經濟預測數量方法管理的核心是決策，而正確合理的決策有時需要預測。在一個經濟系統中，經濟發展狀況體現在一些經濟指標上，特別是在研究發展戰略與規劃當中，要制訂遠景發展目標，目標的確定以及能否實現，需要對目標相關的經濟指標進行預測。1經濟預測概述預測是對未知事件的估計或表述。預測技術是運用科學的判斷方法和數量方法，對某種事物未來可能的演變，事先做出推測的一種技術。預測技術應該包括它所遵循的理論、預測對象的歷史和現時資料與數據、所能采用的數量方法或者分析判斷方法以及預測方法及其結果的評價與檢驗等要素。2預測技術所遵循的理論包括兩方面：一是預測對象這個事物本身所處學科領域的理論，用以辯識事物發展的客觀規律，指導預測方法的選擇和結果的評價；二是預測方法本身的理論，主要是數學的、統計學的一些有關理論。經濟預測，是在有關的宏觀或微觀經濟學理論指導下，以經濟發展的歷史和現狀為出發點，以調查研究和統計的資料和數據為依據，以科學的定性分析判斷和嚴謹的定量計算以及計算機技術為手段，對預測對象有關的經濟活動的發展演變規律進行分析和揭示，從而對預測對象的未來發展演變狀態預先做出科學的推測。3經濟預測具有下述重要意義。（1）經濟預測是制訂經濟發展戰略的依據之一。（2）經濟預測是提高經濟效益的手段之一。（3）經濟預測是提高管理水平、改善計劃統計工作的途徑之一。4經濟預測的分類，從不同的角度考慮，大體有以下三種分類：（1）定性預測與定量預測。（2）短期、中期、長期預測。（3）微觀預測、部門與地區預測、宏觀預測。按照經濟預測的范圍，經濟預測可分為微觀預測、部門與地區預測和宏觀預測。5定量預測的步驟預測的步驟，因預測方法不同而有所差異。定量預測方法大體可分為以下步驟：（1）明確預測目的。（2）收集和整理資料數據。6（3）建立預測模型。根據經濟理論和數學方法以及所選的預測方法，分別建立預測數學模型，以便真實表達有關經濟變量之間的數量關系。必要時對數據樣本進行處理，以符合模型本身的要求。（4）模型參數估計。按照各自模型的性質和數據樣本，采用數學方法，對模型中的參數進行估計，最終識別和確認所選用的具體數學模型。7（5）模型檢驗。模型檢驗是對上一步建立的具體的數學模型進行合理性檢驗。所謂合理性檢驗包括：模型參數的數理統計的合理性；預測模型預測計算的相應值的離差；模型的修正，當檢驗后發現模型不合理時，有必要對模型加以修正。8（6）預測與結果分析。運用合理的檢驗過的模型使用有關數據進行對未來的預測，并對預測結果進一步從經濟活動及其有關經濟理論做出經濟合理性分析；此外，必要時還應對不同方法模型同時預測所得的結果加以分析對比，做出可信度的判斷，或者根據各個不同的預測結果做出綜合預測結果。9Delphi法Delphi法是一種專家調查法。此法的特點是：（1）匿名性。采用匿名函詢方式，參加預測的專家互不了解，免除心理因素影響；專家可以修改上一輪自己的意見，無損威信。（2）輪間反饋性。發函征詢意見至少要經過兩輪，預測當事人應將上一輪每個專家的意見進行匯總統計，將其作為反饋信息，在下一輪函詢時告知各位專家參考。（3）預測結果的統計特性。為了提高預測結果的科學性，對預測結果應做出統計分析。10Delphi法實施要點如下：1．確定預測主題，編制預測事件一覽表預測事件表有如下幾種：（1）預測某事件實現的時間。表中應羅列各個事件的實現時間及其實現的不同概率（一般取10%，50%，90%）。專家只須根據自己的判斷，分別填上不同概率的實現時間。11（2）預測事件的相對結構比重。表中應羅列預測事件的結構成分及其可能的結構比率數。專家只須對位打“√”（表示贊成）。（3）選擇性預測。