②按數的正負性分注：無論怎么分類，一共有5類，不可重復，也不可遺漏小數（分數）分類補充2）=1\*GB3①有限小數和無限循環小數可以轉化為分數，故我們將這類小數劃分為分數類。如0.3=，。=2\*GB3②無限不循環小數不可以轉化為分數，故不是分數，也不是有理數。如π。常用數學概念的含義1）正整數：既是正數，又是整數2）負整數：既是負數，又是整數3）正分數：既是整數，又是分數4）負分數：既是負數，又是分數5）非正數：負數和06）非負數：正數和07）非正整數：負整數和08）非負整數：正整數和01．（2021·河南南陽市·七年級期中）從踏入學校的那一刻起，我們就認識和使用數學，為了表示物體的個數或者順序，產生了整數1、2、3，．．．；為了表示“沒有”引入了數0古希臘著名數學家畢達哥拉斯相信“哪里有數，那里就有美”．數僅僅因為它的寓意，就可以給人以豐富的美感．正是由于這種美感，才使人們在各種場合有選擇性的使用數．一個數字既表示萬物之始，又表示一個整體，這個數字是（）A．10 B．100 C．1 D．9【答案】C【分析】依據題意，為了表示“沒有”引入了數0，與一個數字既表示萬物之始，又表示一個整體，這兩句話，可得答案【詳解】解：依據題意：0表示“沒有”而這個數字又既表示萬物之始，又表示一個整體，即這個數是題意中數的開始，又可以表示一個整體可得該數為1故答案為：C【點睛】本題實際考查自然數的定義，準確理解題意是解題的關鍵2．（2021·四川省遂寧市第二中學校七年級月考）下列說法正確的是（）A．整數分為正整數和負整數 B．正分數、負分數統稱有理數C．零既可以是正整數，也可以是負分數 D．所有的分數都是有理數【答案】D【分析】按有理數的分類解答即可．【詳解】解：、正整數、0、負整數統稱為整數，故本選項錯誤；、正分數、負分數統稱為分數，故本選項錯誤；、零既不是正數也不是負數，故本選項錯誤；、所有的分數都是有理數，故本選項正確；故選：D．【點睛】此題考查了有理數，掌握有理數的分類是本題的關鍵，是一道基礎題．3．（2021·江蘇鎮江市·七年級期末）下列各數：﹣1，，1.01001…（每兩個1之間依次多一個0），0，，3.14，其中有理數有_____個．【答案】4．【分析】根據有理數的定義逐一判斷即可．【詳解】解：在所列實數中，有理數有﹣1、0、、3.14，故答案為：4．【點睛】本題考查了有理數，掌握有理數的概念是解題的關鍵．4．（2021·重慶市璧山區正則中學七年級月考）把下列各數填在相應的集合里：1，，，0.5，，，，0，2014，20%，正數集合：負數集合：整數集合：正分數集合：有理數集合：【答案】，，，，，；，，，；，，，，；，，；，，，，，，，，，【分析】根據有理數的分類進行解答的即可得解．【詳解】解：正數集合：負數集合：整數集合：正分數集合：有理數集合：【點睛】本題考查了有理數的分類，熟練掌握各類數的概念、界定范圍是解題的關鍵．5．（2021·綿陽市七年級期中）把下列各數填在相應的集合內：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…【答案】見解析．【分析】根據有理數的分類，可得答案．【詳解】如圖．【點睛】本題考查了有理數，熟記有理數的分類是解題關鍵．知識點1.3數軸的相關概念1）數軸：用一條直線上的點表示數，這條直線叫作數軸2）三要素：=1\*GB3①原點—參考點，正負數分界點；=2\*GB3②方向—一般選取向右為正方向；=3\*GB3③單位長度—同一條數軸上的單位長度應當一致3)數軸的讀數與畫法數軸的讀數：在原點的左邊，則為正數，在數軸的右邊，則為負數。畫數軸步驟：a.直線b.確定原點c.選正方向（通常從原點向右或向上定位正方向）d.選取單位長度（選取適當長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似方法依次表示－1，－2，－3，…）e.標數（用實心點標數）.1.（2021·綿陽市初一期中）數軸的原型來源于生活實際，數軸體現了（）的數學思想，是我們學習和研究有理數的重要工具．A．整體 B．方程 C．轉化 D．數形結合【答案】D【分析】因為數軸是解決數的運算的一種重要工具，所以它充分體現了數形結合的思想．【解析】數軸是數學的重要內容之一，它體現的數學思想是數形結合的思想．故選：D【點睛】本題考查幾種數學思想，解題的關鍵是理解數形結合的定義：根據數與形之間的一一對應關系，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，從而起到優化解題途徑的目的．2.（2021·菏澤市牡丹區第二十一初級中學初一月考）下列說法：①規定了原點、正方向的直線是數軸②數軸上兩個不同的點可以表示同一個有理數③有理數數軸上無法表示出來④任何一個有理數都可以在數軸上找到與它對應的唯一點其中正確的是（）A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④【答案】D【分析】根據數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸．所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數可得答案．【解析】①規定了原點、正方向和單位長度的直線是數軸，故原說法錯誤；②數軸上兩個不同的點可以表示兩個不同的有理數，故原說法錯誤；③有理數在數軸上可以表示出來，故原說法錯誤；④任何一個有理數都可以在數軸上找到與它對應的唯一點，說法正確；故選：D．【點睛】此題主要考查了數軸，關鍵是掌握數軸的概念．3．（2021·四川涼山州·中考真題）下列數軸表示正確的是（）A．B．

C．D．

【答案】D【分析】數軸的三要素：原點、正方向、單位長度，據此判斷．【詳解】解：A、不符合數軸右邊的數總比左邊的數大的特點，故表示錯誤；B、不符合數軸右邊的數總比左邊的數大的特點，故表示錯誤；C、沒有原點，故表示錯誤；D、符合數軸的定定義，故表示正確；故選D．【點睛】本題考查了數軸的概念：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，注意數軸的三要素缺一不可．4．（2021·吉林吉林市·七年級期末）如圖，在數軸上點P表示的數可能是（）A．-2.3 B．-1.7 C．-0.3 D．0.3【答案】B【分析】根據圖示的內容求出P表示的數的值，即可解答．【詳解】由題意可知P在－1到－2之間，只有－1.7符合題意，所以P＝?1.7，故選B．【點睛】此題考查了數軸，解題關鍵在于結合數軸進行解答．5.（2020·鄒平雙語學校初一月考）數軸上表示整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1厘米，若在這個數軸上隨意畫一條15厘米的線段AB，則AB蓋住的整數點的個數共有（）個A．13或14個 B．14或15個 C．15或16個 D．16或17個【答案】C【解析】若在數軸上隨意畫線段AB，其左側端點A的位置存在兩種可能性：一種可能是點A與數軸上某一個整點重合(如圖中數軸①所示；為清楚起見，圖中用長方形代表線段AB)，另一種可能是點A落在數軸上某兩個整點之間的區域內(如圖中數軸②所示).因為線段AB的長是一個定值，所以當線段左側端點A的位置確定時線段右側端點B的位置也隨之確定.(1)分析圖中的數軸①可知，由于數軸的單位長度為1厘米，線段AB的長為15厘米，且左側端點A與一個整點重合，所以線段AB的兩個端點各自蓋住1個整點，線段的其他部分蓋住了14個整點，故線段AB一共蓋住了16個整點.(2)分析圖中的數軸②可知，由于數軸的單位長度為1厘米，線段AB的長為15厘米，且左側端點A落在兩個整點之間的區域內，所以線段AB的兩個端點均無法蓋住任何整點，線段的其他部分蓋住了15個整點，故線段AB一共蓋住了15個整點.綜上所述，線段AB蓋住的整點的個數共有15或16個.故本題應選C.點睛：本題不僅考查了數軸的相關知識，還考查了利用簡單的數形結合思想解決問題的能力.解決本題的關鍵在于結合圖形針對可能出現的情況進行分類討論.在分析的過程中，線段左側端點在數軸上可能的位置是分情況討論問題的一個重要出發點，左側端點是否與某一整點重合直接影響線段所能覆蓋的整點數量.6．（2021·浙江溫州市·）在數軸上位置的描述，正確的是（）A．在點的左邊 B．在點和原點之間C．由點1向左平移4個單位得到 D．和原點的距離是【答案】C【分析】比較-3和選項中的數的大小，依據右邊的數總是大于左邊的數即可判斷．【詳解】解：A、-3＞-4，則-3在-4的右邊，選項錯誤；B、-3∠-2，則-3在-2的左邊，選項錯誤；

