證明更是錯誤百出,答非所問。格外是數理統計部分，很多考生或者放棄,或者胡亂解答一通。這些現象充分說明,同學肯定要重視基本概念、基本原理和基本方法的真正理解和掌握。7．必須做相當多的習題。

凡數學課程,只是看書而不做習題是很難真正掌握好的。通常是，看書時明白了，當要做習題時又無從下手。做習題能幫助我們復習提高,加深對概念的理解，對算法的掌握。三、注意事項《概率論與數理統計》是討論隨機現象數量規律的學科，解決問題方法思路與其它數學學科大不相同,概念難以理解,規律不易掌握，習題處理困難。為提高學習效果，保證學習質量，學習《概率論與數理統計》應注意以下幾方面的問題：1、擅長歸納,尋找共性。本課程內容較為散亂,每個問題都有不同背景，系統歸結，找出共性，有利于整體掌握所學內容.例