專題03不等關系№專題03不等關系№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓練（新高考）備戰2024高考數學一輪復習（新高考）備戰2024高考數學一輪復習專題03不等關系命題解讀命題預測復習建議不等式是每年高考都要考察的內容，數學就是研究各種變量間的關系的，因此可以說就是研究相等與不等的，不等式的考察主要有不等式的性質、解法和證明應用等，常常與函數、數列、導數等相結合。在解答題中是必考的，在集合和函數的定義域、單調性、極值、最值等方面都有，因此應用比較廣泛。預計2024年的高考不等式的考察還是必須的，對于題目的難易度來說，易、中、難都有，主要是以數學運算和邏輯推理為主。集合復習策略：1.理解不等關系以及不等式的性質，高考對不等式的考察還是比較穩定的；2.掌握不等式的應用，高考主要是考察不等式的各種應用；3.掌握與不等式考察有關的知識點。→?考點精析←一、比較大小1．兩個實數比較大小的方法(1)作差法(2)作商法a二、不等式性質1.對稱性:a>b?b<a(雙向性)2.傳遞性:a>b，b>c?a>c(單向性)3.可加性:a>b?a+c>b+c(雙向性)；a>b，c>d?a+c>b+d(單向性)4.可乘性:a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd(單向性)5.乘方法則:a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)(單向性)6.開方法則:a>b>0?na>n三、常見的結論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).→?真題精講←1.（2020年新高考全國Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選ABD.2.（2019天津高考理科）已知，，，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，故，所以.故選A3.（2020江蘇省期末）若實數，滿足，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據實數，滿足，取，，則可排除．因為函數在定義域上單調遞增，因為，所以，即故選C．4.（2020浙江省杭州第二中學高三其他）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以.對于，取，不成立；對于取，不成立；對于取，不成立.故選B.→?模擬精練←1．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）下列推理正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若a，，則【答案】BC【解析】A選項，不妨設，滿足，但，A錯誤；B選項，因為，所以不等式兩邊同時乘以得：，不等式兩邊同時乘以得：，從而，B正確；C選項，因為，所以，不等式兩邊同除以得：，C正確；D選項，因為a，，故當或時，無意義，D錯誤.故選：BC2．（2023·廣東·高三校聯考階段練習）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，即，故B正確；對于C，因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.3．（2023·山東青島·統考三模）已知實數a，b，滿足a＞b＞0，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于選項A：根據題意結合基本不等式分析判斷；對于選項B：利用作差法分析判斷；對于選項C：分析可得，結合指數函數單調性分析判斷；對于選項D：結合冪函數單調性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即，解得或，所以或，故A錯誤；對于選項B：，因為a＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對于選項C：因為a＞b＞0，且，可得同號，則有：若同正，可得，則，可得；若同負，可得，則，可得；綜上所述：，又因為在定義域內單調遞減，所以，故C正確；對于選項D：因為a＞b＞0，則，可得在內單調遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.4．（2023·廣東惠州·統考模擬預測）已知實數，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A選項中，因為，所以，故A選項正確；B選項中，因為函數在上單調遞減且，所以，故B選項錯誤：C選項中，因為，則，故C選項錯誤；D選項中，若，，滿足，但，故D選項錯誤．故選：A．5．（2023春·廣東·高三統考開學考試）若正實數滿足,且,則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,為單調遞增函數,故,由于,故,或，當時,,則，此時；,故;,即,所以;當時,,則,此時,,故;,即,所以;故ABC均錯誤;對于D選項,,兩邊取自然對數,,因為不管,還是,均有,所以,故只需證即可.設(且),則,令(且),則,當時,,當時,,所以,所以在且上恒成立,故(且)單調遞減,因為,所以,結論得證,所以D正確.故選:D.6．（2023·江蘇·統考二模）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據指數函數及對數函數的單調性即可比較，構造函數，，利用導數判斷函數的單調性，再根據函數的單調性即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：構造函數，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關鍵.7．（2023·廣東茂名·統考一模）e是自然對數的底數，，已知，則下列結論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】原式變形為，構造函數，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調遞減，在上單調遞增，對于A：取，則∵在上單調遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.8．