C、點1向左平移4個單位得到-3，選項正確；D、-3和原點的距離是3，選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了利用數軸表示有理數的大小，理解數軸上的數總是大于左邊的數是解題的關鍵．知識點1.4數軸的相關運用（1）數軸上的點與有理數之間的關系（數形結合）1）數軸上的點并不是都是有理數；2）正方向可以不按照常規方向選取。3）a>0，與原點的距離是a，在數軸上可以是a（存在多解的情況）注：要確定在數軸上的具體位置，必須要距離+方向（2）數軸與數的大小1）正方向上，離原點越遠，數越大；2）負方向上，離原點越近，數越大（負數數字越大，結果反而越小）.注：數軸從負方向向正方向，數值逐漸增大。1．（2020·山東濟南市·七年級期中）如圖，把半徑為1的圓放到數軸上，圓上一點A與表示1的點重合，圓沿著數軸正方向滾動一周，此時點A表示的數是（）A．π B．2π+1 C．2π D．2π﹣1【答案】B【分析】首先計算出圓的周長，然后可得答案．【詳解】解：∵圓的半徑為1，∴圓的周長為：2π，∵點A與表示1的點重合，∴圓沿著數軸正方向滾動一周，此時點A表示的數是2π+1，故選：B．【點睛】本題主要考查數軸與有理數，掌握圓的周長公式是關鍵．2．（2021·吉林長春市·九年級一模）如圖．數軸上點A對應的數是2，將點A沿數軸向左移動3個單位至點B，則點B對應的數是（）A．-1 B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】根據數軸上點對應的數的表示方法解答即可．【詳解】解：∵數軸上點A對應的數是2，將點A沿數軸向左移動3個單位，∴2﹣3=﹣1，∴點B對應的數是﹣1，故選：A．【點睛】本題考查用數軸上點表示有理數，熟練掌握數軸上點對應的數的表示方法是解答的關鍵．3．（2020·浙江七年級期末）如圖，將一刻度尺放在數軸上（數軸的單位長度是），刻度尺上表示“”“”的刻度分別對應數軸上的是和x所表示的點，那么x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據數軸得出算式，求出即可．【詳解】解：根據數軸可知：-3+8=5，故選A．【點睛】本題考查了數軸的應用，關鍵是能根據題意得出算式．4．（2021·河北滄州市·七年級期末）a，b是有理數，它們在數軸上的位置如圖所示．把a，b，﹣a，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據、在數軸上的位置可得、在數軸上的位置，進而可得答案．【詳解】解：根據題意可得：、、、在數軸上的位置如圖所示：

所以把、、、按照從小到大的順序排列為：．故選擇：C．【點睛】本題考查了數軸和有理數的大小比較，屬于常考題型，正確理解題意、掌握解答的方法是解題的關鍵．5．（2020·沙坪壩區·重慶一中七年級月考）將有理數﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在數軸上，并用“＜”連接各數．【答案】見解析，【分析】先把各數在數軸上表示出來，再從左到右用“＜”連接起來即可．【詳解】解：如圖所示：故．【點睛】本題主要考查數軸及有理數的大小比較，熟練掌握數軸及有理數的大小比較是解題的關鍵．6．（2021·廣東廣州市·七年級期末）如圖，已知數軸上A、B兩點所表示的數分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點P為數軸上點A左側的一個動點，且M為PA的中點，N為PB的中點．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．【答案】（1）8；（2）見解析；MN的長度不會發生改變，線段MN＝4．【分析】（1）數軸上兩點之間的距離等于較大數與較小數的差；（2）根據中點的意義，利用線段的和差可得出答案．【詳解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的長為8；（2）MN的長度不會發生改變，線段MN＝4，理由如下：如圖，因為M為PA的中點，N為PB的中點，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【點睛】本題考查了數軸上兩點之間的距離，數軸上線段中點的意義，熟練掌握兩點間距離計算方法，靈活運用中點的意義是解題的關鍵．知識點1.5相反數的概念與意義相反數：像2和—2、5和—5、3和—3這樣，只有符號不同的兩個數互為相反數（注：0的相反數是0）注：相反數是成對出現的代數意義：只有符號不同的兩個數，一個是另一個的相反數，0的相反數是0幾何意義：在數軸上原點的兩旁，離原點距離相等的兩個點所表示的數互為相反數。1．（2020·山東省初一期末）已知是有理數，有下列判斷：①是正數；②是負數；③與必有一個是負數；④與互為相反數，其中正確的序號是______.【答案】④【分析】a可能是正數、也可能是0，還可能是負數，同樣-a可能是正數、也可能是0，還可能是負數，當a=0時，a和-a都是0，不論a是正數、0負數，a與-a都互為相反數，根據以上內容判斷即可．【解析】解：∵a可能是正數、也可能是0，還可能是負數，同樣-a可能是正數、也可能是0，還可能是負數，①錯誤；②錯誤；∵當a=0時，a和-a都是0，都不是負數，∴③錯誤；