表中應羅列預測事件的各種可能選擇的方案或意見，專家只須對位打“√”（表示贊成）。（4）排序性預測。這是對一系列事件希望做出優先排序的預測，表中應羅列這一系列事件，專家只須分別填寫其序號。（5）簡明詢問。這種表形式不一，但應盡量使專家便于回答。122．選擇專家選擇專家在Delphi法中顯得相當重要，因為預測最終結果來自專家。因此，應該注意：所選擇的專家應與預測主題的學科領域相關，且領域面要廣泛一些；所選專家在各領域中應有一定的代表性和知名度；不僅應有本部門的專家，且應有一定數量的外部門的專家。133．實施步驟從上述本方法的特點可知，應向專家進行多輪次的函詢；輪次數不同，則各步驟的內容有所不同。輪數愈多，工作愈繁，不一定結果愈好；現今一般采用三輪，以下按三輪闡述其實施步驟。第一輪。預測當事人將研究確定的預測主題及其相應的預測事件表發給專家，請其在一定期限內應答寄回。14第二輪。將第一輪表的統計結果和第二輪表（有時兩者合并為一）發給專家。這時專家位將根據函詢表要求，進一步做出預測并闡明自己的理由、意見，其中包含對上一輪自己判斷的修正、或者堅持的理由，甚至對第一輪統計結果的質疑。第三輪。將第二輪初步所得綜合預測結果制定第三輪函詢表或文件，發給專家，請其對它們提出評價并闡明意見和理由，寄回。最后，預測當事人收到第三輪專家回答材料后，通過整理統計，可以獲得較為收斂的預測結果。154．應答結果的處理與統計16馬爾可夫過程分析方法馬爾可夫過程（MarkovProcess）分析方法是研究系統在隨機條件下，由一個狀態向另一個狀態轉移的變化情況（通常以所處狀態的概率表示），并進而研究使系統處于最優狀態和獲得最優決策的數學方法。馬爾可夫過程分析方法在企業的生產和經營管理決策中（如市場銷售預測、產品經營決策和生產存儲管理、設備維修組織等方面）都可以有廣泛和實際的運用。17一、轉移概率矩陣馬爾可夫過程分析方法的理論基礎是狀態轉移的無后效性，即系統在某一階段由一個狀態轉移到任一種狀態，不影響下一階段，由此種狀態再轉移到任一種狀態的發展和變化。在一般情況下，通過統計、調查和觀察、預測等手段，系統的狀態轉移概率都是可以確定的。下面通過一個例子來觀察一下狀態轉移和狀態轉移概率變化的特點。18假設市場上需要某種機器設備，這種機器有甲、乙、丙三家工廠生產和供應，已知去年和今年的銷售量變動情況如表9-1所示。表9-1上年和今年機器銷售量變動表19假定這種變化完全是隨機的，作為工廠企業的管理者就需要從市場銷售變化中，掌握銷售變化的規律和趨勢。例如，對甲廠來說，機器的銷售量是否會一直按照30%的增長率增長下去？對于乙廠和丙廠來說，機器的銷售量是否會一直按照20%的減少率減少下去？應該怎樣采取策略措施，使本廠的銷售量能有所提高？這些都是企業管理者所應該關心的問題。20為了對今后機器銷售變化趨勢作出正確的預測，可以通過統計分析對去年和今年銷售量的變動情況作進一步分析，從而得到今年銷售量變動的具體數據，如表9-2所示。表9-2上年和今年機器銷售量的具體變動21表9-2說明，上年購買甲廠機器的，今年仍買甲廠的有160臺，改買乙廠和丙廠的各有120臺；上年購買乙廠機器的，今年仍買乙廠的有90臺，改買甲廠和丙廠的分別為180臺和30臺；上年購買丙廠機器的，今年仍買丙廠的有90臺，改買甲廠和乙廠的分別為180臺和30臺。上年甲、乙、丙三廠機器的市場占有率分別為40%、30%和30%；今年甲、乙、丙三廠機器的市場占有率分別改變為52%、24%和24%。221．一步（期）轉移概率矩陣從表9-2還可以進一步看出，各廠市場占有率的具體變化情況，即：（1）原購甲廠機器，現仍購甲廠機器的概率為：

