一、勻變速直線運動的位移與速度的關系勻變速直線運動的位移與速度1.表達式：vt2-v02=2ax2.矢量的取值方法：vt2-v02=2ax為矢量式，應用它解題時，一般先規定初速度v0的方向為正方向：（1）物體做加速運動時，a取正值，做減速運動時，a取負值.（2）位移x>0，說明物體通過的位移方向與初速度方向相同；x<0，說明位移的方向與初速度的方向相反.3.適用范圍：勻變速直線運動.4.特例（1）當v0=0時，vt2=2ax物體做初速度為零的勻加速直線運動，如自由下落問題.（2）當vt=0時，-v02=2ax物體做勻減速直線運動直到靜止，如剎車問題.（1）公式vt2-v02=2ax中四個物理量均是矢量，應用它解題時要注意各物理量的正、負值.（2）剎車問題由于末速度為零，應用此公式解題往往很方便.【典例1】如圖所示，在水平面上固定著三個完全相同的木塊，一子彈以水平速度v射入木塊，若子彈在木塊中做勻減速直線運動，當穿透第三個木塊時速度恰好為零，則子彈依次射入每個木塊時的速度比為多少？【解題指導】子彈在木塊中做勻減速直線運動，加速度不變；每個木塊的厚度一定，利用子彈依次射入每個木塊時到最終靜止發生的位移相等關系求解.由于本題不涉及時間，用速度與位移關系式求解比較簡單.【標準解答】設木塊的厚度為d，子彈的加速度為a,子彈依次射入每個木塊時的速度分別為v1、v2和v3.由速度位移關系式vt2-v02=2ax得其中x為子彈從進入木塊到靜止發生的總位移.則所以答案：【規律方法】解答勻變速直線運動問題巧選公式的方法（1）習題中已知條件沒有、也不讓求位移x,要首先考慮速度公式vt=v0+at.（2）習題中已知條件沒有、也不讓求末速度vt,要首先考慮位移公式（3）習題中已知條件沒有、也不讓求時間t,要首先考慮速度位移關系式vt2-v02=2ax.【變式訓練】（2011·屯溪高一檢測）P、Q、R三點在同一條直線上，一物體從P點由靜止開始做勻加速直線運動，經過Q點的速度為v，到R點的速度為3v，則PQ∶QR等于()A.1∶8B.1∶6C.1∶5D.1∶3【解析】選A.由速度位移關系式vt2-v02=2ax得故PQ∶QR=1∶8，A正確.二、勻變速直線運動的幾個規律1.中間位置的速度與初末速度的關系在勻變速直線運動中，某段位移x的初末速度分別是v0和vt,加速度為a,中間位置的速度為則據速度與位移關系式，對前一半位移對后一半位移即2.由靜止開始的勻加速直線運動的幾個重要比例(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬時速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n(2)1T內、2T內、3T內、…、nT內的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2(3)第一個T內，第二個T內，第三個T內，…，第n個T內位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)(4)通過前x、前2x、前3x…位移時的速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=(5)通過前x、前2x、前3x…的位移所用時間之比t1∶t2∶t3∶…∶tn=(6)通過連續相等的位移所用時間之比tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn=（1）以上比例成立的前提是物體做初速度為零的勻加速直線運動.（2）對于末速度為零的勻減速直線運動，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動，應用比例關系，可使問題簡化.【典例2】一小球沿斜面由靜止開始勻加速滾下（斜面足夠長），已知小球在第4s末的速度為4m/s.求：（1）第6s末的速度；（2）前6s內的位移；（3）第6s內的位移.【解題指導】此題最基本的解法是利用運動學公式，但運用初速度為零的勻加速運動的比例來解更為簡單.