∵不論a是正數、0負數，a與-a都互為相反數，∴④正確.故答案為：④.【點睛】本題考查了對正數、0、負數，有理數，相反數等知識點的應用，主要考查學生的理解能力和辨析能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．2．（2021·河南安陽市·七年級期中）的相反數（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據相反數的定義、去括號法則即可得．【詳解】的相反數為，故選：C．【點睛】本題考查了相反數、去括號，熟記相反數的定義是解題關鍵．3．（2020·廣東惠州市·七年級月考）若與互為相反數，則__________．【答案】2019【分析】與互為相反數，則相加為0，代入代數式計算.【詳解】∵與互為相反數，∴，∴.【點睛】相反數的性質是本題的突破口，牢記互為相反數和為0.4．（2021·廣西貴港市·七年級期末）若a，b，c，m都是不為零的有理數，且，，則b與c的關系是（）A．互為相反數 B．互為倒數 C．相等 D．無法確定【答案】A【分析】由題可得，則可得到與的關系，即可得到答案．【詳解】為不為零的有理數，互為相反數故選：A．【點睛】本題考查了代數式的換算，相反數的性質，熟練掌握是解題關鍵．5．（2021·山東淄博市·）如圖，數軸上的單位長度為1，有三個點A、B、C，若點A、C表示的數互為相反數，則圖中點B對應的數是（）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】根據點A、C表示的數互為相反數得到數軸原點的位置，讀出點Ｂ表示的數即可求解.【詳解】解：根據點A、C表示的數互為相反數，可得圖中點D為數軸原點，，∴點B對應的數是1，故選：C．【點睛】本題考查數軸上表示的數，根據相反數在數軸上的位置確定原點的位置是解題的關鍵．6．（2021·宜興外國語學校七年級月考）用“?”與“?”表示一種法則：（a?b）＝﹣b，（a?b）＝﹣a，如（2?3）＝﹣3，則（2017?2018）?（2016?2015）＝__________【答案】2018．【分析】根據題意，（a?b）=-b，（a?b）=-a，可知（2017?2018）=-2018，（2016?2015）=-2015，再計算（-2018?-2015）即可．【詳解】解：∵（a?b）=-b，（a?b）=-a，∴（2017?2018）?（2016?2015）=（-2018?-2015）=2018．故答案為：2018．【點睛】本題這是一種新定義問題，間接考查了相反數的概念，一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．解題的關鍵是根據題意掌握規律．知識點1.6多重符號的化簡1）“﹣”表示否“+”表示是2）看“﹣”的個數，奇數個為負，偶數個為正。“+”個數不影響結果。3）a.負負得正；b.負正得負；c.正正得正1．（2021·新鄉縣龍泉學校七年級月考）化簡下列各數：①－（－82）=________②－｜－5｜=_______③=________④=___________．【答案】82-5100【分析】分別根據相反數的定義進行化簡即可．【詳解】解：①-（-82）=82，②-｜-5｜=-5，③=100，④=．故答案為：82，-5，100，．【點睛】本題考查了利用相反數的定義化簡，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．2．（2021·天津市北倉第二中學初一月考）下列各式中，化簡正確的是（）A．﹣（+7）=﹣7B．﹣（﹣7）=﹣7C．+（﹣7）=7D．﹣[+（﹣7）]=﹣7【答案】A【分析】根據相反數的定義逐個分析即可：-a表示數a的相反數.【解析】﹣（+7）=﹣7,故選項A正確；﹣（﹣7）=7，故選項B錯誤；+（﹣7）=-7，故選項C錯誤；﹣[+（﹣7）]=7，故選項D錯誤.故選A【點睛】本題考核知識點：相反數；解題關鍵點：理解相反數的意義.3．（2021·山東省青島第七中學七年級月考）若，則_____，____，_____．【答案】－8.78.7－8.7【分析】根據相反數的定義進行計算即可．【詳解】解：，，，．故答案為：，，．【點睛】本題主要考查了相反數的定義，掌握相反數的定義是解題的關鍵．4．（2020·四川省南充高級中學七年級月考）下列各對數中，不是相反數的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】先分別算出各選項兩數的值，然后根據相反數的定義解答即可．【詳解】解：A選項：，與5.2互為相反數，故A不符合題意；B選項：，與5互為相反數，故B不符合題意；C選項：，，8與互為相反數，故C不符合題意；D選項：，，∴，故它們不是相反數．故D符合題意．故答案為D．【點睛】本題考查了絕對值的定義，掌握有理數的化簡是解答本題的關鍵．5．（2020·河南嵩縣初一期末）化簡下列各數：（1）+（﹣2）；（2）﹣（+5）；（3）﹣（﹣3.4）；（4）﹣[+（﹣8）]；（5）﹣[﹣（﹣9）] 化簡過程中，你有何發現？化簡結果的符號與原式中的“﹣”號的個數有什么關系？【答案】（1）-2；（2）-5；（3）3.4；（4）8；（5）-9，規律：運算結果與“﹣”的個數有密切關系，當“﹣”的個數是奇數，最后結果為負數，當“﹣”的個數是偶數，最后結果為正數．【分析】先根據去括號法則化簡（1）~（5），進而總結符號與原式中的“-"號的個數關系即可解答．【解析】解：（1）+（﹣2）=﹣2；（2）﹣（+5）=﹣5；（3）﹣（﹣3.4）=3.4；（4）﹣[+（﹣8）]=8；（5）﹣[﹣（﹣9）]=﹣9．歸納發現：運算結果與“﹣”的個數有密切關系，當“﹣”的個數是奇數，最后結果為負數，當“﹣”的個數是偶數，最后結果為正數．【點睛】本題主要考查了相反數的定義和去括號法則，根據計算結果歸納變化規律是解答本題關鍵．知識點1.7絕對值的意義與性質絕對值：數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作絕對值的性質：絕對值表示的是點到原點的距離，故有非負性≥0，即：互為相反數的兩個數絕對值相等絕對值與數的大小正數大于0，0大于負數。理解：絕對值是指距離原點的距離所以：兩個負數，絕對值大的反而小；兩個正數，絕對值大的大。1．（2021·合肥市九年級模擬）有理數的絕對值為（）A．2021 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用絕對值的定義進而得出答案．【詳解】解：的絕對值是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了絕對值，正確把握絕對值的定義是解題關鍵．2．（2020·重慶第二外國語學校初三模擬）下列命題正確的是（）A．絕對值等于本身的數是正數B．絕對值等于相反數的數是負數C．互為相反數的兩個數的絕對值相等D．絕對值相等的兩個數互為相反數【答案】C【分析】根據絕對值和相反數的概念分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【解析】A、絕對值等于本身的數是非負數，原命題是假命題；B、絕對值等于相反數的數是非正數，原命題是假命題；C、互為相反數的兩個數的絕對值相等，是真命題；D、絕對值相等的兩個數相等或互為相反數，原命題是假命題；故選：C．【點睛】此題借助絕對值和相反數的概念考查了命題與定理，命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．3．（2021·山東濰坊市·九年級一模）如圖，數軸上的，，三點所表示的數分別為，，，且原點為，根據圖中各點位置，下列數值最大的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據數軸，確定a,b,c的屬性，進行絕對值的化簡，利用實數大小比較原則判斷即可．【詳解】根據題意，得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|＞c＞b，∵b＜0∴|b|=-b，|a|=a,∴-b＞|c|＞a＞c＞b，∴-b最大，故選D．【點睛】本題考查了數軸，絕對值，絕對值的化簡，有理數的大小比較，熟練掌握絕對值及其化簡，靈活運用有理數大小比較的基本原則是解題的關鍵．4．（2020·內蒙古自治區初一期末）已知，則的值為()A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4【答案】C【分析】本題根據絕對值的定義,由已知,可得a-1=±5,解這個關于a的方程即可求得a的值.【解析】因為，當a-1大于0時，則a-1=5，則a=6，當a-1小于0時，則a-1=-5，則a=-4,故選C.【點睛】此題考查了絕對值的性質，特別注意：互為相反數的兩個數的絕對值相等．5．（2021·重慶初一月考）下列判斷正確的是（）A．若|a|=|b|，則a=bB．若|a|=|b|，則a=-bC．若a=b，則|a|=|b|D．若a=-b，則|a|=-|b|【答案】C【解析】試題分析：根據絕對值的性質即可進行判斷.解：若|a|=|b|，則a=±b，選項A、B錯誤；若a=b，則|a|=|b|，選項C正確；D.若a=-b，則|a|=|b|，選項D錯誤.故選C.6．（2021·黑龍江大慶市·中考真題）下列說法正確的是（）A． B．若取最小值，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據絕對值的定義和絕對值的非負性逐一分析判定即可．【詳解】解：A．當時，，故該項錯誤；B．∵，∴當時取最小值，故該項錯誤；C．∵，∴，，∴，故該項錯誤；D．∵且，∴，∴，故該項正確；故選：D．【點睛】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義和絕對值的非負性是解題的關鍵．7．（2020·呼和浩特市啟秀中學初三二模），則一定是（）A．負數 B．正數 C．零或負數 D．非負數【答案】C【分析】根據絕對值的定義，絕對值等于它的相反數的數是零或負數．【解析】解：∵，∴a一定是零或負數，a一定是零或負數．故選：C．【點睛】本題主要考查了絕對值的定義，屬于基礎題型．注意不要忽略零．8．（2021·廣東茂名市·七年級期末）若，則的值為______．【答案】4【分析】先利用絕對值的非負性求出x、y的值，代入求解即可．【詳解】∵，∴，，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的非負性．9．（2020·湖北黃石市·七年級月考）對于有理數，，定義一種新運算“”，規定.（1）若，計算的值.（2）當，在數軸上的位置如圖所示，化簡.（3）已知，，求的值.【答案】（1）6；（2）－2b；（3）2【分析】（1）先求出a、b的值，再根據題目中的規定，可以求得所求式子的值；