（2）原購乙廠機器，現改購甲廠機器的概率為：

（3）原購丙廠機器，現改購甲廠機器的概率為：23

類似地可以得到：（4）原購甲廠機器，現改購乙廠機器的概率為：

（5）原購乙廠機器，現仍購乙廠機器的概率為：

（6）原購丙廠機器，現改購乙廠機器的概率為：

24（7）原購甲廠機器，現改購丙廠機器的概率為：

（8）原購乙廠機器，現改購丙廠機器的概率為：

（9）原購丙廠機器，現仍購丙廠機器的概率為：25以上各項狀態轉換概率稱為轉移概率。為使這種訂購各廠機器的相互轉換關系更加清晰明了，可用矩陣形式表示如下：

甲

乙

丙26這種矩陣稱為隨機轉移概率矩陣。對于一般情況，經過一步（期）轉移后的轉移概率矩陣可表示如下：（9-1）式中：——表示從狀態i轉移到狀態j的概率（通常i=j，即為等階方陣）。27如上例，，即有三種狀態，則：式中：——表示原購i廠機器，現購j廠機器的轉移概率。282．多步（期）轉移概率矩陣如果經過長期觀察，這種轉換過程確實是隨機的，那么，這樣的轉移概率矩陣可以長期保持不變，即以后各期的概率轉換情況，都可以用這個轉移概率矩陣來描述，除非某一時期有某種特殊因素的影響或特殊情況發生，需要重新調整、統計和分析，得到新的轉移概率矩陣。29例如，經過二步轉移后的轉移概率矩陣可表示如下：當i=j=3時,30例1已知今年甲、乙、丙三廠機器銷售的市場占有率的轉移概率（即一步轉移概率）如下：如果這種轉移過程是隨機的，試計算明年甲、乙、丙三廠機器銷售的市場占有率的轉移概率。31解:由今年的轉移概率求明年的轉移概率，可應用二步轉移概率矩陣公式計算如下：32更進一步，如果這種轉移過程仍是隨機的，那么，當一步轉移后的轉移概率給定后，經過n步轉移后的轉移概率矩陣可由一步轉移概率矩陣的n次冪求得，即：（9-2）33例2已知今年甲、乙、丙三廠機器銷售是市場占有率的轉移概率矩陣（同例1），如果這種轉移過程是隨機的，試計算后年甲、乙、丙三廠機器銷售的市場占有率的轉移概率。34解:由今年的轉移概率求后年的轉移概率，為三步轉移，用多步轉移概率矩陣公式計算如下：35上述的轉移概率矩陣有以下兩個特點：（1）矩陣中的所有元素（），都是小于1的非負元素，即：（2）矩陣中各行元素之和均為1，即：36例如，對于有：（1），（；）；37（2），（），即：，，，對于n步轉移后的轉移概率矩陣也同樣適用。以上兩個特點，可以用來檢查轉移概率矩陣經過多步轉移后計算結果的正確性。383．對未來概率的預測利用轉移概率矩陣可以計算未來各期的概率變化情況：（1）一步（期）轉移后的概率（9-3）式中：——

一步轉移后的概率；

——

初始狀態的概率；

——

轉移概率矩陣。39（2）多步轉移后的概率（9-4）

以上轉移后的概率計算公式應用于企業管理，可以為預測今后生產和經營的發展趨勢提供決策的依據。40例3已知上年甲、乙、丙三廠生產某種機器的市場占有率（初始占有率）分別為0.40、0.30和0.30；今年三廠的市場占有率分別為0.52、0.24和0.24。通過調查研究，知道三廠生產的機器市場占有率轉移矩陣如下：

試預測這三家工廠明年和后年的市場占有率。41（1）明年的市場占有率預測：明年相對于上年是第二步轉移，因此，明年各廠的市場占有率為各廠的初始（上年）市場的占有率乘以各廠的市場占有率轉移矩陣的2次冪，即：或42式中：——各廠明年的市場占有率；

