量子力學常用積分公式fXneaxdx二—疋嚴一-fXn八eaxdx (n>0)JciaJIeaxsinbxdx=— (asinbx—bcosbx)Jcr+l7r(7jx2cosaxdx=斗COSOX+(二—W)sinax(?cosZ?x+/?sin/?x)(?cosZ?x+/?sin/?x)1—_牙COSGXf嚴cosaxdx= J a?+b2fxsiiiaxdx二丄smax— cr⑸Zsinor/uMsinax+(2-丄)cosaxJ cr cra(d>o)廠—Jax'+c+(_\n(y[ax+ylax2+c)(d>o)2 2yla(8)j\lax2+cdx=Y⑹八xcosaxdx⑹八xcosaxdx±cosAAsinA—arcsint2j-a(a<0)⑺一1)!!龍

n\l2￡2￡2cos/?xdxnV"正奇數）(]0)『嗎/，YX(11))[e；x(11))[e；xndx=IE°)n\1/27（71=正整數衛>0）(13)(2“一1}!!2(H)(15)(16)=sin"axtwli啟#(d>0)(d>o)￡xeaxCQsbxdx, ；「(d>o) (a2+b2)2~第二章：函數與波動方程[1]試用量子化條件,求諧振子能量[諧振子勢能V(x)=1JV]乙(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld量子化條件式：|pdq=nhA > 0 E*紅Tz在量子化條件中，令p=rnx為振子動量，q二x為振子坐標，設總能量E???P2ma)2x2???P2ma)2x2Mll則E=nhs 八 、廠円(一=)代入公式得：f2m(E-me,—)dx=量子化條件積分指一個周期內位移，可看作振幅鬲四倍，要決定振幅a，注意在A或B點動能為0，￡=卯譏2,(1)改寫為:2『nuoy/a2-xidx=nh(2)積分得：maxG兀二nh

遍乘;纟得2龍口h3-E=—="方e2龍［乙法］也是利用量子化條件，大積分變量用時間f而不用位移X,按題意振動角頻率為3，直接寫出位移廠用『項表示：q=x=as\ncot求微分：dq=dx=acocQscotd!(4)求積分：P=也％=macocoscDt(5)將(4)(5)代量子化條件：pdq=ma2co2￡cos2cotclt=nhT是振動周期,T=―,求出積分，得COmcDcrn=匸h?mcDcrn=匸h?E=——n=nnco2/rn=123正整數#［2］用量子化條件，求限制在箱內運動粒子能量，箱長寬高分別為％c.

\\（解）三維問題，有三個獨立量子化條件，可設想粒子有三個分運動，每一分運動是自由運動?設粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時，與此壁正交方向分動量變號（如p-_p），其XX余分動量不變，設想粒子從某一分運動完成一個周期，此周期中動量與位移同時變號，量子化條件:fpgq,二n'pXdxip(l)$P$qr、h=2pJ：dy=2bp(2)fP?q廣很h=2pj;dz=2cp⑶P，P，P_都是常數，總動量平方P二+〃；+/￡總能量是：二丄［出空卄（衛8/??=乞［（壘）*（色）*（壘）2］8/??bcnx>nynx>ny>nz=123yz正整數⑶平面轉子轉動慣量為I，求能量允許值.（解）解釋題意：平面轉子是個轉動體，它位置由一坐標（例如轉角0）決定,它運動是一種剛體平面平行運動?例如雙原子分子旋轉?按剛體力學,轉子角動量I。，但血=卩是角速度,能量是E='Ico~利用量子化條件，將"理解成為角動量，"理解成轉角久一個周期內運動理解成旋轉一周，則有pdq=￡\cocl(p==nh⑴(1)說明。是量子化⑵co=-=— (”=1,2,3 ) (2)2負I⑶代入能量公式，得能量量子化公式:E二；I宀眉)一罌 (3)2 2I21#⑷有一帶電荷0質量加粒子在平面內運動，垂直于平面方向磁場是求粒子能量允許值.、/ (解)帶電粒子在勻強磁場中作勻速圓周運動，設圓半徑是I線速度是b用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是：Bevmv乂利用量子化條件，令卩二電荷角動量轉角0

