全等三角形經典培優題型（含答案）.已知三角形ABC中，AB=4,AC=2,D是BC的中點，AD是整數，求AD的長度。解：由題意可得AD=AB-DB,又BD=DC=AC/2=1,故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3..已知四邊形BCDE中，BC=DE，ZB=ZE，ZC=ZD5F是CD的中點，證明Z1=Z2.解：由于BC=DE,且ZB=ZE，所以△BCE^?EDC,從而ZI=ZBCE=ZEDC=Z2..已知四邊形ABCD中，Z1=Z2,CD=DE,EF//AB,證明EF=ACo解：由于EF〃AB,所以△EFC-△ABC,從而EF∕AC=FC∕BC,而CD=DE,所以FC=CD，代入得EF∕AC=CD∕BC,又由于Z1=Z2，所以△BCD-△ECD從而CD∕BC=ED∕AC,代入得EF∕AC=ED∕AC,即EF=ACO.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC,AC=AB+BD,證明NB=2NC0解：由于AD平分∠BAC,所以NBAD=NCAD，從而NB=NBAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD,所以BD=AC-AB，代入得NB=NCAD+NACD=NCAD+NABC，又由于NCAD=NCAB，所以NB=NCAB+NABC=2NC。.已知三角形ABC中，AC平分NBAD,CE⊥AB,NB+ND=180°，證明AE=AD+BEo解：由于AC平分NBAD,所以NCAD=NCAB，從而△ABE-△DCE,所以AE∕AD=BE∕CD,又由于NB+ND=180°，所以CD=AB，代入得AE∕AD=BE∕AB,即AE=AD?(BE∕AB),又由于CE⊥AB，所以△CEB為直角三角形，從而BE/AB=CE/AC,代入得AE=AD?(CE∕AC),又由于AC平分/BAD,所以^ACD-△ABC,從而CE∕AC=CD∕AB,代入得AE=AD?(CD∕AB),又由于CD=AB-BD,所以AE=AD?((AB-BD)∕AB),即AE=AD+BE?(AB∕AD-1),又由于AB>AD,所以AB/AD-1<AB/AD,從而AE<AD+BE?(AB∕AD),即AE<AD+BEo.如圖所示，四邊形ABCD中，AB〃DC,BE、CE分別平分NABC、∠BCD,且點E在AD上。證明BC=AB+DCo解：由于AB〃DC，所以△ABE-△DCE,從而AE∕DE=BE∕CE,又由于BE、CE分別平分NABC、∠BCD,所以NAEB=NCEB,NBEC=NBDC，從而△AEB-△CDB,從而人￡/口￡=A8/00代入得AB∕DC=BE∕CE,又由于BE、CE分別平分NABC、NBCD,所以NAEB=NCEB,NBEC=NBdc,從而△AEB-△CDB,從而AB∕DC=AE∕DE代入得AE∕DE=BE∕CE=AB∕DC,即AE/AB=DE/DC=1/2,從而AD=2AE，又由于BC=CD-BD=CD-AB，2,代入得BC=2DE-AB=2AD-AB=AB+DC。.已知四邊形ABCD中，AB=CD,NA=ND，證明NB=NCo解：由于AB=CD,NA=ND，所以△ABC^?DCB,從而NB=NCO.在三角形ABC中，P是NBAC的平分線上一點，AC>AB,證明PC-PB<AC-ABo解：由于P是∠BAC的平分線上一點，所以AP=AB?AC∕(AB+AC),CP=AeAB/(AB+AC),從而PC-PB=AeAB/(AB+AC)-AB=AC?AB∕(AB+AC)-AB?(AB+AC)∕(AB+AC)=(AC-AB2)∕(AB+AC)，又由于AC>AB,所以AC-AB2>0,從而PC-PB<AC-AB。.已知三角形ABD中，E是AB的中點，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC的長度。解：由于E是AB的中點，所以DE=AE=AB/2，又由于AF=BD，所以△ABF-△BDC，從而BD/DC=AB/AF,代入得DC=BD?AF∕AB=5?7∕12=35∕12..