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）已知直線與函數的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據結論恒成立可只考慮的情況，假設切點坐標，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構造函數，，利用導數可求得的單調性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設對應的切點為，，，設對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調遞增，，即，在上單調遞減，，，；綜上所述：.故選：C.9．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學?？级＃〆是自然對數的底數，，已知，則下列結論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】構建函數根據題意分析可得，對A、D：取特值分析判斷；對B、C：根據的單調性，分類討論分析判斷.【詳解】原式變形為，構造函數，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調遞減，在上單調遞增，對于A：取，則∵在上單調遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.【點睛】結論點睛：指對同構的常用形式：（1）積型：，①構造形式為：，構建函數；②構造形式為：，構建函數；③構造形式為：，構建函數.（2）商型：，①構造形式為：，構建函數；②構造形式為：，構建函數；③構造形式為：，構建函數.10．（2023·廣東肇慶·統考二模）已知正數滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，，，所以，所以，構造，所以，當，即時，分析即可，所以在上單調遞減，所以，所以，所以，所以，由，所以，構造，，則，所以在上單調遞增，所以由得，所以，故此時，D選項錯誤；當時，，此時，所以可能成立，故C選項可能正確，由，即，構造，所以，設，當時，，所以在單調遞減，在上單調遞增，且，所以當時，即，所以，構造，則，所以在上單調遞增，所以，故A可能正確，B項錯誤；故選：AC→?專題訓練←一、用不等式表示不等關系1.鐵路乘車行李規定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規定用數學關系式可表示為（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【分析】根據長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關系式.【詳解】長、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.2.某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等關系求解即可.【詳解】經過年之后，方案的投入為，故經過年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D3.某校在冬季長跑活動中，要給獲得一、二等獎的學生購買獎品，要求花費總額不得超過元，已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為元、元，一等獎人數與二等獎人數的比值不得高于，且獲得一等獎的人數不能小于．設獲得一等獎的學生有人，獲得二等獎的學生有人，則滿足的不等關系為______．【答案】.【分析】根據已知可直接得到不等式組，化簡即可得到結果.【詳解】由題意得：，化簡得：.故答案為：二、有已知條件判斷所給不等式是否正確4.若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【分析】對于AB，舉例判斷，對于CD，利用不等式的性質判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，因為，所以由不等式的性質可得，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，即，所以D錯誤，故選：C5.如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據不等式的性質依次判斷即可.【詳解】若，則，故A錯誤；若，，則，故B錯誤；若，則，故C正確；若，則，故D錯誤.故選：C.6.若a，b，c為實數，且，則下列不等關系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據不等式的性質，結合特例法逐一判斷即可.【詳解】A：當時，顯然不成立；B：當時，顯然沒有意義；C：當時，顯然不成立；D：根據不等式的性質，由能推出，故選：D三、由不等式的性質比較數（式）的大小7.（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因為，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC8.（多選）下列命題正確的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．ab=0是的充要條件 D．a≥b＞－1，則【答案】AD【分析】舉出一例判斷存在命題是否正確，判斷A，舉反例判斷BC，由不等式的性質判斷D．【詳解】對A，時，，A正確；對B，時，對任意，，不成立，B錯；對C，時滿足，但此時，C錯；對D，，則，，則，D正確．故選：AD．四、作差法比較代數式的大小9.如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例判斷A，B，D錯誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯，，B錯，，，D錯，因為，所以所以，故，C對，故選：C.10.（多選）已知，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接推導否定選項AC，直接推導證明選項BD正確.【詳解】選項A：由，可得.判斷錯誤；選項B：由，可得，則，則.判斷正確；選項C：由，可得，則，則.判斷錯誤；選項D：由，可得，則.判斷正確.故選：BD五、作商法比較代數式的大小11.（多選）對于實數，，，正確的命題是