——各廠的初始（上年）市場占有率；或——各廠的市場占有率轉移矩陣。

43結合問題所給的數據，有：44即：由以上計算結果可知，明年三廠的市場占有率分別為49.6%、25.2%和25.2%。45（2）后年的市場占有率預測：后年相對于上年是三步轉移，因此：或46結合問題所給的數據，有：47即：由以上計算結果可知，后年三廠的市場占有率分別為50%、25%和25%。由于已有明年（二步）的市場占有率預測數據，所以后年（三步）的市場占有率也可以直接以明年（二步）的市場占有率（而不必以初始市場占有率）為基礎，乘以市場占有率轉移矩陣得到。48二、平衡狀態及其轉移概率矩陣1．平衡狀態及其概率由公式9-4可知第n期轉移后的市場占有率為：49現結合例3所給初始市場占有率和市場占有率轉移矩陣，算出各期的市場占有率，列于表9-3中。表9-3各期的市場占有率50由表9-3計算結果可以看出，從第三期起，各廠的市場占有率已經開始趨于穩定，即從這一期以后，每一工廠的產品被市場拒購和訂購的數量基本上以至完全相等。這時，市場占有率開始達到平衡狀態。以后，各廠市場占有率不再發生變化。平衡狀態時的各廠市場占有率，除了可按公式逐步計算得到外，還可按下述原理和方法一次性地、直接地計算出來。51設Pi(b)為達到平衡（b期）時i的概率，則下一期狀態（b+1期）時i的概率為：因為，已知狀態達到平衡后，概率不再發生變化，即：所以，，（）（9-5）52例4試根據例1所給數據，計算狀態平衡時各廠的市場占有率。解:根據例1所給的數據和公式9-5，設狀態平衡時，三廠的市場占有率分別為，和，則：53由此可得：（1）（2）（3）54又根據概率的性質，有：（4）根據以上4式，可求得：，，這就是達到平衡狀態時三廠的市場占有率，與用公式9-4遞推方法得到的結果相同。552．平衡狀態時的轉移概率矩陣由式2-2第n期的轉移概率矩陣計算公式：（；）也可依次遞推算出各期的概率矩陣。結合例1所給的數據，可得三廠各期市場占有率的概率轉移矩陣如表9-4所示。56表9-4未來各期的概率轉移矩陣57由表9-4可知，當轉移期到達第3、4和第5期時，轉移概率矩陣中各列的數值已接近相等或完全相等，而各行中每列的數值就是甲、乙、丙三廠趨于穩定的市場占有率。設平衡狀態的轉移概率矩陣為，又按照公式9-4第n期轉移后的概率為：（）58當狀態達到平衡后，（）結合例1所給數據和表9-4計算結果，有：

