微分方程簡單模型重慶郵電大學數理學院

在研究某些實際問題時，經常無法直接得到各變量之間的聯系，問題的特性往往會給出關于變化率的一些關系。利用這些關系，我們可以建立相應的微分方程模型。在自然界以及工程技術領域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業預測等領域中去，其影響是廣泛的。當我們描述實際對象的某些特性隨時間〔空間〕而演變的過程、分析它的變化規律、預測它的未來形態、研究它的控制手段時。通常要建立對象的動態模型。例〔理想單擺運動〕建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應滿足的運動方程〔3.1〕是一個兩階非線性方程，不易求解。當θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察〔3.1〕的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當時,θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

〔3.1〕的近似方程例

求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲線方程.解:設所求的曲線方程為由導數的幾何意義,應有即又由條件:曲線過(1,3),即于是得故所求的曲線方程為:導彈追蹤問題設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發射導彈，導彈頭始終對準乙艦．如果乙艦以最大的速度v0(常數)沿平行于y軸的直線行駛，導彈的速度是5v0，求導彈運行的曲線方程．乙艦行駛多遠時，導彈將它擊中？〔解析法〕由(1),(2)消去t,整理得模型:馬爾薩斯〔Malthus〕模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發現，人口凈增長率r根本上是一常數，〔r=b-d,b為出生率，d為死亡率〕，因而提出了著名的人口指數增長模型。分析與建模：人口的凈增長率是一個常數，也就是單位時間內人口增長量與當時人口數成正比。設t時刻人口數為N(t)，t=t0時，N(t0)=N0，那么這個方程的解為：

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數量翻一番所需的時間是固定的。令種群數量翻一番所需的時間為T，那么有：故即Malthus模型模型檢驗

比較歷年的人口統計資料，可發現人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預報結果基本相符，例如，1961年世界人口數為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數量，發現兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預測假如人口數真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數將以幾何級數的方式增長。例如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數的增長Malthus模型實際上只有在群體總數不太大時才合理，到總數增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發生生存競爭等現象。所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數，它應當與人口數量有關。Logistic模型

人口凈增長率應當與人口數量有關，即：r=r(N)

從而有：（1）r(N)是未知函數，但根據實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原那么。工程師們在建立實際問題的數學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項〔競爭項〕此時得到微分方程：或（2）

（2）被稱為Logistic模型或生物總數增長的統計籌算律，是由荷蘭數學生物學家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數是負的，因為當種群數量很大時，會對自身增大產生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。（2）可改寫成：

（3）(3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養無限增長的種群個體，當種群數量過多時，由于人均資源占有率的下降及環境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設環境能供養的種群數量的上界為K〔近似地將K看成常數〕，N表示當前的種群數量，K-N恰為環境還能供養的種群數量，〔3〕指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統計規律，得到了實驗結果的支持，這就是〔3〕也被稱為統計籌算律的原因。對（3）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（4）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請看右圖模型檢驗

用Logistic模型來描述種群增長的規律效果如何呢？1945年克朗比克（Crombic）做了一個人工飼養小谷蟲的實驗，數學生物學家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養液的小試管，他發現，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數據與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見右圖

Malthus模型和Logistic模型的總結

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（1）所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數，（r被稱為該種群的內稟增長率）。后一模型則假設環境只能供養一定數量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數學模型有相同的微分方程即可。以前，美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里，然后仍到水深為300英尺的海里。1問題〔這是一場筆墨官司〕:生態學家和科學家提出：圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？美國原子能委員會：不會破裂〔用實驗證明〕。又有幾位工程師提出：圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？美國原子能委員會：決不會。放射性核廢料處理問題圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過40英尺/秒？假設圓桶與海底碰撞時的速度超過40英尺/秒時，就會因碰撞而破裂。這幾位工程師通過大量的實驗證明:通過建立數學模型來解決這一問題。一些參數及假設：假設圓筒下沉時，所受海水的阻力與其速度成正比，即受力分析：xyGfo2建模與求解根據牛頓第二定理可解得：極限速度為：將速度v看成位置y的函數v(y)，由于代入：其解為：仍未解出