【標準解答】由v1=at1得,所以第1s內的位移（1）由于第4s末與第6s末的速度之比v1∶v2=4∶6=2∶3故第6s末的速度（2）第1s內與前6s內的位移之比x1∶x6=12∶62故前6s內小球的位移x6=36x1=18m（3）第1s內與第6s內的位移之比xⅠ∶xⅥ=1∶（2×6-1）=1∶11故第6s內的位移xⅥ=11xⅠ=5.5m答案：（1）6m/s(2)18m(3)5.5m【互動探究】求例題中的小球在前進9m時的速度？（至少采用三種方法）【解析】方法一：由位移速度關系式vt2-v02=2ax得方法二：用關系式求解，由于9m是18m的中間位置，小球在18米時的速度v2=6m/s,則方法三：由得小球運動9米用時故小球運動9米時的速度答案：【變式備選】汽車剎車后，停止轉動的輪胎在地面上發生滑動，產生明顯的滑動痕跡，即常說的剎車線.由剎車線長短可以得知汽車剎車前的速度大小，因此剎車線的長度是分析交通事故的一個重要依據.若某汽車剎車后至停止的加速度大小為7m/s2，剎車線長為14m，求：（1）該汽車剎車前的初速度v0的大小；（2）該汽車從剎車至停下來所用的時間t0；（3）在此過程中汽車的平均速度.【解析】（1）據運動學公式：vt2-v02=2ax得v02=-2ax=-2×(-7)×14m2/s2=142m2/s2；解得：v0=14m/s（2）由vt=v0+at得：（3）答案：（1）14m/s(2)2s(3)7m/s【典例3】（2011·煙臺高一檢測）一輛轎車違章超車，以108km/h的速度駛入左側逆行車道時，猛然發現正前方65m處一輛卡車正以72km/h的速度迎面駛來，兩車司機立即同時剎車，剎車的加速度大小相等，要保證兩車不相撞，剎車加速度至少為多大？轎車的剎車時間多長？【解題指導】該題有兩個隱含條件：（1）汽車剎車結束時的速度為零；（2）要保證兩車不相撞，剎車過程中兩車前進的距離之和應小于等于65米.【標準解答】由速度與位移關系式vt2-v02=2ax得轎車的剎車距離：卡車的剎車距離：不相撞的條件是:x1+x2≤Δx則解得a≥10m/s2所以剎車的加速度大小至少為10m/s2對轎車：v1=at1所以答案：10m/s23s對物體相碰的條件理解不清導致出錯A、B兩列火車，在同軌道上同向行駛，A車在前，其速度vA=10m/s，B車在后，其速度vB=30m/s.因大霧能見度低，B車在距A車700m時才發現前方有A車，這時B車立即剎車，但B車要經過1800m才能停止.問A車若按原速度前進，兩車是否會相撞？說明理由.【正確解答】方法一分析法B車減速至vA=10m/s所用的時間此段時間內A車的位移為：xA=vAt=10×80m=800mB車的位移為：xB=vBt-aBt2=（30×80-×0.25×802）m=1600m因為xB=1600m>xA+x=800m+700m=1500m所以A、B兩車在速度相同之前已經相撞.方法二圖像法作出兩車的v-t圖像如圖所示.設經過時間t1兩車速度相等，B車減速至vA=10m/s所用時間在t1時間內兩車的位移之差（圖中陰影部分的“面積”）所以兩車會相撞.正確答案：會相撞【易錯分析】對解答本題時易犯錯誤具體分析如下：1.如圖所示，一輛正以8m/s速度沿直線行駛的汽車，突然以1m/s2的加速度加速行駛，則汽車行駛了18m時的速度為()A.8m/sB.12m/sC.10m/sD.14m/s【解析】選C.由vt2-v02=2ax得故C正確.2.一列火車由靜止以恒定的加速度啟動出站，設每列車廂的長度相同，不計車廂間間隙距離，一觀察者站在第一列車廂最前面，他通過測時間估算出第一列車廂尾駛過他時的速度為v0,則第n列車廂尾駛過他時的速度為()A.nv0B.n2v0C.D.2nv0【解析】選C.設每一節車廂的長度為L，火車的加速度為a.由速度位移關系式vt2-v02=2ax得v02=2aLvt2=2a×nL比較兩式得C正確.3.做勻加速直線運動的列車出站時，車頭經過站臺時的速度為1m/s，車尾經過站臺時的速度為7m/s，則車身的中部經過站臺時的速度為()A.3.5m/sB.4.0m/sC.5m/sD.5.5m/s【解析】選C.