所以，

即：

59由于所以，同樣，60這說明，平衡狀態時的市場占有率就等于平衡狀態時的轉移概率矩陣中各列的概率。以上計算結果還說明，平衡狀態時的概率只與平衡狀態時的轉移概率矩陣有關，而與初始狀態的概率無關，即不論初始狀態的概率為多少（如例1中三廠的初始市場占有率分別為0.40、0.30和0.30），最后的概率總是等于平衡狀態時的轉移概率矩陣中相應各列的概率。61從表9-4可以看出，平衡狀態時的轉移概率矩陣達到平衡（穩定）的速度快慢（即轉移期數的多少）與狀態的一期概率矩陣有關。狀態一期轉移概率矩陣（）中各元素的數值越接近平衡狀態的轉移概率矩陣中的各列的概率值，則達到平衡狀態的速度越快；反之，則較慢，有時需要經過10期、20期或更長期的轉移以后才能達到平衡。62灰色預測模型1982年，我國著名學者鄧聚龍教授創立的灰色系統理論，與研究“隨機不確定性”的概率統計和研究“認知不確定性”的模糊數學不同，灰色系統理論的研究對象是“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統，它通過對“部分”已知信息的生成、開發去了解，認識現實世界，實現對系統運行行為和演化規律的正確把握和描述，灰色系統模型對試驗觀測數據及其分布沒有什么特殊的要求和限制，作為一種十分簡便、易學好用的新理論，灰色系統理論具有十分寬廣的應用領域，并深受各領域研究人員和實際工作者的喜愛。本節介紹灰色系統理論的產生與發展動態以及灰色系統的基本概念和基本原理，既是最具基礎性的內容，又可視為全節的導言。63一、灰色系統的概念與基本原理（一）灰色系統理論的產生與發展動態1．灰色系統理論的產生與發展動態1982年，北荷蘭出版公司出版的“Systems&ControlLetters”（系統與控制通訊）期刊上發表了我國學者鄧聚龍教授的第一篇灰色系統論文“灰色系統的控制問題”（TheControlProblemsofGreySystems），標志著灰色系統理論這一新興學科經過其創始人鄧聚龍教授多年卓有成效的努力，開始問世。這一新理論剛一誕生，就受到國內外學術界和廣大實際工作者的極大關注。64海內外84所高校開設了灰色系統課程，數百名博士、碩士研究生運用灰色系統的思想方法開展科學研究，撰寫學位論文；國際、國內200多種學術期刊發表灰色系統論文，許多國際會議把灰色系統列為討論專題。據不完全統計，近年來，SCI（科學引文索引）、EI（工程索引）、ISTP（科技會議索引）以及SA（英國科學文摘）、MR（美國數學評論）、MA（德國數學文摘）等國際權威性探索雜志跟蹤、檢索我國學者的灰色系統論著500多次（其中鄧聚龍教授的論著被檢索、摘錄100多次）。651985年，國防工業出版社出版了鄧聚龍教授的第一部灰色系統專著《灰色系統（社會·經濟）》。1985年至1992年，華中理工大學出版社先后出版發行了鄧聚龍教授有關灰色系統的六部著作：《灰色控制系統》、《灰色預測與決策》、《灰色系統基本方法》、《多維灰色規劃》、《灰色系統理論教程》和《灰數學引論——灰色朦朧集》。1989年，英國科技信息服務中心和萬國學術出版社聯合創辦了國際性刊物“TheJournalofGreySystem”（灰色系統學報），該刊被英國科學文摘（SA）等權威性檢索機構列為核心期刊。661985年，全國性的灰色系統研究會宣告成立，會員遍布包括西藏在內的各省、市、區以及港、澳、臺地區。目前，湖北、河南、浙江、山西、山東、河北、寧夏、臺灣等地成立了灰色系統研究分會或專業性研究組織?；疑到y理論的蓬勃生機和廣闊前景正日益廣泛地為國際、國內各界所認識、所重視。672．幾種不確定性方法的比較概率統計、模糊數學和灰色系統理論是三種最常用的不確定性系統的研究方法。研究對象都具有某種不確定性，這是三者的共同點。正是研究對象在不確定性上的區別派生出三種各具特色的不確定性學科。68模糊數學著重研究“認知不確定”問題，其研究對象具有“內涵明確，外延不明確”的特點。比如“年輕人”就是一個模糊概念。因為每一個人都十分清楚年輕人的內涵。但要讓你劃定一個確切的范圍，在這個范圍之內的是年輕人，范圍之外的都不是年輕人，則很難辦到，因為年輕人這個概念外延不明確。對于這類內涵明確、外延不明確的“認知不確定”問題，模糊數學主要是憑經驗借助于隸屬函數進行處理。