pdq=￡nuvdtp=iTnnrv=n((2)即mrv=nh （3）由⑴⑵求得電荷動能斗腫二導2 line再求運動電荷在磁場中磁勢能，按電磁學通電導體在磁場中勢能磁矩*場強—電流*線圈面積*場強—e磁矩*場強—電流*線圈面積*場強—e水力B,v是電荷旋轉頻率，心冷代入前式得運動電荷磁勢能二 （符號是正）2mc心冷代入前式得運動電荷磁勢能二 （符號是正）2mc點電荷總能量二動能+磁勢能=E=Behn2mc[5]對高速運動粒子（靜質量川）能量和動量由下式給出:試根據哈密頓量H=E=曲+&2與正則方程式來檢驗以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意群速度相等關系?計算速度并證明它大于光速.（解）根據（3）式來組成哈氏正則方程式組:q二嚴,本題中q=v,p=p,因'&Piv=一Jure4+cp二〃—卩二==■ （4）切 J腫/+刊異從前式解出表示）即得到⑵?乂若將⑵代入⑶，就可得到⑴式.

其次求粒子速度一和它物質波群速度比間關系?運用德氏假設：P=hk于⑶式右方，乂用Eico于⑶式左方，遍除〃:c、、e=J=a）（k）Vtr按照波包理論，波包群速度比是角頻率丟波數一階導數:_c2k c~pyjnrc4+c2P2最后一式按照（4）式等于粒子速度…因而Vc=Vo又按一般波動理論，波相速度比是由下式規定匕,=必=￥ （U是頻率）K利用（5）式得知性+ ⑹C0C故相速度（物質波）應當超過光速。最后找出心和幾關系，將（1） （2）相除，再運用德氏波假設:EticocCi⑺P族vVG 'U；[6] （1）試用Fermat最小光程原理導出光折射定律n^a?二faimv（2）光波動論擁護者曾向光微粒論者提出下述非難：mv如認為光是粒子，則其運動遵守最小作用量原理可〃〃=0認為P=

則可pdl=0這將導得下述折射定律這明顯違反實驗事實，即使考慮相對論效應，則對自由粒子：卩二卑仍C就成立，E是粒子能量，從一種媒質到另一種媒質E仍不變，仍有可〃〃=0,你怎樣解決矛盾?（解）甲法：光線在同一均勻媒質中依直線傳播,（解）甲法：光線在同一均勻媒質中依直線傳播,因此自定點A到定點B路徑是兩段直線：光程I=n\Q+rti@設A,B到界面距離是比b（都是常量）有乂AE沿界面投影c也是常數，因而Q存在約束條件：aa+btsa=c⑵{2求（1）變分，而將3,66看作能獨立變化，有以下極值條件&=seca農dax+nibscca3a〃a=。 ⑶22再求⑵變分 asec2 +bsec2d=&=0⑶與⑷消去d和da得［乙法］見同一圖，取X為變分參數，取0為原點，則有:/二斤1J/++72、yjb+（cx?）

求此式變分，令之為零，有:yja2求此式變分，令之為零，有:yja2+x2=0這個式子從圖中幾何關系得知，就是(5)(2)按前述論點光若看作微粒則粒子速度v應等于光波群速度光程原22理作可出〃=0,依前題相速二L-,-=-=cqn是折射率，"是波前陣面V/VG}更引起，而波陣面速度則是相速度匕「這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.Jjndl=0前一非難是將光子傳播速度『看作相速度/誤解.V/>⑺當勢能V(F)改變一常量C時，即V(7)tV(F)+c,粒子波函數與時間無關部分變否?能量本征值變否P(解)設原來薛定灣方程式是今+獸[E-iyO將方程式左邊加減相等量3得：cbrTr孕+學{[E+C]-[V(x)+C]M=Odx~力一這兩個方程式從數學形式上來說完全相同，因此它們有相同解刃力,從能量本征值來說，后者比前者增加了Co#⑻設粒子勢能極小值是E?>Vmm(證)先求粒子在某一狀態中平均值能量EJJJV.2g= [-才2+%“沁其中動能平均值一定為正:

與st士Jjj{0]-▽0P心T*22m山中間一式第一項是零，因為肖假定滿足平方可積條件，因而尸>0因此E=用高斯定理:T=_導”(0TV)?広+掃Ifv屮7中間一式第一項是零，因為肖假定滿足平方可積條件，因而尸>0因此E=用高斯定理:T=_導”Tv>v,能讓能量平均值V>y.因此E>y.令0=0'本征態）貝U衛二E“而+ min minE?>V?證mm#⑼設粒子在勢場V（F）中運動（1）證明其能量平均值是：E=八Wdx= -Vy/\lx （1）其中W是能量密度（2）證明能量守恒公式竺+V40 （2）dt其中￡=一工（翌v+徑貯/）（能流密度）2mdtot（證明）（1）三維粒子能量算符〉：H=-A-VV+V⑶2m求H在狀態0中平均值￡■=J[jVHif/dx=jjji//\-VV+V由于=V(T*VT)- ,將此式代入前一式:.2.2{V(T*VT)-VT*VT)Jx3+JJJ*Wdx學Jj學JjjV(T*VT)r7x3+學J”VTEd疋+卩VTA/x-_4.2Ijj-_4.2IjjV(TVT)JxV(TVT)Jx3慮為無限遠處界面j[TVT?dS若屮滿足平方可積條件，則limT*VT=O,S考r-x證得公式⑴⑵求⑴式中能量密度W時間偏導數，注意￥。一般都含時間，VT,W也是如此，因而：工=[｛二0F0P+W0P｝ctdt2m瓷WE罟+詈WT讐吋+甞心｝+竺亞+六賢dtdt=_av-[vt*+vtj+—[V2vP+VT]2mdtdtdt2m粒子滿足含時間薛定譴方程與其共輒方程式:

dt2mhi——=一一V2T+VTdt2m_有2o\T/*Q中乂設s三頁旨m+百可叭則有dWdt〃+竺更一竺蘭dWdt〃+竺更一竺蘭dtdtdtdt公式⑵得證。［10］設N個粒子哈密頓量為:TOC\o"1-5"\h\z宀-若諾1若皿E-^| (1)w(證…和0是它任一態函數，定義：p(r,/)=Ap.(f,r)⑵\o"CurrentDocument"7(rJ)=￡7,(rJ) ⑶口(和)訂…“七/匕…中2imJJ求證：空+x7?7=o ⑷dt［證明］按定義：雲二dtoti二工「寸心…dfS…心冷vpy二工J……，也，心…〃牛W)二工門(和) ⑸i多粒子體系狀態田廳石…丘丿)應當滿足多粒子薛定譴方程式，寫出這個方程式和禺共馳方程式:=￡QTk程式和禺共馳方程式:=￡QTk2加方2-v-評+y,泮(6a)(6b)(6a)(6b)將前二式等式右方式子代替左方卸孚，代進式⑸…弓噲旳沖存冷)…弓噲旳沖存冷)更亠f)(7)乂待證公式等號左方第二項是:三工□?工久(和)? ?(和)+?(和)+??i(E，/)+???]=(V]+v2+???▽(???)[)遼"id■i里工J…t…心-Ml__2im-一一.=vr7i(AO+v遼"id■i里工J…t…心-Ml__2im-一一.?d3〈xVf-(TVT-TV?T4)菇工字遼卜可卄心…心x弓盞jeppw一旳H)將⑼式兩個求和合一，注意到/Hk項不存在，因而⑻⑼等值異號。[]]]設出與瓦是薛定謁方程式兩個解，證明出”]⑹比(元％與時間無關。［證明］試將此式對時間求偏導數，再利用咒所滿足薛定謂方程式,有：訓曲宀=0（學◎薩學）找因一tu賈丄二-2Lv2T\+dt2m+力嚴二2dt='V2T.+vt.2m訓V訃=JIJ茁典+打.vv2）j\=一必+曠】RPQX2miJ*J最后一道等號是利用高斯定理將題給體積分（工）變換成（T）包圍面S面積分，若屮I,屮2滿足平方可積條件lim出=0,lim=07->ocr->x等，可使這面積分等于零。所以體積分jyjHl（元（元少卅是與時間無關。r#［12］考慮單粒子薛定譴方程式：加二/）=-丄,0+M（方+/匕（左）］”（左,/）ot 2mV］,V2為實函數，證明粒子幾率不守恒。求出在空間體積Q內，粒子幾率“喪失”或“增加”速率。