如圖所示，已知AD〃BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D，證明AD+BC=ABo解：由于∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E,所以AE∕EB=AC∕BC,又由于CE的連線交AP于D,所以AD∕DP=CE∕CP,從而AD∕DP?CP∕CE?EB∕AE=BC∕AC?AB∕AC?AC∕BC?EB∕AE=AB∕BC,代入得AD∕DP?CP∕CE=AB∕BC,又由于AD〃BC,所以AD/DP=AB/CP,代入得AB∕CP?CP∕CE=AB∕BC,即AB/CE=AB/BC-1,從而AB=CE?BC/(CE-BC),又由于AE∕EB=AC∕BC,所以AE=ACAB/(AB+BC),從而AD=2DP=2AP-2AE=2(AP-AE)=2AB?BC∕(AB+BC)-2AC?AB∕(AB+BC)=2AB?BC-2AC?AB∕(AB+BC),代入得AD+BC=2AB?BC∕(AB+BC)=AB。.如圖所示，已知^ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD,證明∠C=2∠B°解：由于AD是∠CAB的平分線，所以BD/DC=AB/AC，又由于AB=AC+CD，所以BD/DC=(AC+CD)/AC=1+CD/AC，從而CD/AC=BD/(AC-BD)=BD/AB,代入得AB=AeBD/(BD-AC)，又由于AD是∠CAB的平分線，所以BD∕DC=AB∕AC=BD∕(AC-BD)，從而AC=2BD,代入得AB=3BD，CD=BD，從而△ABC為等腰三角形，從而∠C=2∠Bo.如圖所示，AE、BC交于點M,F點在AM上，BE〃CF,BE=CF，證明AM是^ABC的中線。解：由于BE〃CF，所以△ABE-△MCF，從而AE∕AM=BE∕CF,又由于BE=CF，所以AE=AM/2,從而AM∕2AM=AE∕AM=BE∕CF=AB帆，從而AM=BCo.已知4ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,BD、CE相交于點F,證明BE=CDo解：由于AB=AC,所以BD=CD,從而△BDF^?CDF,從而NBFD=NCFD,又由于BE⊥DF,CE⊥DF，所以NBFE=NCFE，從而△BEF^?CEF,從而BE=CEO.在直角三角形ABC中，NACB=90°,AC=BC，直線MN經過點C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，證明：①4ADC04CEB;②DE=AD+BE;當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由。解：（1）由于△ADC、△CEB均為直角三角形，且AC=BC，所以△ADC04CEB,從而AD=CE,BE=CD,代入得DE=AD+BE;（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論不成立，因為此時ACBE,從而DE=AD-BE<0,不符合實際。.如圖所示，已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC，證明：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFo解：（1）由于AE=AB,AF=AC,所以△ABE^?ACF,從而NAEB=NAFC,又由于AE⊥AB,AF⊥AC，所以∠AEB+∠AFC=90°，從而NAEB=NAFC=45°,從而△AEB、△AFC均為等腰直角三角形，從而BE=AE∕√2,CF=AF∕√2,代入得EC=BF；（2）由于EC=BF，所以△ECF^?BCE,A而NECF=NBCE,又由于AE=AB,AF=AC，所以△ABE04ACF,從而NAEB=NAFC,又由于AE⊥AB,AF⊥AC,所以NAEB+NAFC=90°,從而NAEB=NAFC=45°,從而△AEB、△AFC均為等腰直角三角形，從而AE=BE=CF=AF心從而EC=BF=AF∕√2-AB∕√2=AF-AB∕√2,又由于AE=AB,AF=AC,所以△ABE0△ACF,從而NAEB=NAFC,又由于AE⊥AB,AF⊥AC，所以NAEB+NAFC=90°，從而NAEB=NAFC=45°,從而△AEB、△AFC均為等腰直角三角形，從而AE=BE=CF=AF^2,從而BF⊥ECo給定等腰直角三角形ABC,其中NACB為直角，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E,交AD于點F。