（2）根據數軸可以判斷a、b的正負和它們絕對值的大小，從而可以解答本題；

（3）先表示出，再表示，根據題意和題目中的式子可以求得a的值．【詳解】解：（1）∵，∴a=2,b=-3∵a⊙b=|a+b|+|a-b|，∴=2⊙（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；

（2）由數軸可得，b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b<0，a-b>0

∴a⊙b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-a-b+a-b=-2b；

（3）∵a＞0，（a⊙a）⊙a=8，

∴（|a+a|+|a-a|）⊙a=8，∴2a⊙a=8，∴|2a+a|+|2a-a|=8，∴3a+a=8，解得，a=2．【點睛】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是理解新運算“”的法則，明確有理數混合運算的計算方法．重難點題型題型1表示相反意義的量【解題技巧】解決此類問題關鍵是明確正負數在題目中的實際意義從而進一步求解.1．（2021·云南曲靖市·九年級一模）如果把順時針旋轉記作，那么逆時針旋轉應記作__________．【答案】-54°【分析】根據相反意義的量即可求解．【詳解】解：逆時針旋轉54°可記作，故答案為：．【點睛】本題考查相反意義的量，掌握正負數的意義是解題的關鍵．2．（2021·湖南株洲市·七年級期末）某工廠加工一種精密零件，圖紙上對其直徑的要求標注為“”，則下列零件不合格的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正負數的意義，求得合格零件的直徑的范圍，再進一步分析．【詳解】解：，、，所以該零件合格，故本選項不合題意；、，所以該零件合格，故本選項不合題意；、，所以該零件不合格，故本選項符合題意；、，所以該零件合格，故本選項不合題意；故選：．【點睛】此題考查了正、負數在實際生活中的意義，表示和標準相比，超過或不足．4．（2021·河北滄州市·七年級期末）如圖所示的是圖紙上一個零件的標注，現有下列直徑尺寸的產品（單位：mm），其中不合格的是（）A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm【答案】A【分析】依據正負數的意義求得零件直徑的合格范圍，然后找出不符要求的選項即可．【詳解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98，∴零件的直徑的合格范圍是：29.98mm≤零件的直徑≤30.03mm．∵29.8mm不在該范圍之內，∴不合格的是A．故選：A．【點睛】本題主要考查的是正數和負數的意義，根據正負數的意義求得零件直徑的合格范圍是解題的關鍵．5．（2021·南靖縣城關中學七年級月考）向東運動記作“+”，向西運動記作“—”，下列說法正確的是（）A．－2表示向東運動了2米B．＋2表示向西運動了2米C．向西運動3米表示向東運動了－3米D．向西運動5米也可以記作向西運動－5米【答案】C【分析】根據正負數的意義逐一進行判斷即可．【詳解】A.－2表示向西運動了2米，故錯誤；B.＋2表示向東運動了2米，故錯誤；C.向西運動3米表示向東運動了－3米，故正確；D.向西運動5米也可以記作向東運動－5米，故錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查正負數的意義，掌握正負數的意義是解題的關鍵．6．（2021·云南昆明市·九年級二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影響，云南省外貿進出口總值466.5億元，較上年同期下降6.3%．2021年一季度，云南省外貿進出口總值達742.1億元，同比增長59.7%．若下降6.3%，記作，則增長59.7%應記作（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正數和負數的意義解答即可．【詳解】解：增長59.7%應記作，故選：A．【點睛】本題考查正數和負數的意義，理解正數和負數可以表示相反意義的量是解答的關鍵．7．（2020·北京初三一模）舉出一個數字“”表示正負之間分界點的實際例子，如__________．【答案】0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）【分析】根據數學中0表示數的意義解答即可．【解析】在實際中，數字“0”表示正負之間分界點，如：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）．故答案為：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）．【點睛】此題考查了正數和負數的意義，熟練掌握既不是正數，也不是負數的0的意義是解本題的關鍵．0既不是正數也不是負數．0是正負數的分界點，正數是大于0的數，負數是小于0的數．8．（2021·貴陽市清鎮養正學校七年級月考）一次體育課，老師對七年級女生進行了仰臥起坐的測試，以做36個為標準，超過的次數用正數表示，不足的次數用負數表示，第一小組8人的成績如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0.（1）這8名同學實際各做了多少次仰臥起坐？（2）這個小組的達標率是多少？【答案】（1）這8名同學實際做仰臥起坐的次數分別為：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5%【分析】（1）用36加上每人記錄的成績即得每人實際成績；

