球的表面積與體積（約一課時(shí)）三維目標(biāo)：【知識(shí)與技能】1．通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割—求和—化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識(shí)。2．能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題。3．培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。【過(guò)程與方法】通過(guò)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式和面積公式的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想。【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)學(xué)習(xí)，使我們對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了我們探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心。重點(diǎn)與難點(diǎn)：【重點(diǎn)】引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。【難點(diǎn)】推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成。教學(xué)方法：觀察、思考、交流、討論、概括。。教具準(zhǔn)備：POWERPOINT教學(xué)過(guò)程：一．引入新課【師】前面，我們學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積。知道了它們的表面積等于展開(kāi)圖的面積，體積是根據(jù)祖暅原理推導(dǎo)出來(lái)的。但是，球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？點(diǎn)題，板書(shū)課題1.3.2球的表面積和體積。二．新課講解1．球的體積【師】大家想一想：怎樣來(lái)求球的體積？【生1】運(yùn)用祖暅原理，我們能證實(shí)這樣一個(gè)結(jié)論：一個(gè)底面半徑和高都等于的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得幾何體的體積與一個(gè)半徑為的半球的體積相等．由此得到，所以．【生2】如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小之時(shí)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應(yīng)的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行。步驟：第一步：分割.如圖：把半球的垂直于底面的半徑作等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。如圖：得第二步：求和第三步：化為準(zhǔn)確的和當(dāng)時(shí)，（同學(xué)們討論得出）所以得到定理：半徑是的球的體積練習(xí)：一種空心鋼球的質(zhì)量是,外徑是,求它的內(nèi)徑(鋼的密度是)2．球的表面積：這個(gè)結(jié)論可以通過(guò)“倒沙實(shí)驗(yàn)”得到．設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)在球心，底面都在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成，這些“準(zhǔn)錐體”的底面并不是真正的多邊形，但只要這些“準(zhǔn)錐體”的底面足夠地小，就可以把它們近似地看成棱錐．這時(shí)，這些“準(zhǔn)錐體”的高趨向于球半徑，底面積……的和趨向于球面積，所有這些“準(zhǔn)錐體”的體積的和趨向于球的體積，因此…，所以．三.練習(xí)領(lǐng)會(huì)1．師生共同完成教材第27頁(yè)例4【例1】如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。2．學(xué)生完成教材第28頁(yè)練習(xí)題第１、2、3題四．課內(nèi)小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了球的表面積和體積。大家一定要知道上述公式的由來(lái)，并且能夠熟練的應(yīng)用。五．課后作業(yè)：1．長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，是它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是。（答案）2．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積的比為，表面積比為。（答案：；3：1）3．在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。（答案：2500πcm2）4．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角，在容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為R的球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，這時(shí)容器中水的深度是[]....5．如果球的體積是V球，它的外切圓柱的體積是V圓柱，外切等邊圓錐的體積是V圓錐，那么這三個(gè)幾何體體積之比是____。6．圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周生成的幾何體稱為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的。注：這個(gè)發(fā)現(xiàn)是阿基米德在他的許許多多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中最為得意的一個(gè)。7．如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖（單位：），試畫(huà)出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積（精確到0．01）．解：采用斜二測(cè)畫(huà)法．