解：要證明幾率不守恒，可以計算總幾率時間變化率，先考察空間一定體積Q中粒子出現總幾率，按Born假設，總幾率是n求總幾率時間變化率牛鎖心"緲#甞+學匹沁—I-dtdtiM+W^iM+W^i(—W￡ALdt=_Lv2V*-丄［%-訊］?將（2）代入（1），化簡后得竺二M{__L（yW—炸￥?）+當dt唄2mi 方利用高斯定理將右方第一項變形:（”pp一旳#）}心+訂口曲x卅二（ppp—炸曠）価+1八？如果粒子運動范圍是無限，并且符合平方可積條件，則在無限遠處hto,▽?曠-0，因而（3）式面積分等于0。這證明總幾率p=fff這證明總幾率p=fffAWx不守恒，因為竺工0。nd如果考察有限體積Q之內總幾率變化率，令:7三呂沙"Q)(3)式改寫為:￥=一IP?“'+￥JI"匕(元)皿” (5)Xx Q￡是空間0內粒子幾率減少或增加速度，右方-\p-ds是指。包圍面S$上幾率流動速度(流進或流出)，右方半『口0乜(丘指由虛數勢能引起,〃Q附加幾率變化速率，題目所指是這一項。[13]對于一維自由運動粒子，設八(a\0)=J(x)求憶(xj)f。(解)題給條件太簡單，可以假設一些合理條件，既然是自由運動,可設粒子動量是〃，能量是E,為了能代表一種最普遍一維自由運動，可以認為粒子波函數是個波包(許多平面波疊加)，其波函數:譏X、譏X、t)=丄vpx-￡r)0(〃)"dp=—X這是一維波包通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令應有肖(如」「 dp(2)0)= 力加-x但按題意，此式等于漢力。但我們知道一維5函數一種表示是:將⑵(3)二式比校：知道"彳，并且求得颯滬盍，于是⑴成_.(px_￡r)eTidp這是符合初條件波函數，但”衛之間尚有約束條件E=f-（因為2m是自由粒子，總能量等于動能），代入（4）（5）將此式變形成高斯積分，容易得到所需結果：I］宀）1如匸x）曲2面宀丄宀2〃r2mti7rit寫出共輒函數（前一式/變號）：1imx",2mTiJ7r12mTi71m本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為：匚跡［馬（曠竽）血一匸血［岳（P—芋）M用課本公式得于"=二（中）\淫3鞘，兩者相乘，可得相同結果。屮（XJ）2加Vt#［14］在非定域勢中粒子薛定謂方程式是:

/?/—T(x，t)= 2T(x,f)+IV(元元7?(元，t\bxrdt2m<⑴求幾率守恒對非定域勢要求。此時，只依賴于波函數W在空間一點幾率波是否存在？［解］按題意，是要求寫出幾率守恒條件，從這個條件尋出V%V)應當遵守要求。幾率守恒條件是:clclcl⑵與［13］題類似，可寫出［1］共輒方程式:一加二P(6/)=-—r)+fffv*(x, 4/(3)dt ???2m ....將［1］和［3件中貿和d送-想等同式子代入到［2］式中去，就得到如下條_Afff(TVT-TV2T*)八+丄2mihiJJJr)JJJv(x， r)-T(x,r)JJJvx(x，亍(昭t) d?d'x‘=OnL / x .將前式等號左方第一頊變成面積分［高斯定理h第二頊變成六重積分：f［(T*VT-TVT*)-6/5+丄2加屮 7加 )(4r)V(x，疋閉(0,r)-T(x, (丘，元)W(0,/)］〃"d=Ony前式等號左方第一頊由于波函數平方可積條件(VTO,W(X)TO當時)可消去，因田仏/)和T(x\r)形式相同,xr對易：OIM材（右/）[v（x，疋）—八無，亍）｝P（w，/）｝心?/疋=0 （5）nx這積分式定積分，它等于零可能性要求被積函數為零，即：V（x，x,）=V\x,x1）因此V（x，元）必須是元元實函數。#15］寫出動量表象中薛定潯方程式。［解］本題可有二中［A］含時間薛定謁方程式，［E］定態薛定謂方程式。［A］寫出含時間薛氏方程式：（1）為將前式變換成動量表象0，可寫出含時間表象變換式:昨總嚴皿'小切心 （2）0呎幾f）=命咋計沁 （3）為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘-1dt一滬2m（2加）左方變形二力烷呎”，）t等號右方第一積分是可以用三重積分分部積分來變形，這式寫成標量:-1力2（2加嚴2m計算（5）x部分分部積分法：

如加加/ydz訂JJ彳賢嚴曲去丿xdydz-X一弓LJJJ導如，邊亠JJH,=—辛 Em叫Zdydz.tli(tli(p￥x+pvy+p.z>/ftxdydz"加曲JJJ7"加曲L)2zVX=卡JJR關于召召積分按同法計算'⑸式結果是諾嚴盞皿- Px2+Py2+P：T(xt)e‘x,rdxdydz=丨肖仏f)J±ji再計算(4)式右方第二積分o二諾嚴⑹卩咿，討叫》｝刃呎戸，MS但最后一個積分中G?，刃三總『弟“叫心rp廠指坐標空間，q指動量相空間，最后將(4)(6)(7)綜合起來就得到動量表象積分方程式如下:畤呎戶’“=豊呎厲J+JJJg(，”》(戸，(8)若要將定態薛定譴方程式從坐標表象變成動量表象，運算步驟和上面只有很少差別，設粒子能量為E，坐標表象薛氏方程：—V2八(X)+[E-V(x)]T(x)=02m動量表象方程也是積分方程式，其中G(尸，戸)是這個方程式核(Kernel)-金呎P)+W(“)-JJJg(p，尸％(尸，4/2//=o#[16嚴設在曲線坐標(qU中線元ds表為ds1=gdqidqkik寫出這曲線坐標中薛定謂方程式，寫出球面坐標系中薛定譴方程式(解)厶=竺＜?+空呦2+空同樣關于y,z有類似二式。(這里為書寫叫叫方便q上標改成下標。）決參看Amer?J.Phys.Vol.41.1973-11ds2=dx2+dy2+dz?=ox1—+dxox\y^/肉+(韻+肉十十+6?丿X<1x</2dq.dq., &竺+空空*竺玄dq.dq.+2 + 十6如勿]dqdqdqdqJ3 { 3x」令g廠工（學旦）為坐標變換系數：xyzoqioqk設沿曲線坐標等勢面單位矢量是弘乙，禺則%河|心池*萬3NW8^兩%河|心池*萬3NW8^兩^22勿一1—厲三(&22g界Hi]g】g22g33如V2T=di\{gracl)= ) {2[陛當型。屮]g"g22g33勿Igl1勿II6[￡33人16W]I6[幻胡226W])6傷g22勿2 勿3心3d(hg22g33勿3代入直角坐標薛定灣方程式:

哈g）-冊總聲嚎嗨譽軌喘［晉訝｝"伽小％咖）Vf=v{x（qq2q3）-}在球坐標情形dx+在球坐標情形dx+.-1.-1—sin&cos“y=rsinAsinA,z=rcosO式正交坐標系代入后得ar{即幾歲代入后得ar{即幾歲dt2mr2sm20dr{臥彳僚）+僚）+（劊=1\（dxg22=vUH朋）+篇『）+Vz（r,0.肖）Frrd* 1__d_Tu----= r｛一drsin&dOdt2mi2or1_d