設列車長為L，加速度為a，車身中部經過站臺時的速度為將v0=1m/s，vt=7m/s代入①②得故C正確.4.一個物體沿著斜面從靜止滑下做勻變速直線運動，已知它前2s內的位移為3m，則它在第四個2s內的位移是()A.14mB.21mC.24mD.48m【解析】選B.前2s內的位移x1與第四個2s內的位移x2之比x1∶x2=1∶（2×4-1）=1∶7，因x1=3m，故x2=21m,B對.5.（2011·洛陽高一檢測）甲、乙兩汽車同時從同一地點出發，甲車以初速度為15m/s做勻速直線運動，乙車以3m/s的初速度、0.6m/s2的加速度做與甲同方向的勻加速直線運動，求兩車再次相遇前它們之間的最大距離和再次相遇時兩車運動的時間.【解析】當v甲=v乙=v0+at時兩車相距最大解得對甲：x甲=v甲t=15×20m=300m對乙：故Δx=x甲-x乙=120m當x甲=x乙時兩車再次相遇,則解得t=40s答案：120m40s一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，共30分.每小題至少一個選項正確）1.從靜止開始做勻加速直線運動的物體，在第1s內、第2s內、第3s內的平均速度之比為()A.1:3:5B.1:4:9C.1:2:3D.【解析】選A.由于第1s內、第2s內、第3s內的位移之比x1:x2:x3=1:3:5，而平均速度三段時間都是1秒，故三段時間的平均速度之比為1:3:5，故A正確.2.兩個小車在水平面上做加速度相同的勻減速直線運動，若它們的初速度之比為1:2，則它們運動的最大位移之比為()A.1:2B.1:4C.1:D.2:1【解析】選B.剎車位移最大時末速度為零，由得故選B.3.如圖所示，物體A在斜面上勻加速由靜止滑下x1后，又勻減速地在平面上滑過x2后停下，測得x2=2x1，則物體在斜面上的加速度a1與平面上加速度a2的大小關系為()A.a1=a2B.a1=2a2C.D.a1=4a2【解析】選B.設物體的最大速度大小為v,則v2=2a1x1，v2=2a2x2，即a1x1=a2x2，由于x2=2x1，所以a1=2a2,B正確.4.（2011·哈爾濱高一檢測）一物體做勻變速直線運動，某時刻速度大小為2m/s，1s后速度大小為6m/s，在這1s內該物體的()A.位移的大小可能等于4mB.位移的大小可能等于10mC.加速度的大小可能等于4m/s2D.加速度的大小可能等于10m/s2【解析】選A、C.若1s前后速度同向，則加速度大小a1=若1s前后速度方向相反,則加速度大小C對、D錯.由vt2-v02=2ax得，1s內物體的位移大小為或故A對、B錯.5.某飛機由靜止開始做勻加速直線運動，從運動開始到起飛共前進1600米，所用時間為40秒，則它的加速度a和離地時的速度v分別為()A.2m/s280m/sB.1m/s240m/sC.1m/s280m/sD.2m/s240m/s【解析】選A.飛機的位移故飛機離地時的速度飛機的加速度2m/s2，A正確.6.（新題快遞）如圖所示，光滑斜面AE被分成四個長度相等的部分，一個物體由A點靜止釋放，下面結論中正確的是()A.物體到達各點的速度vB:vC:vD:vE=B.物體到達各點所經歷的時間tB:tC:tD:tE=C.物體從A到E的平均速度D.通過每一部分時，其速度增量均相等【解析】選A、B、C.由vt2=2ax知，vB:vC:vD:vE=A正確；由vt=at知，t∝vt,故tB:tC:tD:tE=vB:vC:vD:vE=B正確；由于tB:tE=1:2，故B是AE段的中間時刻點，C正確；由Δv=a·Δt，又通過各段的時間不等，所以通過各段的速度增量不等，D錯誤.二、非選擇題（本題包括2小題，共20分，要有必要的文字敘述）7.（10分）(2011·周口高一檢測)汽車在高速公路上行駛的速度為108km/h，若駕駛員發現前方80m處發生了交通事故，馬上緊急剎車，汽車以恒定的加速度經4s才停止下來.問：（1）該汽車是否會有安全問題？（2）若駕駛員是酒后駕駛，看到交通事故時的反應時