（2）用記錄成績中的非負數個數除以小組總人數再化成百分數即可得到解答．【詳解】解：（1）這8名同學實際做仰臥起坐的次數分別為：38，33，40，36，37，35，31，36．（2）因為有5人達標，所以達標率為：5÷8=0.625=62.5%．【點睛】本題考查正負數在生活中的應用，熟練掌握正負數的意義是解題關鍵．題型2有理數的相關概念【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數相關概念，如①整數和分數統稱為有理數；②正有理數、0和負有理數亦可稱為有理數；③只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；④在數軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數；⑤數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值；⑥一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.1．（2021射洪縣射洪中學外國語實驗學校七年級月考）下列說法正確的是（）A．正數和負數統稱為有理數 B．正整數包括自然數和零C．零是最小的整數 D．非負數包括零和正數【答案】D【分析】按照有理數的分類進行選擇．【詳解】解：A、正數、負數和零統稱為有理數；故本選項錯誤；B、零既不是正整數，也不是負整數；故本選項錯誤；C、零是最小是自然數，負整數比零小；故本選項錯誤；D、非負數包括零和正數；故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了有理數的分類、正數和負數；注意0是整數，但不是最小的整數．2.（2021·成都市初一期中）下列說法中，正確的A.正有理數和負有理數統稱為有理數B．正整數和負整數統稱為整數C．整數和分數統稱為有理數D．非正數就是指0、負整數和所有分數【答案】B【解析】A錯誤，有理數還包含0；B正確，有理數包含正數和分數；C錯誤，漏掉了0；D錯誤，非正數指0和負數。【點睛】本題考查了有理數的分類．注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數．3．（2021·河南省初一期中）下列說法中：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③非負數就是正數；④不僅是有理數，而且是分數；⑤是無限不循環小數，所以不是有理數；⑥無限小數不都是有理數；⑦正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數．其中錯誤的說法的個數為（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【答案】C【分析】根據有理數的定義和分類，分別進行判斷，即可得到答案．【解析】解：①沒有最小的整數，故錯誤；②有理數包括正數、0和負數，故錯誤；③非負數就是正數和0，故錯誤；④是無理數，故錯誤；⑤是無限循環小數，是有理數，故錯誤；⑥無限小數不都是有理數是正確的，正確；⑦正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數是正確的．故其中錯誤的說法的個數為5個．故選：C．【點睛】本題考查了有理數的分類，認真掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、非負數的定義與特點是解題的關鍵．注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數．4．（2021·浙江初一課時練習）下列說法正確的有()①正有理數是正整數和正分數的統稱；②整數是正整數和負整數的統稱；③有理數是正整數、負整數、正分數、負分數的統稱；④0是偶數，但不是自然數；⑤偶數包括正偶數、負偶數和零.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】此題運用有理數的概念及分類（按正負分：正有理數，0和負有理數或正數、負數、0；按數的性質分：整數、分數）即可解答．【解析】①正有理數是正整數和正分數的統稱，正確；②整數是正整數，零和負整數的統稱，故不正確；③有理數是正整數、負整數、零、正分數、負分數的統稱，故不正確；④0是偶數，也是自然數，故不正確；⑤偶數包括正偶數、負偶數和零，正確.故選B.【點睛】本題考查有理數的概念及分類，運用時注意分類的依據，還要做到不重不漏。5.（2021?嵊州市期中）下列說法正確的個數為（）（1）0是絕對值最小的有理數；（2）﹣1乘以任何數仍得這個數；（3）0除以任何數都等于0；（4）數軸上原點兩側的數互為相反數；（5）一個數的平方是正數，則這個數的立方也是正數；（6）一對相反數的平方也互為相反數A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】利用乘方的意義，乘法法則，倒數的性質計算，判斷即可．【答案】解：（1）0是絕對值最小的有理數，這個說法正確；（2）﹣1乘以任何數仍得這個數，這個說法錯誤，例如﹣1乘以3得到﹣3；（3）0除以任何數都等于0，這個說法錯誤，例如0除以0沒有意義；（4）數軸上原點兩側的數互為相反數，這個說法錯誤，例如﹣1和6是數軸上原點兩側的數，但不是互為相反數；（5）一個數的平方是正數，則這個數的立方也是正數，這個說法錯誤，例如﹣1的平方是正數，但是﹣1的立方也是﹣1，是負數；（6）一對相反數的平方也互為相反數，這個說法錯誤，例如﹣2和2互為相反數，它們的平方就不互為相反數．則說法正確的個數為1個．故選：B．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．6.（2021?日照期中）下列說法正確的是（）①任何一個有理數的平方都是正數②任何一個有理數的絕對值都是非負數③如果一個有理數的倒數等于它本身，那么這個數是1④如果一個有理數的相反數等于它本身，那么這個數是0．A．①④ B．②③ C．③④ D．②④【分析】根據有理數的定義和特點，絕對值、相反數的定義及性質，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．【答案】解：①任何一個有理數的平方都不是負數，錯誤；②任何一個有理數的絕對值都是非負數，正確；③如果一個有理數的倒數等于它本身，那么這個數是1或﹣1，錯誤④如果一個有理數的相反數等于它本身，那么這個數是0，正確；故選：D．【點睛】此題考查有理數問題，牢固掌握正數、負數、自然數、整數、倒數、正有理數、負有理數、非負數的定義與特點．注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數．7．（2021·山西省初一月考）數學活動課上，王老師把分別寫有，5，-2，0，的五張卡片分別發給五位同學，王老師要求同學們按照卡片上數字的特征挑選2人或者3人表演節目．（1）王老師先給同學們做了范例，他說手拿卡片上數字為整數的同學表演節目，請你選出表演節目的同學；（2）如果讓你來挑選，你會按什么數字特征來選擇表演節目的同學？【答案】（1）表演節目的同學是手上卡片分別寫有-2，0，5的三位同學；（2）詳見解析（答案不唯一）【分析】（1）根據整數的定義即可確定是哪些同學表演節目；（2）根據2人或者3人表演節目的要求確定數字的分類標準即可.答案不唯一.【解析】解：（1）整數有5，-2，0，所以表演節目的同學是手上卡片分別寫有5，-2，0的三位同學，即三位同學．（2）（答案不唯一）例如：請卡片上數字為分數的同學表演節目，這樣就是A、E兩位同學表演節目；或者卡片上數字為負數的同學表演節目，這樣就是A、C兩位同學表演節目.【點睛】本題考查了有理數的分類，掌握有理數的分類標準是解題關鍵.有理數分為整數和分數，也可以分為正有理數、負有理數、0；正有理數可分為正整數和正分數，負有理數可分為負整數和負分數.題型3數集問題性質：有理數的分類。注：數集關系中有包含關系時，數的分類不可重復解題技巧：此類題型是有理數分類題型的拓展，一般用框圖表示數據分類的集合關系，多會出現有重合甚至包含邏輯的框圖。此時，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框圖部分的數據。1．（2021·浙江杭州市·七年級期末）在下列各數中，負分數有（），，2，，13，0，，，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據負分數的意義，可得答案．【詳解】解：負分數有：，，，共3個，故選：C．【點睛】本題考查了有理數，熟記有理數的分類是解題關鍵．2．（2021·福州華南實驗中學七年級月考）下列各數：中是正數有（）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據正數的定義分別進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：中，正數有＋5，2.3，，共有3個．故選：C．【點睛】本題考查了正數和負數，掌握正數的定義是解答此題的關鍵．3．（2021·寧夏銀川市·七年級期末）在0，3，－2，－3.6這四個數中，是負整數的為___．【答案】－2【分析】根據有理數的分類判斷即可．【詳解】0既不是正數，也不是負數；3是正整數；－2是負整數；－3.6是負分數；故填：－2．【點睛】本題考查有理數的分類，屬于基礎題型．4．（2021·廣西南寧市·南寧三中七年級期中）將下列各數填入適當的括號內：，，，2020，0，，，66．（1）整數集合{______…}；（2）負分數集合{______…}；（3）非負整數集合{______…}．【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．【分析】根據整數、負分數、非負整數的意義，逐個進行判斷即可．【詳解】解：（1）整數有：，2020，0，66，故答案為：，2020，0，66；（2）負分數有：，故答案為：；（3）非負整數有：2020，0，66，故答案為：2020，0，66．【點睛】本題考查整數集合，負分數集合，非負整數集合，掌握有理數的分類是解題關鍵．5．（2021·南靖縣城關中學七年級月考）下列各數填入它所在的數集中：，，3.1416，0，2001，，，95%，π．正數集：{…}；整數集：{…}；自然數集：{…}；分數集：{…}．【答案】見解析【分析】根據有理數的分類即可求出答案．【詳解】解：正數集：{

，3.1416，2001，95%，π}整數集：{-18，0，2001

}分數集：{

，3.1416，，-0.142，95%

}

非負整數集：{0，2001}【點睛】本題考查有理數的分類，解題的關鍵是熟練運用有理數的分類，本題屬于基礎題型，注意：π不是有理數．6．（2021·新鄉縣龍泉學校七年級月考）將下列各數填入相應的圈內：2，5，0，1.5，+2，-3．說出這兩個圈的重疊部分表示的集合：【答案】見解析；正整數集合【分析】根據正數和整數的概念填入即可，其中既是正數又是整數的數是正整數．【詳解】如圖所示：

由圖形可得，兩個圈的重疊部分表示的是：正整數集合．故答案為：正整數集合．【點睛】本題考查了有理數的分類．熟記正數和整數的概念是解題的關鍵．7．（2021·湖北省初一月考）請你把下列各數填入表示它所在的數集的圈里：﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10，，21，6.2，4.7，﹣8這四個集合合并在一起填_____(“是”或“不是”）全體有理數集合，若不是，缺少的是_____．【答案】不是0【分析】根據正整數，負整數，正分數，非負數以及有理數的概念解答．【解析】如圖：這四個集合合并在一起不是全體有理數集合，缺少的是0．故答案為：不是；0．【點睛】本題考查了有理數，熟記相關概念是解題的關鍵，要注意0的特殊性．題型4利用數軸求兩點間距離注：距離沒有方向性，所以到某點的距離為a的點一般有兩個解題技巧：根據題干要求，先找出參考點位置；某點到參考點的距離為a，意味著這個點可以在參考點左邊距離為a的位置，也可在參考點右邊距離為a的位置。因此，此類題型一般有多解情況，請注意。最后根據畫出的數軸，讀出兩點之間的距離。1．（2021·四川廣元市·九年級一模）在數軸上，點，在原點的兩側，分別表示數，2，將點向右平移3個單位長度得到點．若，則的值為（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據CO=BO可得點C表示的數為±2，據此可得求得a的數值．【詳解】解：∵CO=BO，B點表示2，∴點C表示的數為±2，

∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故選：C．【點睛】本題考查的是數軸，熟知數軸上兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．2．（2021·江蘇南通市·九年級一模）如圖，如果數軸上，兩點之間的距離是，且點在原點左側，那么點表示的數是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據數軸可讀出A為2，A，B兩點之間的距離是3，且點B在原點左側，則2﹣3即可求出．【詳解】解：由圖可知A為2，∵A，B兩點之間的距離是3，且點B在原點左側，∴2﹣3＝﹣1，即B為﹣2．故選D．【點睛】本題考查數軸的認識及有理數的減法，會根據數軸讀出數字，并掌握有理數的減法是關鍵．3．（2020·浙江臺州市·七年級期中）已知，點A，B，C三點都在數軸上，點A在數軸上對應的數為2，且，點C在點B的左側，則點C在數軸對應的數為_______．【答案】4或-6【分析】分點B在A點左側和右側即可求得B點表示的數，再根據點C在B的左側和BC之間的距離即可求得C點表示的數．【詳解】解：∵A在數軸上對應的數為2，∴B點表示的數為7或-3，又∵，點C在點B的左側，∴C點表示的數為4或-6．故答案為：4或-6．【點睛】本題考查數軸上兩點之間的距離．注意在數軸上到一個定點的距離是一個常數的點有兩個，這兩個點關于這個定點對稱．4．（2021·湖南懷化市·中考真題）數軸上表示數5的點和原點的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據數軸上點的表示及幾何意義可直接進行排除選項．【詳解】解：數軸上表示數5的點和原點的距離是；故選B．【點睛】本題主要考查數軸上點的表示及幾何意義，熟練掌握數軸上點的表示及幾何意義是解題的關鍵．5．（2021·南靖縣城關中學）在數軸上與表示－3的數相距2個單位長度的點對應的數是_________．【答案】-5或-1．【分析】分在-3的左邊和右邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：根據題意畫出數軸，得到在數軸上與數-3所對應的點相距2個單位長度的點表示的數為-5或-1。故答案為：-5或-1．【點睛】此題考查了數軸，根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．6．（2021·江蘇初一課時練習）如圖，將一刻度尺放在數軸上.①若刻度尺上0cm和4cm對應數軸上的點表示的數分別為1和5，則1cm對應數軸上的點表示的數是2；②若刻度尺上0cm和4cm對應數軸上的點表示的數分別為1和9，則1cm對應數軸上的點表示的數是3；③若刻度尺上0cm和4cm對應數軸上的點表示的數分別為-2和2，則1cm對應數軸上的點表示的數是-1；④若刻度尺上0cm和4cm對應數軸上的點表示的數分別為-1和1，則1cm對應數軸上的點表示的數是-0.5.上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】首先計算出兩點之間的距離為幾個單位長度，再除以刻度值的長度，可知每1cm表示的單位長度是多少，再根據0cm刻度對應的數判斷1cm刻度對應的數即可.【解析】①數1和5之間有4個單位長度，則每厘米表示4÷4=1個單位長度，0cm表示數1，則1cm表示1+1=2.正確.②數1和9之間有8個單位長度，則每厘米表示8÷4=2個單位長度，0cm表示數1，則1cm表示1+2=3.正確.③數-2和2之間有4個單位長度，則每厘米表示4÷4=1個單位長度，0cm表示數-2，則1cm表示-2+1=-1.正確.④數-1和1之間有2個單位長度，則每厘米表示2÷4=0.5個單位長度，0cm表示數-1，則1cm表示-1+0.5=-0.5.正確.故答案為：D.【點睛】本題考查了數軸上兩點相對位置關系，本題注意每一個單位長度代表的是實際多少厘米，再根據實際厘米數判斷單位長度.題型5數軸上點的運動問題性質：數軸數形結合的應用注：若題干中有說明運動的方向，則結果為唯一確定值；若未說明運動的方向，則也會存在向左右兩邊運動的多解情況。解題技巧：此類題型考察的是數軸數形結合的應用。先畫出數軸，根據題干要求標出參考點；再根據題干要求進行相應的運動，確定最終位置并解答題目。需注意點為：若運動過程中未指出運動方向，則會存在多解情況。1．（2021·安徽合肥市·七年級期中）數軸上有A、B兩點，點A表示6的相反數，點B表示絕對值最小的數，一動點P從點B出發，沿數軸以1單位長度/秒的速度運動，4秒后，點P到點A的距離為_____單位長度．【答案】10或2【分析】根據題意確定出點A與B表示的數字，利用平移規律求出所求即可．【詳解】解：根據題意得：A表示的數為﹣6，B表示的數為0，∵點P經過4秒后的路程為1×4＝4（個單位長度），且向左或向右平移，∴平移后點P對應的數字為﹣4或4，則點P到點A的距離為10或2個單位長度．故答案為：10或2．【點睛】醒考查數軸上的動點問題，熟練掌握數軸上兩點距離的求法是解題關鍵．2．（2020·浙江七年級期中）A為數軸上的點，將A點沿數軸移動5個單位長度到B點，B為數軸上表示的點，則A點所表示的數為（）A．或 B．或 C．或3 D．或【答案】C【分析】分向左和向右兩種情況分別計算．【詳解】解：若A向右移動5個單位長度，則A表示的數為-2-5=-7，若A向左移動5個單位長度，則A表示的數為-2+5=3，故選C．【點睛】本題考查的是數軸，熟知數軸上右加左減的法則是解答此題的關鍵．3．（2021·河南鄭州市·七年級期末）如圖，一個動點從原點開始向左運動，每秒運動1個單位長度，并且規定：每向左運動3秒就向右運動2秒，則該動點運動到第2021秒時所對應的數是（）A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021【答案】B【分析】根據每向左運動3秒就向右運動2秒，也就是每經過3+2秒就向左移動1個單位，解答即可．【詳解】解:∵每向左運動3秒就向右運動2秒，即每經過3+2秒就向左移動1個單位，∴2021÷5=404……1，即經過404個5秒后，又經過1秒的左移，∴404+1=405個單位，∴動點運動到第2021秒時所對應的數是-405，故選B．【點睛】本題考查了數軸，解題的關鍵是根據題目給出的條件，找出規律．4．（2021·江蘇鎮江市·七年級月考）如圖，將一個半徑為1個單位長度的圓片上的點A放在原點，并把圓片沿數軸滾動1周，點A到達點的位置，則點表示的數是_______；若起點A開始時是與—1重合的，則滾動2周后點表示的數是______．【答案】或或【分析】先求出圓的周長，再通過滾動周數確定A點移動的距離，最后分類討論，將A點原來位置的數加上或減去滾動的距離即可得到答案．【詳解】解：因為半徑為1的圓的周長為2，所以每滾動一周就相當于圓上的A點平移了個單位，滾動2周就相當于平移了個單位；當圓向左滾動一周時，則A'表示的數為，當圓向右滾動一周時，則A'表示的數為；當A點開始時與重合時，若向右滾動兩周，則A'表示的數為，若向左滾動兩周，則A'表示的數為；故答案為：或；或．【點睛】本題考查了用數軸上的點表示無理數的知識，要求學生能動態的理解數軸上點的位置變化，能明白圓滾動一周或兩周時同一個點的運動變化，并能通過加減運算得到運動后點的位置所表示的數．5．（2021·湖北十堰市·七年級期末）如圖．在一條不完整的數軸上一動點A向左移動5個單位長度到達點B，再向右移動9個單位長度到達點C．（1）若點A表示的數為0，求點B、點C表示的數；（2）若點C表示的數為6，求點B、點A表示的數；（3）如果點A、C表示的數互為相反數，求點B表示的數．【答案】（1）﹣5，4；（2）﹣3，2；（3）-7．【分析】（1）依據點A表示的數為0，利用兩點間距離公式，可得點B、點C表示的數；（2）依據點C表示的數為6，利用兩點間距離公式，可得點B、點A表示的數；（3）依據點A、C表示的數互為相反數，利用兩點間距離公式，可得點B表示的數．【詳解】解：（1）若點A表示的數為0，∵0﹣5=﹣5，∴點B表示的數為﹣5，∵﹣5+9=4，∴點C表示的數為4；（2）若點C表示的數為6，∵6﹣9=﹣3，∴點B表示的數為﹣3，∵﹣3+5=2，∴點A表示的數為2；（3）若點A、C表示的數互為相反數，∵AC=9﹣5=4，∴點A表示的數為﹣2，∵﹣2﹣5=﹣7，∴點B表示的數為﹣7．【點睛】本題考查了數軸和有理數的運算、數軸上兩點間距離等，解題的關鍵是能根據題意列出算式．6．（2021·浙江七年級期中）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是的美好點．例如；如圖1，點A表示的數為，點B表示的數為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距高是2，那么點D就不是的美好點，但點D是的美好點．如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為，點N所表示的數為2．（1）點E，F，G表示的數分別是，6.5，11，其中是美好點的是________；寫出美好點H所表示的數是___________．（2）現有一只電子螞蟻P從點N開始出發，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，點P恰好為M和N的美好點？【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根據美好點的定義，結合圖2，直觀考察點E，F，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．（2）根據美好點的定義，分情況分別確定P點的位置，進而可確定t的值．【詳解】解：（1）根據美好點的定義，結合圖2，直觀考察點E，F，G到點M，N的距離，只有點G符合條件，故答案是：G．結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，點N的右側不存在滿足條件的點，點M和N之間靠近點M一側應該有滿足條件的點，進而可以確定-4符合條件．點M的左側距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進而可得符合條件的點是-16．故答案是：-4或-16．（2）根據美好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，第一情況：當P為【M，N】的美好點，點P在M，N之間，如圖1，當MP=2PN時，PN=3，點P對應的數為2-3=-1，因此t=1.5秒；第二種情況，當P為【N，M】的美好點，點P在M，N之間，如圖2，當2PM=PN時，NP=6，點P對應的數為2-6=-4，因此t=3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點，點P在M左側，如圖3，當PN=2MN時，NP=18，點P對應的數為2-18=-16，因此t=9秒；綜上所述，t的值為：1.5或3或9．【點睛】本題考查實數與數軸、美好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考創新題目．7．（2021·遼寧沈陽市·七年級期末）在一張長方形紙條上畫一條數軸，并在兩處虛線處，將紙條進行折疊，產生的兩條折痕中，左側折痕與數軸的交點記為A，右側折痕與數軸的交點記為B．（1）若數軸上一點P（異于點B），且PA＝AB，則P點表示的數為；（2）若數軸上有一點Q，使QA＝3QB，求Q點表示的數；（3）若將此紙條沿兩條折痕處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這樣連續對折（n≥2）次后，再將其展開，請直接寫出最左端的折痕和最右端的折痕之間的距離（用含n的式子表示，可以不用化簡）．【答案】（1）1；（2）2或5；（3）4-．【分析】（1）根據PA＝AB，得出點P為線段AB的中點，即點A、B關于點P對稱，即可求解．