69概率統計研究的是“隨機不確定”現象，著重于考察“隨機不確定”現象的歷史統計規律，考察具有多種可能發生的結果之“隨機不確定”現象中每一種結果發生的可能性大小。其出發點是大樣本，并要求對象服從某種典型分布。70灰色系統著重研究概率統計、模糊數學所不能解決的“小樣本、貧信息不確定”問題，并依據信息覆蓋，通過序列生成尋求現實規律。其特點是“少數據建?！?。與模糊數學不同的是，灰色系統理論著重研究“外延明確、內涵不明確”的對象。比如說到2050年，中國要將總人口控制在15億到16億之間，這“15億到16億之間”就是一個灰概念，其外延是非常明確的，但如果進一步要問到底是哪個具體值，則不清楚。71（二）灰色系統的概念與基本原理1．灰色系統的基本概念我們用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明確，用“灰”表示部分信息明確、部分信息不明確。相應地，信息完全明確的系統稱為白色系統，信息未知的系統稱為黑色系統，部分信息明確、部分信息不明確的系統稱為灰色系統。72灰色系統理論的研究對象是“部分信息已知，部分信息未知”的“貧信息”不確定性系統，它通過對“部分”已知信息的生成、開發實現對現實世界的確切描述和認識。在人們的社會、經濟活動或科研活動中，會經常遇到信息不完全的情況。如在證券市場上，即使最高明的系統分析人員亦難以穩操勝券，因為你測不準金融政策、利率政策、企業改革、國際市場變化及某些板塊價格波動對其它板塊之影響的確切信息。732．灰色系統的基本原理在灰色系統理論創立和發展過程中，鄧聚龍教授發現并提煉出灰色系統的基本原理。不難看出，這些基本原理，具有十分深刻的哲學內涵。公理1.2.1（差異信息原理）“差異”是信息，凡信息必有差異。我們說“事物A不同于事物B”，即含有事物A相對于事物B之特殊性的有關信息，客觀世界中萬事萬物之間的“差異”為我們提供了認識世界的基本信息。74公理1.2.2（解的非惟一性原理）信息不完全、不確定的解是非惟一的?！敖獾姆俏┮恍栽怼笔腔疑到y理論解決實際問題所遵循的基本法則，他給予你靈活性的法寶，使你處處取得實效?！敖獾姆俏┮恍栽怼痹跊Q策上的體現是灰靶思想?；野惺悄繕朔俏┮慌c目標可約束的統一。比如升學填報志愿，一個認定了“非某校不上”的考生，如果考分不具絕對優勢，其愿望就很可能落空。相同條件對于愿意退而求其“次”，多目標、多選擇的考生，其升學的機會更多。75公理1.2.3（最少信息原理）灰色系統理論的特點是充分開發利用已占有的“最少信息”?！白钌傩畔⒃怼笔恰吧佟迸c“多”的辨證統一，灰色系統理論的特色是研究“小樣本”、“貧信息”不確定性問題。其立足點是“有限信息空間”，“最少信息”是灰色系統的基本準則。所能獲得的信息“量”是判別“灰”與“非灰”的分水嶺，充分開發利用已占有的“最少信息”是灰色系統理論解決問題的基本思路。76公理1.2.4（認知根據原理）信息是認知的根據。認知必須以信息為依據，沒有信息，無以認知。以完全、確定的信息為根據，可以獲得完全確定的認知，以不完全、不確定的信息為依據，只能得到不完全、不確定的灰認知。77公理1.2.5（新信息優先原理）新信息對認知的作用大于老信息。“新信息優先原理”是灰色系統理論的信息觀，賦予新信息較大的權重可以提高灰色建模、灰色預測、灰色分析、灰色評估、灰色決策等的功效?！靶玛惔x”模型體現了“新信息優先原理”。新信息的補充為灰元白化提供了基本動力?！靶滦畔炏仍怼笔切畔⒌臅r效性的具體體現。78公理1.2.6（灰性不滅原理）“信息不完全”（灰）是絕對的。信息不完全、不確定具有普遍性。信息完全是相對的、暫時的。原有的不確定性消失。新的不確定性很快出現。人類對客觀世界的認識，通過信息的不斷補充而一次又一次地升華。信息無窮盡，認知無窮盡，灰性永不滅。793．灰色系統理論的主要內容灰色系統理論經過10多年的發展。已基本建立起一門新興學科的結構體系，其主要內容包括以灰色朦朧集為基礎的理論體系，以灰色關聯空間為依托的分析體系，以灰色序列生成為基礎的方法體系，以灰色模型（GM）為核心的模型體系，以系統分析、評估、建模、預測、決策、控制、優化為主體的技術體系?；疑鼥V集、灰色代數系統、灰色矩陣、灰色方程等是灰色系統理論的基礎。80灰色系統分析除灰色關聯分析外，還包括灰色聚類和灰色統計評估等方面的內容?