要證明NADC=NBDE。首先，將AD延長至UE點，使得DE=AD。則根據三角形ADC和三角形EBD的SSS全等條件可知，它們全等。因此，BE=AC=2.在三角形ABE中，應用三角不等式可得4<AD<6,由于AD是整數，所以AD=5.接下來，連接BF和EFo因為BC=ED,CF=DF,且NBCF=NEDF，所以三角形BCF和三角形EDF全等(邊角邊)。因此，BF=EF,NCBF=NDEFo連接BE。在三角形BEF中，8尸=￡尸，因此NEBF=NBEFO又因為NABC=NAED,所以NABE=NAEB，從而得到AB=AEO在三角形ABF和三角形AEF中，由于AB=AE,BF=EF,且NABF=NABE+/￡8尸=/α￡8+/8￡尸=/人￡尸，因此它們全等。因此，NBAF=NEAf(N1=N2)o然后，過點E作EG//AC,交AD延長線于點6,可得到NDEG=NDCa,NDGE=N2.由于CD=DE,根據AAS全等條件可知，三角形ADC和三角形GDE全等。因此，EG=ACo因為EF〃AB,所以NDFE=N1=∠2=∠DGE，從而得到EF=EG=ACo接著，在AE上取點尸，使EF=EB，連接CFo由于CE⊥AB，所以NCEB=NCEF=90°。因為EB=EF,CE=CE,所以三角形CEB和三角形CEF全等。因此，NB=NCFEo因為NB+ND=180°,NCFE+NCFA=180°，所以ND=NCFAO由于AC平分NBAD,所以NDAC=NFAC。又因為AC=AC,因此根據SAS全等條件可知，三角形ADC和三角形AFC全等。因此，AD=AFo因此，AE=AF+FE=AD+BEo最后，在BC上截取BF=BA，連接EFo根據三角形ABF和三角形AEF的SSS全等條件可知，它們全等。因此，NBAC=NEAF=NBAF+NEAB=NABE+NEAB=45°。根據三角形BCF和三角形EDF的SSS全等條件可知，它們全等。因此，NBDE=NEDF=NBCF=45°,從而證明了NADC=NBDEo根據SAS準則，可以得到△ABE^?FBE,其中NABE=NFBe,8￡=8￡0因此，NEFB=NA。又因為AB平行于CD,所以NA+ND=180°。又NEFB+NEFC=180°,因此NEFC=ND。又由于NFCE=NDCE,CE=CE，根據AAS準則，可以得到△FCE0ADCE。由此可知，FC=CD。因此，BC=BF+FC=AB+CDo.設線段AB、CD所在的直線交于點Eo當ADBC時，E點是射線AB、DC的交點。因此，△AED是等腰三角形，即AE=DEO又因為AB=CD,所以BE=CEo因此，△BEC是等腰三角形，角B二角Co.在△BDE中，作AG〃BD交DE延長線于點G。由于AGE全等于BDE,AG=BD=5.又由于AGF^CDF,AF=AG=5,因此DC=CF=2..在三角形ABF中，做BE的延長線與AP相交于點F。由于PA//BC,因此NPAB+NCBA=180。。又因為AE、BE均為NPAB和NCBA的角平分線，所以NEAB+NEBA=90°,因此NAEB=90°o在三角形ABF中，AE⊥BF,且AE為NFAB的角平分線，因此三角形FAB為等腰三角形，即AB=AF,BE=EFo在三角形DEF與三角形BEC中，NEBC=NDFE,且BE=EF,NDEF=NCEB,因此三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，即DF=BCo因此，AB=AF=AD+DF=AD+BC。.在AB上找點E,使AE=ACo由于AE=AC,NEAD=NCAD,AD=AD,因此^ADE0△ADCo因此，DE=CD,NAED=NCO由于AB=AC+CD,因此DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE,NB=NEDB,NC=NB+NEDB=2NBo.由于：8￡9尸，因此NE=NCFM,NEBM=NFCMo由于BE=CF,因此△BEM0△CFM,因此BM=CMO因此，AM是^ABC的中線。.由于人8=人^因此NEBC=NDCBo由于BD⊥AC,CE⊥AB,因此NBEC=NCDBo.根據BC=CB（公共邊），可以得出三角形EBC全等于三角形DCB,因此BE等于CDo.在直角三角形ADC和CEB中，由于NADC=NCEB、NACd=NCBE以及AC=CB,可以使用AAS（兩個角和一條邊分別相等）證明它們全等，因此AD等于CE,DC等于BE,