（2）設Q表示的數為m．分兩種情形分別構建方程求解即可．

（3）先求出每兩條相鄰折痕的距離，進一步得到最左端的折痕和最右端的折痕與數軸的交點表示的數，即可求得答案．【詳解】解：（1）∵點A表示的數為-1，點B表示的數為3，

∴數軸上一點P（異于點B），且PA＝AB，則點P為線段AB的中點，即點P為1，故答案為1．

（2）設Q表示的數為m．當點Q在線段AB上時，m+1=3（3-m），解得m=2，

當點Q在AB的延長線上時，m+1=3（m-3），解得m=5，故答案為2或5．

（3）∵對折n次后，每兩條相鄰折痕的距離為，

∴最左端的折痕與數軸的交點表示的數是-1+，最右端的折痕與數軸的交點表示的數是3-．

∴最左端的折痕和最右端的折痕之間的距離為4-．【點睛】本題主要考查的是數軸的認識，找出對稱中心是解題的關鍵．題型6規律探究（數字與符號）解題技巧：該類題型比較靈活，需視具體情況而定。在有理數的規律探究題型中，往往需要尋找兩部分規律：（1）數字之間的規律；（2）正負號的規律1．（2020·河北省初三一模）將一列有理數﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如圖所示有序排列，4所在位置為峰1，﹣9所在位置為峰2…．（1）處在峰5位置的有理數是_____；（2）2022應排在A，B，C，D，E中_____的位置上．【答案】24A【分析】根據圖示信息找出A，B，C，D，E各個位置數據的表達式，代入即可【解析解：（1）觀察發現：峰n中，A位置的絕對值可以表示為：5n﹣3；B位置的絕對值可以表示為：5n﹣2；C位置（峰頂）的絕對值可以表示為：5n﹣1；D位置的絕對值可以表示為：5n；E位置的絕對值可以表示為：5n+1；∴處在峰5位置的有理數是5×5﹣1＝24；（2）根據規律，∵2022＝5×402﹣3，∴2022應排在A的位置．故答案為：（1）24；（2）A．【點睛】此題屬于找規律題，考查提取信息和總結的能力．2．（2021·浙江全國）將一串有理數按下列規律排列，回答下列問題．(1)在A處的數是正數還是負數？(2)負數排在A、B、C、D中的什么位置？(3)第2015個數是正數還是負數？排在對應于A、B、C、D中的什么位置？【答案】(1)在A處的數是正數;(2)負數排在B和D的位置;(3)第2015個數是負數，排在對應于D的位置分析：（1）觀察、分析排列規律可知，A處的數是正數；（2）觀察、分析排列規律可知，負數排在B和D處；（3）觀察、分析排列規律可知，把前三個數“-1，2，-3”去掉，后面的數是按照“A-B-C-D”的順序4個一組循環出現的，由：可知，第2015個數排在對應于D的位置，是個負數.【解析】(1)分析排列規律可得,在A處的數是正數;(2)分析排列規律可得,負數排在B和D的位置;(3)觀察、分析排列規律可知：把前三個數“-1，2，-3”去掉，后面的數是按照“A-B-C-D”的順序4個一組循環出現的，∵，∴第2015個數排在對應于D的位置，是個負數.3．（2020·全國初一課時練習）觀察下面一列數，探求其規律：，-，，-，，-，….(1)這一列屬于有理數中的哪一類；(2)寫出第7，8，9項的三個數；(3)第2013個數是什么？(4)如果這一列數無限排列下去，與哪兩個數越來越接近？【答案】(1)分數.(2)，-，.(3).(4)1或-1.分析：（1）觀察可知，這列數據全是分數；（2）觀察可知該數列的排列有兩個規律：①第奇數個數據為正數，第偶數個數據為負數；②第n個數的分子是n，分母是“n+1”；由此可得第7、8、9項的三個數分別是多少；（3）由（2）中所得排列規律可得第2013個數是多少；（4）由（2）中所得排列規律可知，這樣無限的排列下去，第奇數個數越來越接近1，而第偶數個數越來越接近-1.【解析】（1）這一列數都屬于有理數中的分數；（2）第7、8、9項的三個數分別是：；（3）第2013個數是；（4）如果這一列數無限的排列下去，會越來越接近1或.點睛：在確定一列數的排列規律時，我們需從兩個方面思考：①每個項的符號是怎樣確定的；②每個項的數字部分（除開符號之外的部分）與序號之間是怎樣的數量關系；在本題中，觀察可得第奇數項的符號為“正”，第偶數項的符號為“負”；而數字部分：第項的數字部分是：.4．（2020·全國初一單元測試）將正偶數按下表排列：根據上面的規律，則所在行、列分別是________________．【答案】第45行，第13列【解析】第一行有一個偶數，第二行有2個偶數，最末的那一個為：2×（1+2）=6第三行有3個偶數，最末的那一個為：2×（1+2+3）=12第n行有n個偶數，最末的那個為2×（1+2+3+…+n）=2×=n（n+1）．∵44×45=1980，∴2006應在第45行，（2006﹣1980）÷2=13列．故答案為：45行，13列．點睛：考查了規律型：數字的變化，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數據，尋找它們之間的相互聯系，探尋其規律．5．（2020·湖北全國初一課時練習）觀察下面各數列，研究它們各自的變化規律，并接著填出后面的兩個數．（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，_________，_________；（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，_________，_________；（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，_________，_________.【答案】1,-1;18,-20;-1,0.【解析】(1)在該數列中，1與-1交替出現，故后面的兩個數分別為1，-1.(2)該數列可以看作是先將正整數中的偶數從小到大逐個排列起來再從第二個數開始每隔一個數在原數前面添加負號而得到的.根據這一規律，后面的兩個數分別為：18，-20.(3)該數列可以看作是以1，0，-1，0為一個基本單元并不斷重復而得到的.根據這一規律，后面的兩個數分別為：-1，0.故本題應依次填寫：1，-1；18，-20；-1，0.點睛：本題是一道數字規律探索題.