；疑A測是基于GM模型作出的定量預測，按照其功能和特征可分成數列預測、敬意預測、災變預測、季節災變預測、波形預測和系統預測等幾種類型?；疑珱Q策包括灰靶決策、灰色關聯決策、灰色統計、聚類決策、灰色局勢決策和灰色層次決策等。灰色優化技術包括灰色線性規劃、灰色非線性規劃、灰色整數規劃和灰色動態規劃等。81（三）灰數及其運算1．灰數灰色系統用灰數、灰色方程、灰色矩陣等來描述，其中灰數是灰色系統的基本“單元”或“細胞”。我們把只知道大概范圍而不知其確切值的數稱為灰數。在應用中，灰數實際上指在某一個區間或某個一般的數集內取值的不確定數。通常用記號“”表示灰數。82灰數有以下幾類：1°僅有下界的灰數有下界而無上界的灰數記為或，其中為灰數的下確界，它是一個確定的數，我們稱為的取數域，簡稱的灰域。一棵生長著的大樹，其重量便是有下界的灰數，因為大樹的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其準確的重量，若用表示大樹的重量，便有。832°僅有上界的灰數有上界而無下界的灰數記為或，其中是灰數的上確界，是確定的數。一項投資工程，要有個最高投資限額，一件電器設備要有個承受電壓或通過電流的最高臨界值。工程投資、電器設備的電壓、電流容許值都是有上界的灰數。843°區間灰數既有下界又有上界的灰數稱為區間灰數，記為。海豹的重量在20~25公斤之間，某人的身高在1.8~1.9米之間，可分別記為，854°連續灰數與離散灰數在某一區間內取有限個值或可數個值的灰數稱為離散灰數，取值連續地充滿某一區間的灰數稱為連續灰數。某人的年齡在30到35歲之間，此人的年齡可能是30，31，32，33，34，35這幾個數，因此年齡是離散灰數。人的身高、體重等是連續灰數。865°黑數與白數當或，即當的上、下界皆為無窮或上、下界都是灰數時，為黑數。當且時，稱為白數。為討論方便，我們將黑數和白數看成特殊的灰數。876°本征灰數與非本征灰數本征灰數是指不能或暫時還不能找到一個白數作為其“代表”的灰數，比如一般的事前預測值、宇宙的總能量、準確到秒或微秒的“年齡”等都是本征灰數。非本征灰數是指憑先驗信息或某種手段，可以找到一個白數作為其“代表”的灰數。我們稱此白數為相應灰數的白化值，記為，并用表示以為白化值的灰數。如托人代買一件價格100元左右的衣服，可將100作為預購衣服價格（100）的白化數，記為。88從本質上看，灰數又可以分為信息型、概念型、層次型三類。1°信息型灰數，指因暫時缺乏信息而不能肯定其取值的數。如：預計某地區今年夏糧產量在100萬噸以上，；估計某儲蓄所年底居民儲蓄存款總額將達7000萬到9000萬元，；預計長沙地區5月份最高氣溫不超過36℃，。這些都是信息型灰數。由于暫時缺乏信息，不能肯定某數的確切取值，而到一定時間后，通過信息補充，灰數可以完全變白。如上述三個灰數，一旦預言的時間終了，就會變成完全確定的數。892°概念型灰數也稱意愿型灰數，指由人們的某種觀念、意愿形成的灰數。如：某人希望至少獲得1萬元科研經費，并且越多越好，；某工廠廢品率為1%，希望大幅度降低，當然越小越好，。這些都是概念型灰數。903°層次型灰數，由層次改變形成的灰數。有的數，從系統的高層次，即宏觀層次、整體層次或認識的概括層次上看是白的；可到低層次上，即到系統的微觀層次、分部層次或認識的深化層次則可能是灰的。例如，一個人的身高，以厘米度量是白的，若精確到萬分之一毫米就成灰的了。有的數，在某個小范圍內是白的，在大范圍內就成灰的了。例如叫張三豐的人，某個學校只有1人，全市大學有4~6人，已是灰數；若在全國范圍內考慮，就更加說不清了。912．區間灰數的運算如同實數一樣可以定義代數運算法則，具體略。92（四）灰數白化與灰度有一類灰數是在某個基本值附近變動的，這類灰數白化比較容易，我們可以其基本值為主要白化值。以基本值的灰數可記為或，其中為擾動灰元，此灰數的白化值。如今年的科研經費在5萬元左右，可表示為，或，它的白化值為50000。對于一般的區間灰數，我們將白化值取為（1.4.1）93定義1.4.1形如的白化稱為等權白化。定義1.4.2在等權白化中，取而得到的白化值稱為等權均值白化。當區間灰數取值的分布信息缺乏時，常采用等權均值白化。定義1.4.3設區間灰數，，，，，當時，我們稱與取數一致；當時，稱與取數非一致。