北師版八年級下冊等腰三角形（第2課時）第一章三角形的證明

1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。2、會證明和應用等腰三角形的相關結論。3、會證明和應用等邊三角形的性質定理。學習目標復習舊知

1.等腰三角形的性質是什么？2.等邊三角形有哪些性質？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．21EDCBA講授新課已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.求證：BD=CE．一題多解43EDCBA證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．講授新課已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．講授新課已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．講授新課

剛才，我們只是發現并證明了等腰三角形中比較特殊的線段(角平分線、中線、高)相等

講授新課

1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一個什么結論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結論?講授新課

（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.

簡述為：（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么：BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.講授新課想一想：等邊三角形都具有哪些性質？講授新課1.求證：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=AC。求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）.又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內角和定理）∴∠A=∠B=∠C＝60°.CBA講授新課1.如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形,

求證:AE=CDABCDE證明:∵△ABC和△BDE都是等邊三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴△ABE≌△CBD∴AE=CD講授新課例2、已知：如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，并PB=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小．講授新課課后小結通過本節課的學習，你有哪些收獲？

等腰三角形等邊三角形性質定理等邊三角形的判定方法北師版八年級下冊等腰三角形（第3課時）第一章三角形的證明

1、學會證明等角對等邊,并進行等腰三角形的判定;2、體會反證法，并會用反證法進行證明;3、規范證明的書寫過程.學習目標請同學們回答下面的問題：1、等腰三角形的性質是什么？①有兩個相等的角.②有兩條相等的邊.③底邊上的中線、高和頂角的平分線重合.講授新課等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.請一位同學說出已知、求證.已知:在△ABC中,∠B=∠C求證：AB=ACABC講授新課ABCD證法一：作∠BAC的平分線AD.在△BAD和△CAD中，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C,AD=AD(公共邊），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.講授新課ABCD證法二：作AD⊥BC，垂足為D.在△BAD和△CAD中，∠ADB=∠ADC，∠B=∠C,AD=AD(公共邊），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.請同學們想一想：作等腰三角形底邊上的中線可以證明嗎？為什么？講授新課ABCD從以上講解我們可以得到什么結論？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求證：AB=AC=BC講授新課這是由判定定理推導出的一個定理，即判定一個三角形是等邊三角形的一種方法.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.講授新課ABCD60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）求證：AB=AC=BC講授新課推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.這是由判定定理推導出的又一個定理，即判定一個三角形是等邊三角形的另外一種方法.講授新課小明說,在一個三角形中，如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.即CAB在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.

你認為這個結論成立嗎?

如果成立,你能證明它嗎?小明是這樣想的:

如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時,AB與AC要么相等,要么不相等.

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角”定理可得∠B=∠C,但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此，AB≠AC.講授新課論證的新方法----反證法

小明在證明時，先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立.這種證明方法稱為反證法(reductiontoabsurdity)

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角”定理可得∠B=∠C.但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾,因此,AB≠AC.反證法是一種重要的數學證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.CAB講授新課求證:一個三角形中不能有兩個角是直角。(用反證法來證)證明：假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A=∠B=90°，那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，

這與三角形的內角和定理相矛盾∴假設不成立∴△ABC中不能有兩個直角已知：△ABC求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角講授新課求證:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數,且a1+a2+a3+a4+a5=1,

那么,這五個數中至少有一個大于或等于1/5.假設這五個數中沒有一個大于或等于1/5,即都得小于1/5,那么這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,這五個數中至少有一個大于或等于1/5.(用反證法來證)證明:講授新課例1如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,計算∠1和∠2的度數，并說明圖中有哪些等腰三角形.ABCD36°36°2172°講授新課解：∵∠A=36°∠DBC=36°∠C=72°∴∠2=180°－∠A－∠DBC－∠C＝36°(三角形內角和定理）∴∠A＝∠2∴AD=BD(等角對等邊）∵∠1=∠A＋∠2=72°=∠C∴BD=BC(等角對等邊）∴圖中的等腰三角形有△ADB、△ABC、△BDC三個.講授新課例2如圖，CD是等腰直角三角形ABC斜邊上的高，找出圖中有哪些等腰直角三角形。CADB講授新課答：圖中的等腰直角三角形有：等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和等腰Rt△CDB講授新課ABC等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等腰三角形的兩個底角相等.簡稱:等邊對等角.頂角ABC底邊腰腰底角底角【定義】【性質定理】【性質定理的推論】有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形;D高(簡稱:“三線合一”)【判定定理】有兩個角相等的三角形是等腰三角形.簡稱:等角對等邊.課后小結

等腰三角形：底角的兩條平分線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的高線相等。ACBD●●E●