在解決規律探索題的時候，要注意觀察題目中已給出的數字的特征以及這些數字和它們所處位置的序數的關系，同時也要注意已知的數字排列的整體特征.另外，在獲得有關規律的初步結論后，要利用已知的數字多次檢驗相關結論的正確性.6．（2020·北京市文匯中學初一期中改編）一只跳蚤在一數軸上從原點開始，第1次向右跳1個單位長度，緊接著第2次向左跳2個單位長度，第3次向右跳3個單位長度，第4次向左跳4個單位長度，…，依此規律跳下去，當它跳第100次落下時，所在位置表示的數是()A．50 B．－50 C．100 D．－100【答案】B【分析】首先根據題意，求得每一次k1，k2，k3，k4，k5，k6點所表示的數，即可得到規律：當n為奇數時：Kn點所表示的數為：；當n為偶數時：Kn點所表示的數為：-．繼而求得答案.【解析】根據題意得：第一次K1點所表示的數為1，第二次k2點所表示的數為-1，第三K3點所表示的數為2，K4點所表示的數為-2，K5點所表示的數為3，K6點所表示的數為-3；

∴K100點所表示的數為：-；故選：B【點睛】此題考查了數軸的性質．此題難度適中，解題的關鍵是得到規律：當n為奇數時：Kn點所表示的數為：；當n為偶數時：Kn點所表示的數為：-．題型7有理數的大小比較（一）利用數軸比較數的大小【解題技巧】有理數大小比較注意兩點：（1）兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小；（2）在數軸上右邊點表示的數總比左邊點表示的數大.1．（2021·河北望都初一期末）有理數a，b，c在數軸上對應的點的位置如圖所示，則下列關系正確的是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a【答案】A【分析】根據數軸左邊的點所表示的數小于右邊的點所表示的數解答即可．【解析】由數軸得：a＞b＞c，故選：A．【點睛】本題考查了數軸和有理數的大小比較，熟練掌握數軸上的點所表示的數的大小關系是解題關鍵．2．（2021·陜西寶雞市·七年級期末）有理數a，b在數軸上表示的點如圖所示，則a，-a，b，-b的大小關系是________．（用“＜”號連接）【答案】-b＜a＜-a＜b【分析】根據各點在數軸上的位置判斷出a，b的符號及絕對值的大小，進而可得出結論．【詳解】解：∵由圖可知，a＜0＜b，|a|＜b，∴-b＜a＜-a＜b．故答案為：-b＜a＜-a＜b．【點睛】本題考查的是有理數的大小比較，數軸數軸上右邊的數總比左邊的大是解答此題的關鍵．3．（2021·云南昭通市·七年級期末）四個數在數軸上的對應點分別為，，，，這四個數中最小的數的對應點是______．

【答案】A【分析】根據數軸的定義即可得．【詳解】由數軸的定義得：數軸上的點表示的數，左邊的總小于右邊的，則這四個數中最小的數的對應點是A，故答案為：A．【點睛】本題考查了數軸，掌握理解數軸的定義是解題關鍵．4．（2021·湖南懷化市·七年級期末）如圖，a與b的大小關系是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a＝2b【答案】B【分析】有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數比較大小，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．【詳解】解：由數軸可知，b＜0＜a，即a＞b，故選：B．【點睛】此題主要考查了有理數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數比較大小，絕對值大的其值反而小．5．（2021·陜西西安市·九年級一模）實數a在數軸上對應點的位置如圖所示，若實數b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是___（任填一個即可）．【答案】0（答案不唯一）【分析】根據a的范圍確定出﹣a的范圍，進而確定出b的范圍，判斷即可．【詳解】解：由數軸可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之間任意取值，如﹣1，0，1等，故答案為：0（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查數軸的性質，解題的關鍵是熟知有理數的大小關系．6．（2020·北京海淀區·七年級期中）在數軸上表示下列各數：0，2，﹣1.5，，并按從小到大的順序用“＜”號把這些數連接起來．【答案】數軸見解析，【分析】先將各數表示在數軸上，再依據數軸上右邊的數大于左邊的數進行判斷即可．【詳解】解：在數軸上表示下列各數如下：故．【點睛】本題主要考查的是比較有理數的大小，熟練掌握比較有理數大小的方法是解題的關鍵．7．（2021·廣西賀州市·七年級期末）將下列各數在數軸上表示出來，并用“”連接起來．2，－1.5，－2，3，0，4.5【答案】數軸見解析，【分析】首先根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的各數，然后根據當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由小到大用“＜”連接起來即可；【詳解】解：如圖所示：－2＜－1.5＜0＜2＜3＜4.5．【點睛】本題考查了有理數大小的比較，還考查了在數軸上表示數的方法，要熟練掌握；題型8相反數的性質與求法性質：a.除0外，一組相反數一定是一正一負。b.一個數的相反數就是在這個數前面加一個負號（負號的意義就是表示相反量）。c.一組相反數的和為0。解題技巧：（1）此類題型多為利用相反數的性質求解含字母數的相反數。利用性質b，直接在這個數前面添加“﹣”號，在利用多重符號化簡的方法化簡即可。（2）已知兩個含有字母的數為相反數，利用性質c，將兩個數相加和為0，表示成方程的形式，直接解方程即可。1．（2021·河北保定市·九年級一模）計算﹣1?1＝0，則“?”表示的運算符號是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【答案】A【分析