94在灰數的分布信息已知時，往往采取非等權白化。例如某人2000年的年齡可能是40歲到60歲，是個灰數。根據了解，此人受初、中級教育共12年，并且是在60年代中期考入大學的，故此人年齡到2000年為58歲左右的可能性較大，或者說在56歲到60歲的可能性較大。這樣的灰數，如果再作等權白化，顯然是不合理的。95（五）灰數測度灰數的測度即灰度。灰數的灰度在一定程度上反映了人們對灰色系統之行為特征的未知程度?；覕档幕叶戎饕c相應定義信息域的長度及其基本值有關。如果考慮一個4000左右的灰數，給出其估計值的兩個灰數和，顯然比灰度小，若再考慮一個基本值為4的灰數，給出灰數，雖然比的長度都是4，但比的灰度小是顯而易見的。96定義1.5.1設灰數的定義信息域為[a,b]，a<b，則稱為灰數的定義信息域的長度。顯然，當兩個灰數的基本值相等時，定義信息域長度越大，灰度越大。有關灰數測度的公理及定理（略）。97（六）灰數的信息含量測度灰數是系統行為特征的一種表現形式。灰數的信息含量反映了人們對灰色系統的認識程度。它的大小與灰數的產生背景有著不可分割的聯系。如果對一個灰數的產生背景、論域及它所表征的灰色系統不加說明，我們將無法討論其信息含量的大小。98例如，對于灰數，不說明其產生背景，就很難說它包含多少信息。當它表達的是某成年男子的身高（厘米）時，其信息含量微乎其微。因為[160，200]幾乎與成人身高的論域重合。倘若公安機關搜捕一名罪犯，有人提供信息說罪犯身高為160~200厘米，這種信息幾乎沒有任何價值。而當表示血壓（收縮壓）時，它就能為醫生提供有用信息。灰數的信息含量可以用一個“東西”來測量，具體從略。99二、灰色序列生成灰色系統理論的主要任務之一，就是根據社會、經濟、生態等系統的行為特征數據，尋找因素之間或因素自身的數學關系與變化規律?；疑到y理論認為任何隨機過程都是在一定幅值范圍和一定時區變化的灰色量，并把隨機過程看成灰色過程。100事實上，研究系統的行為特征，得到的數據往往是一串確定的白數，我們把它看成某個隨機過程的一條軌道或現實，或是看成灰色過程的白化值，這并沒有本質上的區別。如何通過系統行為特征數據研究其發展規律，不同的方法思路也不一樣。101隨機過程是以先驗概率為出發點，研究數據的統計規律。這種方法是建立在大量數據的基礎上的，但有時候，即使有了大量數據也未必一定能找到統計規律。因為概率論或隨機過程中研究的典型分布是十分有限的，對于非典型的分布過程（如平穩過程、高斯過程、馬爾可夫過程或白噪聲過程等以外的分布過程），往往難以處理。102灰色系統是通過對原始數據的整理來尋求其變化規律的，這是一種就數據尋找數據的現實規律的途徑，我們稱為灰色序列生成?；疑到y理論認為，盡管客觀系統表象復雜，數據離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內在規律。關鍵在于如何選擇適當的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現其規律性。103例如，已給原始數列它沒有明顯的規律。將上述數據作圖如下：由圖9-1可以看出，的曲線是擺動的，起伏變化幅度較大。對原始數據做一次累加生成，將所得新序列記為，則已呈現明顯的增長規律性，如圖9-2所示。104（一）累加生成算子與累減生成算子累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，它在灰色系統理論中占有極其重要的地位。通過累加可以看出灰量積累過程的發展態勢，使離亂的原始數據中蘊含的積分特性或規律充分顯露出來。105如果一個家庭的支出，若按日計算，可能沒有什么明顯的規律，若按月計算，支出的規律性就可能體現出來，它大體與月工資收入成某種關系；一種農作物的單粒重，一般說沒有什么規律，人們常用千粒作為農作物品種的評估指標；一個生產重型機械設備的廠家，由于產品生產周期長，其產量、產值若按天計算，就沒有規律，若按年計算，則規律顯著。累減生成是在獲取增量信息時常用的生成，累減生成對累加生成起還原作用。累減生成與累加生成是一對互逆的序列算子。106定義3.5.1設為原始序列，D為序列算子，其中；則稱D為的一次累加生成算子。習慣上，我們記

其中；同樣可定義一次累減生